《第5章 系统运动的稳定性分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章 系统运动的稳定性分析.ppt（64页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第5章 控制系统的稳定性分析,5.1 李雅普诺夫稳定性定义5.2 李雅普诺夫稳定性理论5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析*5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用,稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不考虑输入作用。,1.线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；2.非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；,稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。,线性定常系统通常只
2、有一个平衡点，可将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个，不同平衡点有着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。,稳定性判别方法,经典控制理论中：,线性定常系统的稳定性：,代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据；对数稳定判据等。,非线性定常系统的稳定性：,描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤 除谐波的性能；相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。,现代控制理论中：,一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。,李雅普诺夫稳定性理论：,李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了
3、判断系统稳定性的两种方法。1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法；2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。,李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。,5.1 李雅普诺夫稳定性定义,BIBO稳定性的概念,李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。,Bounded Input Bounded Output(BIBO)Stable,定义
4、：对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO稳定。,如果输入 有界，是指,如果输入 有界，是指,4.6 有界输入-有界输出稳定,4.6.1 有界输入-有界输出稳定,Bounded Input Bounded Output(BIBO)Stable,定理4-5 由方程 描述的线性定常系统。,为初始松弛系统。其输出向量的解为,（11）,4.6.2 BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系,对于线性定常系统,（12）,平衡状态 的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性是由
5、传递函数的极点决定的。,的所有极点都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以，处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是 处的渐近稳定。,那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态 渐近稳定呢？结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。,1.平衡状态的定义 设系统状态方程为：若对所有t，状态 x 满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。,2.平衡状态的求法 由定义，平衡状态将包含在 这样一个代数方程组中。对于线性定
6、常系统，其平衡状态为 xe 应满足代数方程。,只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。,5.1.1 平衡状态,李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。,对于非线性系统，方程 的解可能有多个，视系统方程而定。,如：,该系统存在三个平衡状态：,范数的定义：n 维状态空间中，向量 x 的长度称为向量 x 的范数，用 表示，则：,5.5.2 范数的概念,向量的距离:长度 称为向量x与xe的距离，写为：,若能使系统从任意初态x0出发的解 在t t0的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径的闭球域S()内，即：,定义：对于系统，设系统初始状态位于以平 衡状态 xe 为球心、为半径的闭球域 S()内
7、，即,5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义,1李雅普诺夫意义下的稳定性,则称系统的平衡状态 xe 在李雅普诺夫意义下是稳定的。,几何意义,按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S()，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。,Lyapunov意义下稳定,2渐进稳定性（经典理论稳定性）,定义：如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量0，总有,这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且当t时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性对应。,则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下
8、渐进稳定的。,当t0与 t、无关时，则称xe=0为一致渐进稳定。,几何意义：,定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定的。此时，S()。当t时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。,3.大范围渐进稳定性,对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。,当稳定性与 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。,大范围稳定的系统,局部稳定的系统,几何意义：,定义：若对于某个实数0和任
9、一实数0，不管这两个实数多么小，在S()内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S()，则称平衡状态xe是不稳定的。,4.不稳定性,几何意义：,对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S()，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于S()以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。,由稳定性定义知，球域S()限制着初始状态x0的取值，球域S()规定了系统自由运动响应 的边界。简单地说：1.如果 有界，则称 xe 稳定；2.如果 不仅有界，而且当t时收敛于原点，则称 xe 渐进稳定；3.如果 无界，则称 xe 不稳定。,5.2
10、李雅普诺夫稳定性理论,定理5.1线性定常系统（1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均具有负实部；（2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵A 的有些特征值具有正实部；（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充分必要条件为G(s）的极点具有负实部。,5.2.1 李雅普诺夫第一法（间接法）,1.线性定常系统稳定性判据,例5.2.1设系统的状态空间表达式为：,试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO（输出）稳定性。,解：系统的特征方程为:,A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态 xe 是不稳定的。,系统传递函数:,传递函数极点位于S左半平面，故系统是
11、BIBO稳定的。,BIBO稳定,渐近稳定,结论：1.线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定 的；2.线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的；3.如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。,2.线性时变系统稳定性判据,矩阵A的范数定义为：,A为标量，表示A中每个元素取平方和后再开方。,3非线性系统的稳定性判定,对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用定理5.1的方法来研究。,其中：,对于非线性系统，对状态变量 x 有连续偏导数，设xe为其平衡点。在平衡点处将 泰勒级数展开，忽略二次及二次以上的高阶导数项R(x)，得系统
12、线性化模型：。,(1)A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是渐进稳定的；(2)A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是不稳定的。(3)A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态xe的稳定性，系统的稳定性与被忽略的高次项R(x)有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。,定理5.3对于线性化后的系统矩阵,例5.2.2 已知非线性系统的,解：系统有2个平衡状态：xe1=0,0和xe2=1,1,在xe1=0,0处线性化，,A1阵的特征值为+1，-1。故系统在xe1处是不稳定的。,在xe2=1,1处线性化，,A2阵的特征值为+j，-j，其实部为0，不能根据A来判断其稳
13、定性。,试分析系统平衡状态的稳定性。,5.2.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理,李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。,李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数一般与及t 有关，记为V(x,t)或V(x)。V(x)是一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。李雅普诺夫第二法利用V 和 的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法。,对于线性系统，通常用二次型函数 作为李雅普
14、诺夫函数。,5.2.3.1 预备知识 1二次函数的定义及其表达式 定义：设 为n个变量，定义二次型标量函数为：,其中，则称P为实对称阵。,对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此，目前直接法仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。,例如：,显然，二次型V(x)完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。,二次型的标准型,只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：,2.标量函数V(x)的符号和性质,设:,且在x=0处，V(x)0。对x0的任何向量。,V(x)0，称V(x)为正定的。例如：V(x)0，称V(x)为负定的。例如：V(x)0，称V
15、(x)为正半定的。例如：V(x)0，称V(x)为负半定的。例如：,设实对称矩阵P：,正定:二次型函数V(x)为正定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式均大于零（正定），即:,即:,3.二次型标量函数定号性判别准则(Sylvester准则),负定：二次型函数V(x)为负定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式满足:,即:,k为偶数,k为奇数,正半定：二次型函数V(x)为正半定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式满足:,负半定：二次型函数V(x)为负半定的充要条件是，P 阵的所有各阶主子行列式满足:,5.2.3.2 李雅普诺夫第二法的判稳主要定理,1.V(x,t)是正定的；2.是负定的；
16、,系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。,则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,系统渐进稳定的判别定理一,说明：1.该定理仅给出充分条件，即能找到满足定理条件的V(x)，则系统是渐进稳定的，若找不到，并不意味系统不稳定。2.该定理本身并未给出建立V(x)的方法，一般V(x)不惟一。V(x)通常不是简单的二次型的形式。3.该定理是一个最基本的稳定性判别定理，适用于线性、非线性、时变系统。,是负定的。说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。,例5.2.3已知非线性系统的状态方程为:,试分析其平衡状态的稳定性。,解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)是系统
17、惟一的平衡状态。选取正定标量函数为：,则沿任意轨迹，V(x)对时间的导数为：,则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,系统渐进稳定的判别定理二,定理5.5 设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件：,1.V(x,t)是正定的；2.是负半定的；,则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,若还有,有,3.当x0,不恒等于0，,则：系统在平衡点xe=0处是渐进稳定的。,定理的运动分析：以二维空间为例,例5.2.4已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。,解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)
18、是系统惟一的平衡状态。,选取正定标量函数为：,当,进一步分析 的定号性：,如果假设，必然要求，进一步要求。但从状态方程 可知，必满足，表明 只可能在原点（x1=0，x2=0）处恒等于零。,为半负定！,所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,当,有,若在该例中:,选取正定标量函数为：,为负定！,则：,由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问题分析采用不同的判别定理。,所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。,且当,有,系统李氏稳定的判别定理,则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。,定理5.6 设系统状态
19、方程为:,其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件：,因为 0,则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 是一致稳定的。,例5.2.5已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。,解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。,选取正定标量函数为：,则：,由上式可见，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,系统不稳定的判别定理一,1.V(x,t)是正定的；2.是正定的；,定理5.7 设系统状
20、态方程为:,其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件：,显然，表示系统的能量在不断增大，故系统的运动状态必将发散至无穷大，系统是不稳定的。,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,系统不稳定的判别定理二,1.V(x,t)是正定的；2.是正半定的；,定理5.8 设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0，满足。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件：,3.在x0时，不恒等于0。,例5.2.6已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。,解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。,选
21、取正定标量函数为：,则：,所以，系统是不稳定的。,且当x1为任意值，x2=0时，,（为正定）,（为正半定）,而：,所以，x2不会恒等于0，,也不会恒等于0。,定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意几点：(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏函数具有几个突出性质：1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。3)对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。(2)如果在包含状态空间原点在内的邻域S内，可以找到一个李雅普诺夫函数，那么，就可以用它来判断原点的稳定性或渐近稳定性。然而这并不一定意味着，从S邻域外的一个状态出发
22、的轨迹都趋于无穷大，这是因为李雅普诺夫第二法确定的仅仅是稳定性的充分条件。,5.3 线性系统中的李亚普诺夫稳定性分析,5.3.1 线性定常连续系统渐进稳定的判别,1渐进稳定的判别方法,则：,定理5-9 设线性定常连续系统为：，则平衡状态xe=0为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定实对称矩阵Q，必存在一个惟一正定的实对称矩阵P，且满足李雅普诺夫方程,且 是系统的李雅普诺夫函数。,A是非奇异的,证明见P255。,若 沿任意一轨线不恒等于0，则Q可取为正半定的，结论不变。,定理说明：(1).如果任取的一个正定实对称矩阵Q，则满足矩阵 的实对称矩阵P是惟一的，若P正定，则系统在平衡状态x
23、e=0为大范围渐进稳定的。P的正定性是一个充分必要条件。(2).为计算简便，在选取正定实对称矩阵 Q 时选单位阵I，于是方程简化为：,2判别步骤,确定系统的平衡状态xe，取Q=I,并设实对称阵P，解矩阵方程，求出P。利用赛尔维斯特判据，判断P的正定性。正定，系统渐进稳定，且。,例5.3.1设线性定常系统为:,试判别该系统的稳定性(其平衡状态为xe=0)。,解：为了便于对比，先用李氏第一法判断，,系统是渐近稳定的,先用李氏第二法判断，,设李雅普诺夫函数为：,则有：,展开有：,系统是渐近稳定的,证明略：,5.3.2 线性时变连续系统渐进稳定的判别,定理5-10 设线性时变连续系统为：，则平衡状态x
24、e=0为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续的对称正定矩阵P(t)，使得,且 是系统的李雅普诺夫函数。,(3)判别矩阵P(t)是否满足连续、对称正定性，若满足，则线性时变系统是渐进稳定的，且,为计算方便，可选：Q(t)=Q=I,则,判别步骤：,确定系统的平衡状态xe。任取正定对称阵Q(t),带入里卡蒂(Riccati)矩阵微分方程，其解为：式中，是系统的状态转移矩阵，P(t0)是里卡蒂方程的初始条件。,证明略：,判别步骤：,5.3.3 线性定常离散系统渐进稳定的判别,定理5-11 设线性定常离散系统为：，则平衡状态xe=0为大范围渐进稳定的充要条件是：
25、对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，满足如下矩阵方程：且 是系统的李雅普诺夫函数。,G是常系数非奇异阵,确定系统的平衡状态xe，选正定矩阵Q，一般取Q=I，解矩阵方程，求出P阵，判断P的正定性。若正定，则系统渐进稳定，且 是系统的李雅普诺夫函数。,例5.3.2设离散系统的状态方程为:,试确定该系统在平衡点处渐进稳定的条件。,解：选Q=I，带入矩阵方程,要使P为正定的实对称矩阵，则要求：,即：,解得：,即，当系统的特征根位于单位园内时，系统的平衡点是渐进稳定的。,与经典控制论中的采样系统稳定的充要条件相同！,证明略：,5.3.4 线性时变离散系统渐进稳定的判别,定理5-12 设线
26、性时变离散系统为：则在平衡点xe=0处为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q(k)，存在一个实对称正定矩阵P(k+1)，满足如下矩阵方程：且标量函数：是系统的李雅普诺夫函数。,(3)判断P(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐进稳定的，且李雅普诺夫函数为：,式中，,当Q(i)=I 时，有：,判别步骤：,确定系统的平衡状态xe，任选正定对称矩阵Q(k)，带入矩阵方程：解出矩阵P(k+1)。该方程为矩阵差分方程，其解的形式为：,为转移矩阵；P(0)是初始条件。,5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析,5.4.1 克拉索夫斯基法,对于非线性系统，到目前为止，尚没有构造Lyapun
27、ov函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。针对不同类型的非线性系统，以下是几种比较有效的构造Lyapunov函数的特殊方法。,针对一类非线性系统，克拉索夫斯基提出了从状态变量的导数来构造Lyapunov函数，并判断系统渐进稳定的方法。,定理5-13 设非线性系统的状态方程为,其中x 和 f(x)均为n 维向量。为非线性多元函数，对各xi 都具有连续的偏导数。,构造Lyapunov函数如:,则：,其中：,称为雅可比矩阵,其中:W 为 正定对称常数矩阵，通常取，,其中:,如果 是负定的，则 是负定的。而 是正定的，故 是一致渐近稳定的。如果，则 是大范围一致渐近稳定的。,关于定理的几点说明
28、:,该定理仅是充分条件，若S(x)不是负定的，则不能得出任何结论，此法无效。S(x)为负定的必要条件是S(x)主对角线上的所有元素均不为0，即要求状态方程中第i 个方程要含有 xi 这个状态变量。所以当观察f(x)的右端函数不满足上述条件时，则不能采用克拉索夫斯基法。,克拉索夫斯基法的适用范围如下:,非线性特性能用解析表达式表示的单值函数。非线性函数f(x)对xi(i=1,2,n)是可导的。,克拉索夫斯基法也适用于线性定常系统:,对:,有:,若:A是非奇异的，则当S(x)为负定时，系统在 xe=0是渐进稳定的。李雅普诺夫函数为：,例5.4.1非线性系统状态方程为:,试分析 的稳定性。,解:,雅可比矩阵:,选择 W=I 则:,检验 的各阶主子式：,显然，是负定的，故 是一致渐近稳定的。,故 是大范围一致渐近稳定的。,例5-10/11（见教材P263/4），自行分析。,2.变量梯度法,（这部分内容需要用到工程数学场论中的梯度、旋度等知识，而大部分院校自动化专业本科生没有学过场论，可以跳过这一段。）,本章要求：1熟练掌握李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳 定、大范围渐进稳定、不稳定概念及定义；2能熟练运用李雅普诺夫第一法（间接法）判 线性定常系统的稳定性；3掌握李雅普诺夫第二法五个主要定理；4能熟练运用李雅普诺夫第二法判线性定常系 统的稳定性。,
