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1、第四章控制系统的稳定,4.1 李雅普诺夫稳定性概念 4.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 4.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.5 李雅普诺夫稳定性分析的应用,第四章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析,如果对于所有t，满足 的状态 称为平衡状态（平衡点）。,1)平衡状态:,4.1 李雅普诺夫稳定性概念,平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令 所求得的解 x,便是平衡状态。,（1）只有状态稳定，输出必然稳定；（2）稳定性与输入无关。,2)李雅普诺夫稳定性定义：,如果对于任意小的 0，均存在一个，初始状态满足 时，系统运动轨迹满足lim，则称该
2、平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：,3)一致稳定性：,通常与、t0 都有关。如果与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。,4）渐近稳定性：,系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有：,称此平衡状态是渐近稳定的。,5）大范围稳定性：,当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时。,6）不稳定性：,不论取得得多么小，只要在 内有一条从x0 出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。,注意：按李雅普诺
3、夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。,稳定性定义的平面几何表示,设系统初始状态 x0 位于平衡状态 xe 为球心、半径为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以 xe 为球心，半径为的闭球域内。,（a）李雅普诺夫意义下的稳定性（b）渐近稳定性（c）不稳定性,4.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法,李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。线性定常系统的特征值判据 系统 渐近稳定的充
4、要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即证明：(略),李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理：根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及t 有关，是一个标量函数，记以；若不显含t，则记以。考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。,4.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法,4.3.1 标量函数定号性,正定性：标量函数 在域S中对所有非零状态 有 且，则称 均在域S
5、内正定。如 是正定的。负定性：标量函数 在域S中对所有非零x有 且，则称 在域S内负定。如 是负定的。如果 是负定的，则 一定是正定的。负（正）半定性：，且 在域S内某些状态处有，而其它状态处均有（），则称 在域S内负（正）半定。设 为负半定，则 为正半定。如 为正半定不定性:在域S内可正可负，则称 不定。如 是不定的。,二次型函数 是一类重要的标量函数，记,其中，P 为对称矩阵，有。,当的各顺序主子行列式均大于零时，即,则 正定，且称 P为正定矩阵。当 P的各顺序主子行列式负、正相间时，即,则 负定，且称 P为负定矩阵。若主子行列式含有等于零的情况，则 为正半定或负半定。不属以上所有情况的
6、不定。,二次型赛乐维斯特准则,定理：,设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性地把状态空间原点作为平衡状态,并设在原点邻域存在 对 x 的连续一阶偏导数。,4.3.2 李雅普诺夫第二法诸稳定性定理,定理1 若（1）,负定；则原点是渐近稳定的。,负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。,定理2 若（1）,正定；（2）,负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近,稳定的。,负半定表示在非零状态存在,，但在从初态出发的轨迹,上，不存在,的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不,会维持在该状态。,定理3 若（1）,正定；（2）,负半定，且在非零状
7、态恒为零；则原点是李雅普,，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态,沿状态轨迹能维持,诺夫意义下稳定的。,而不运行至原点。,定理4 若（1）,正定；（2）,正定；则原点是不稳定的。,正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。,正定，当,正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳,参考定理2可推论：,定。,注意：李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。,具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数,，通常选二次型函数，求其导数,再将状态方程代入，最后根据,是否有恒为零：令,将状态方程代入，若能导出非零解，表示对,，,若导出的是全零解，表示只有原点满足,的条件。,的定号性
8、判别稳定性。,的条件是成立的；,例4-1 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。,解 令,及,，可以解得原点（,）是系统的唯一平衡状态。,，则,将状态方程代入有,显然,负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。鉴于只有一个平衡状态，该非线性,与t 无关，系统大范围一致渐近稳定。,取李雅普诺夫函数为,系统是大范围渐近稳定的。因,判断在非零状态下,例4-2 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,，,解 令,得知原点是唯一的平衡状态。选,则,当,时，,；当,时，,故,不定，不能对稳定性作出判断，应重选,选,，则考虑状态方程后得,对于非零状态（如,）存在,，对于其余非零状态，,，故,根据定理2，原
9、点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。,负半定。,例4-3 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,，,解 由,可知原点是唯一平衡状态。选,，考虑状态方程则有,对所有状态，,，故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。,例4-4 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,解 原点是唯一平衡状态。选,，则,，,与,故存在非零状态（如,使,而对其余任意状态有,，故,根据定理4的推论，系统不稳定。,无关，,),正半定。,解,是系统的唯一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的,，,得到,原状态方程在,状态空间（1，1）处稳定性判别问题就变成变换后状态方程在 X,对其求导考虑状态方程得到,系统原点是大范围一
10、致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态（1，1）处是大,结果。作坐标变换,选,状态空间原点处稳定性的判别问题。,围一致渐近稳定的。,注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。,例4-5 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。,例4-6 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。,解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令,得知系统有两个平衡状态，,和,对位于原点的平衡状态，选,于是，当,时，系统在原点处的平衡状态是局部,根据定理4，当,时原点显然是不稳定的,时原点也是不稳定的,从状态方程直接看出。,，作坐标变换,，得到新的状态方程,因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于
11、原系统在状态空间,处的平衡状态，当,时是局部一致渐近稳定的；当,时是不稳定的，,时也是不稳定的。,一致渐近稳定的。,或系统发散，,也可以,当,对于平衡状态,当,有,4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析,4.4.1 连续系统渐近稳定的判别,设系统状态方程为,，,平衡状态。可以取下列正定二次型函数,作为李雅普诺夫函数,根据定理1，只要,正定（即,负定）则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性,，存在满足 式的,为非奇异矩阵，故原点是唯一,求导并考虑状态方程,令,得到,定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一正定矩阵,正定矩阵,。,(#),(#),先指定正定的,阵，然后验证,阵是否正定。,
12、注：,(),定理5（证明从略）系统,渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵,正定实对称矩阵,使 式成立。,，存在,该定理为系统的渐近稳定性判断带来实用上的极大方便。,(),例4-7 试用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的,值范围。,例4-7 系统框图,解 由图示状态变量列写状态方程,稳定性与输入无关，可令,。由于,，,非奇异，原点为唯一的平衡状,为正半定矩阵,态。取,则,，,负半定。令,，有,，考虑状态方程中,，解得,；考虑到,，解得,，表明唯有原点存在,令,展开的代数方程为6个，即,，,，,，,，,解得,使,正定的条件为：,及,。故,时，系统渐近稳定。由于是线性定,常系统，系统大范围一致渐近稳定。,（二）应用定理判稳步骤：,4.4.2 离散系统渐近稳定的判别,4.4.3线性时变系统稳定性分析,4.5 李雅普诺夫稳定性分析的应用,一、线性定常系统设计（古典校正）不稳定系统（校正）稳定,二、系统动态性能估算,三、应用李氏直接法求系统参数最优化,四、求最优控制U,求U最优保证系统渐进稳定，设U=-kx使二次型指标,为最小。,
