数学教育毕业论文（设计）浅谈反证法.doc

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1、宁 德 师 范 学 院毕 业 论 文 (设 计)专业 数学教育 指导教师 学 生 学 号 题 目 浅谈反证法 2012年5月27日谈反证法宁德师范学院 数学系 09级数学教育（2）班 福建宁德 352100摘要：介绍反证法的概念、理论根据及一般步骤和宜用反证法证明的命题.关键词: 反证法 数学 适用范围在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一，但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，在运用上又不如直接证法那样顺理成章，而且在归谬过程中学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力，对在怎样的情况下才可采用反证法，学生又不容易判断，所以对反证法的理解和

2、在恰当地应用上都存在不少的问题，因此本文就反证法做一些介绍和探讨. 1 反证法概念及分类1.1 反证法的概念1589年，25岁的意大利科学家伽利略，登上比萨斜塔，同时丢了两个不同的铁球，用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断，这是众所周知的.但你可能不知道，伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体重得多，则应比先落地，现在把和捆在一起成为物体.一方面，由于比重，它应比先落地；另一方面，由于比落得快，、一起时，应“拉了的后腿”，使下落的速度减慢，所以，应比后落地，这个矛盾来源于亚里士多德的断言.因此，亚里士多

3、德的断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略所用的方法就是反证法.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯（前460 年左右），在欧几里得的几何原本中也有不少用反证法的范例.我国在五世纪时张邱建算经中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法，当正面不容易或者不能证明时，我们可以从命题的反面来思考问题，若能恰当使用，就可以化繁为简, 化难为易,特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法，因此认识和掌握反证法就显得十分重要.法国数学家阿达玛在其所著初等数学教程中作了最准确、最简明的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲

4、，就是由否定命题结论的正确性出发，根据题设条件、定义、法则、公理、定理，进行一系列正确的逻辑推理，最后得到一个矛盾的结果.即就是通过证明命题结论的反面错误, 从而断定命题结论正确.这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法.1.2 反证法的分类根据命题结论的否定情况，把反证法分为归谬反证法和穷举反证法.当命题结论的反面只有一种情况时，只要驳倒其反面就可以，这种证法叫做归谬反证法；当命题结论的反面不只有一种情况时，就必须将反面的所有情形一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法叫做穷举反证法.2 反证法的科学性及证明步骤2.1 反证法的科学性2.1.1 反证法的理论依据.反证法所依据的是亚里士多德的形式逻

5、辑的两个基本规律矛盾律和排中律.所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中，对同一对象的两个矛盾的、对立的判断，不能同时都为真，其中至少有一个是假的.如这个对象，“是偶数”和“是奇数”的两个判断中至少有一个是假的.而所谓“排中律”则是说：对同一个对象，任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一.如要证明“是偶数”，只要证明“不是偶数”不真就够了.因为“是有偶数”和“不是偶数”是对象的两个相矛盾的判断，依据排中律，其中必有一个判断是真的.如能证明“不是偶数”不真，就可以证明“是偶数”为真.2.1.2 反证法的可信性.反证法在其证明过程中，根据“矛盾律”，对“原结论”和“否定的原结论”来说，这两个相矛盾

6、的判断不能同时都为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已证明为正确的命题都是真的，所以“否定的原结论”必为假.再根据“排中律”，“原结论”与“否定的原结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一个是真，而“否定的原结论”为假，于是我们得到“原结论”必为真.综上，我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据，通过逻辑推理，得出令人信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应用.反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.2.2

7、 反证法的证明步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤： （1）提出反设.反设是运用反证法证题的第一步，也是关键的一步，反设的结论作为下一步“推出矛盾”的一个已知条件.“反设”其意义是：假设所有证明的命题的结论不成立，而结论的反面成立.在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么.当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但当命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定.这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰好是命题的结论，要做到完全彻底的否定，不得有遗漏.（2）推出矛盾.“推出矛盾”是运用反证

8、法证题的核心，其含义是从命题结论的“反设”和原命题中的已知条件出发，进行正确严密的推理，推出与已知条件、定理、定义、公理等相矛盾或自相矛盾的结果.整个推理过程必须准确无误，这样导致的矛盾才是有效的.（3）肯定结论.由于推理过程正确，而又产生矛盾，其原因是“否定原结论”导致的结果，依据前面的分析，我们可以肯定“否定的原结论”必定是错误的，从而肯定原命题是正确的.例1 在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线不能相交.已知：两条直线、 同时垂直于直线，求证：、 不能相交.证明 【提出反设】假设、相交，设交点为，则在同一平面上，通过同一点有两条直线垂直于直线.【推出矛盾】因为在同一平面上，过一点只能

9、引一条直线与已知直线垂直.【肯定结论】所以、 不能相交.所以在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线不能相交.3 在具体运用反证法时应注意的问题（1）必须正确否定结论.正确找出与原命题相矛盾的命题.例2 结论：至少有一个是. 错误假设:至少有两个或两个以上是. 正确假设:没有一个是. 例3 结论：最多一个是.错误假设:最少有一个是. 正确假设: 至少有两个是.现将一些常用词的否定形式列表如下：原结论词假设词原结论词假设词是不是存在不存在都是不都是至少有个至多有个大（小）于不大（小）于至多有一个至少有两个（2）必须明确推理特点.在推理前能够推出什么样的矛盾结果，事先一般很难估计到，也不必要知道.

10、只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束.（3）了解矛盾种类.推理导出的矛盾是多种多样的，即推理导出的结果可能与题设或自相矛盾，可能与已知真命题（定义、公理、定理、性质）相矛盾，可能与客观事实矛盾，也可能与逆否命题假设相矛盾.由于反证法的应用多种多样，以下仅就推理中出现的矛盾形式举例说明.例4 证明首项系数为的整系数多项式的有理根必是整数.证明 设整系数多项式为的一个有理根是分数, 此处与 互质, 于是有,用乘上项并移项, 得，它的左端是分数, 右端是整数, 此乃矛盾等式. 原命题成立.4 宜用反证法证明的命题所有的方法在使用时都存在着一个合理选取的问

11、题，反证法虽然被人们所青睐，在数学中有着重要的作用，不过这并不是说这种方法能够在所有问题中显示出优势.一般地说，当命题具有下列特征时，可考虑引进反证法.4.1 否定性命题 这类命题的结论往往是以否定的形式出现, 如“不存在”、“不能表示为”、“不等于”、“不具有某种性质”等，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例5 半径成等差数列的大小不同的三圆两两外切, 试证以这三圆圆心为顶点的三角形的三内角不能组成等差数列.证明 令三圆圆心分别为、，其半径各为、, 则的三边为、.反设、 成等差数列, 则,， 由余弦定理得 ,化简整理得，.此与题设矛盾. 故、不能组成等差列.例6 证明对于任意自然数,

12、分数不可约.证明 假设可约, 则与有最大公约数为, , ， ， 又， 能被整除, 这与矛盾. 不可约.4.2 不定式命题这类命题结论中的对数, 往往是不确定的, 如几个数值中“至少有一个不大于(或不小于)某常数”或者是几个物体中“ 至少有个属某一类” 等等.这里并不指确定的对象.此时要直接验证就麻烦了, 而采用反证法问题就迎刃而解.例7 已知三个方程、中至少有一个方程有实数根，求实数 的取值范围.解 假设三个方程都无实根，则有： 解得. 实数 的取值范围为或.例8 已知：、均为实数，且,，求证：、中至少有一个大于.证明 假设、 都不大于0，即，则.事实上：, ， ， ，与假设矛盾. 、 中至少

13、有一个大于.4.3 唯一性命题例9 已知，证明的方程有且只有一个根.证明 由于.因此方程至少有一个根.如果方程不只一个根，不妨设、是它的两个不同的根，即，两式相减，得：.因为，所以，应有，这与已知矛盾，故假设错误.所以当时，方程有且只有一个根. 例10 已知对于任意给定的正整数, 存在整数、，使得，求证:满足条件的数、是惟一的.证明 假设存在两对整数、与、都满足条件, 不妨设，则这与假设矛盾. ， . 满足条件的、是唯一的.4.4 基本命题 此类命题的证明, 可利用的公理、定理较少或者难以与已知条件相沟通,直接证明的情况过于冗长、复杂时, 宜用反证法.例11 两个自然数的任意一个公倍数都是它们

14、的最小公倍数的倍数.证明 假设，而是，的任意一个公倍数,则不能整除.，同样，,是，的公倍数, 而, 这与是,的最小公倍数矛盾, . 两个自然数的任意一个公倍数都是它们的最小公倍数的倍数.例12 将正整数随意填入的方格表,每格数,证明:必有某两个相邻方格中所填数字之差不小于.证明 假设命题的结论不成立, 即可以找到一种填法, 使得每两个相邻方格所填数字之差都不超过5,我们观察那个同在一行, 与同在一列的数.一方面,由于在与之间至少相隔个方格,故必有;另一方面, 在 与之间也至多相隔个方格, 故又必有.上述两个结论显然是矛盾的, 从而命题得证.4.5 命题结论所涉及的对象无限在此类问题中,结论的反

15、面是有限,它比无限更具体,由它去推出矛盾,从而否定有限而肯定无限,在有限的条件下能应用的知识和方法就比较多一些, 故常采用反证法.例13 求证:素数有无穷多个.证明 假设素数只有有限个,设为个,记为,.令. 若是素数,则,所以素数至少有个,这与假设矛盾.若是合数,则存在素数,使得能被整除.显然,均非的因数,所以是异于的素数,从而素数也至少个,也与假设矛盾.故素数有无穷多个.4.6 命题结论涉及无理数无理数是无限不循环小数,本身难以表示,而它的反面有理数可表示成既约分数形式,因此宜采用反证法.例14 设、都是自然数,而不是自然数,求证是无理数.证明 假设是有理数,则,将,分解质因数得，因，互质,

16、，中无相同者,于是由两端乘方次得：，上式右端为既约分数,左端为自然数,这与有理数定义中，互质矛盾,故原命题成立. 英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以去取得优势的让棋法，它还要高明.象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让与对方！”有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以轻而易举地解决,反证法就是这样的一种方法.反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想.反证法的独特的思维方式和证题方法对提高数学创造性地分析问题和解决问题的思想素质有重要意义.参考文献1 方华，数学解题规律与思路分析M ，

17、山东教育出版社2王传荣, 张云晓.不等式的证明及应用M ，天津科学技术出版社3胡晓军，谈谈反证法，运城市盐湖区，教材教法4 余四海, 学科教育数学篇, 二十一世纪教育思想文故,447-449页5 田 洁，反证法原理及其应用A ,铜仁学院学报,第1 卷 第4 期 附表1： 宁德师范学院毕业论文(设计)开题报告学生姓名叶留香学 号2009041237系 别数学系专 业数学教育指导教师赵小珍职 称讲师毕业论文（设计）题目浅谈反证法毕业论文（设计）工作期限 2011 年 12 月 15日起至 2012 年 5 月 27日止选题的目的和意义目的：介绍反证法的概念、理论根据及一般步骤和宜用反证法证明的命题

18、. 意义：在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想.反证法的独特的思维方式和证题方法对提高数学创造性地分析问题和解决问题的思想素质有重要意义.毕业论文、设计综述本论文文总共分六大部分：引言 在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一，但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，因此本文就反证法做一些介绍和探讨.1 反证法概念及分类法国数学家阿达玛在其所著初等数学教程中作了最准确、最简明的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”. 根据命题结论的否定情况，把反证法分为归谬反证

19、法和穷举反证法.2 反证法的科学性及证明步骤2.1反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑的两个基本规律矛盾律和排中律.2.2反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤：提出反设推出矛盾肯定结论3在具体运用反证法时应注意的问题（1）必须正确否定结论.（2）必须明确推理特点.（3）了解矛盾种类.4 宜用反证法证明的命题4.1 否定性命题4.2 不定式命题4.3 唯一性命题4.4 基本命题4.5 命题结论所涉及的对象无限4.6 命题结论涉及无理数总结 学习反证法的意义研究步骤定题方向，确定论文题目查阅和收集材料拟定论文写作提纲写作论文初稿修改论文定稿提交日程安排定题方向，确定论文题目 2011.1

20、2.152011.12.31查阅和收集材料 2012.01.012012.01.31拟定论文写作提纲 2012.02.012012.02.29写作论文初稿 2012.03.012012.04.05修改论文 2012.04.062012.05.15定稿提交 2012.05.162012.05.27 阅读书目及参考文献1 方华，数学解题规律与思路分析M ，山东教育出版社2王传荣, 张云晓.不等式的证明及应用M ，天津科学技术出版社3胡晓军，谈谈反证法，运城市盐湖区，教材教法4 余四海, 学科教育数学篇, 二十一世纪教育思想文故,447-449页5 田 洁，反证法原理及其应用A ,铜仁学院学报,第1

21、 卷 第4 期成果1、毕业论文（设计）文本1份2、毕业论文（设计）开题报告1份3、毕业论文（设计）评定书1份学生送交论文（设计）日期2012.05.27指导教师（签名）注：1、开题报告在指导教师指导下完成.2、毕业论文（设计）完成后，相关成果按照毕业论文（设计）档案管理要求存档.3、若有关表格不够填写，可另附纸张.附表2： 宁德师范学院毕业论文(设计)评定书学生姓名叶留香专 业数学教育学 号2009041237指导教师赵小珍答辩成绩论文题目浅谈反证法指导过程记录 选题及提纲题目：浅谈反证法 提纲：引言 为什么写反证法？1 反证法概念及分类.2 反证法的科学性及证明步骤.3在具体运用反证法时应注

22、意的问题.4 宜用反证法证明的命题.总结 学习反证法的意义.教师签字日 期2012.2.18指导与修改 讨论选题与指导参阅书目. 对提纲作了部分修改. 对文章的框架作了部分调整. 对摘要、关键词、正文作了调整并对排版作了说明与要求.教师签字日 期 2012.5.20定稿 文章进一步修改后定稿. 题目定为：浅谈反证法. 符合基本毕业论文要求，同意提交答辩.教师签字日 期 2012.5.27其他教师签字日 期指导教师评语初评成绩： 指导教师： 2012 年 5 月 28 日答答辩小组意见答辩成绩： 答辩主持人： 2012 年 6 月 06 日系答辩委员会审核意见同意答辩小组意见，成绩：系主任: （加盖公章） 2012 年 6 月 10 日