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1、胡克定律摘要：关于胡克定律的发展历史，推导过程以及历史地位。正文：胡克定律（Hookes law），又译为虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变（单位变形量）之间成线性关系。满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型（英文Hookean）材料。从物理的角度看，胡克定律源于多数固体（或孤立分子）内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。胡克证明了弹簧震动是等时的，还把弹簧应用于钟表制造。在物理学中主要用于研究与弹簧有关的问题。测力计(有时叫弹簧秤): 利用金属的弹性体制成标有刻度用以测量力的大小的仪器，谓之“测力计”。测力计有各种不同的构造形式，但它们
2、的主要部分都是弯曲有弹性的钢片或螺旋形弹簧。当外力使弹性钢片或弹簧簧发生形变时，通过杠杆等传动机构带动指针转动，指针停在刻度盘上的位置，即为外力的数值。有握力计等种类，而弹簧秤则是测力计的最简单的一种。关于胡克定律的推导过程：许多实际材料，如一根长度为L、横截面积A的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟其单位伸长（或缩减）量（应变）在常系数E（称为弹性模量）下，与拉（或压）应力 成正比例，即： =E或其中L为总伸长（或缩减）量。胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特胡克的名字命名。胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。两年后他
3、公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长（那样变化）”，这正是胡克定律的中心内容。胡克定律仅适用于特定加载条件下的部分材料。钢材在多数工程应用中都可视为线弹性材料，在其弹性范围内（即应力低于屈服强度时）胡克定律都适用。另外一些材料（如铝材）则只在弹性范围内的一部分区域行为符合胡克定律。对于这些材料需要定义一个应力线性极限，在应力低于该极限时线性描述带来的误差可以忽略不计。还有一些材料在任何情况下都不满足胡克定律（如橡胶），这种材料称为“非胡克型”（non-hookean）材料。橡胶的刚度不仅和应力水平相关，还对温度和加载速率十分敏感。胡克定律在磅秤制造、应力分析和材料
4、模拟等方面有广泛的应用。胡克定律应用的一个常见例子是弹簧。 在弹性限度内，弹簧的弹力F和弹簧的长度变化量x成线性关系，即：F= kx式中k是弹簧的劲度系数（或称为倔强系数），它由弹簧材料的性质和几何外形所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反，这种弹力称为回复力，表示它有使系统回复平衡的趋势。满足上式的弹簧称为线性弹簧。通过变形储存在弹簧中的弹性势能为：该式可以理解为弹簧在压缩过程中逐小段做负功的极限累加，数学上就是作用力对作用距离的定积分（注意势能恒为正值）。势能函数在Ux平面内是一段抛物线。随着弹簧沿x方向变形（无论拉伸还是压缩），势能相应增加。非平衡状态时的势能总是高
5、于平衡状态（x= 0）时的势能。所以弹簧力的作用总是使系统向势能减少的方向运动，正如在半山上的球在重力的作用下总是要往山下（重力势能小的地方）滚一样。如果将一块质量悬挂在这样一个弹簧的末端，然后对它施加一个轴向扰动（可以是敲打或拉开一段距离突然松手），质量和弹簧组成的系统将会以下列固有角频率（又称共振角频率）开始振动：若要对处于三维应力状态下的材料进行描述，需要定义一个包含81个弹性常数的四阶张量cijkl以联系二阶应力张量ij和应变张量（又称格林张量）kl。由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对称性（应力张量的对称性就是材料力学中的剪应力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材料也只有
6、21个是独立的。由于应力的单位量纲（力/面积）与压强相同，而应变是无量纲的，所以弹性常数张量cijkl中每一个元素（分量）都具有压强的量纲。对于固体材料大变形力学行为的描述需要用到新胡克型固体模型（neo-Hookean solids）和Mooney-Rivlin型固体模型。各向同性材料（isotropic materials，也译作等向性材料）顾名思义就是（力学）性能沿空间中不同方向不发生变化的材料。显然描述这种材料的物理方程的形式不应随坐标系的旋转而改变。材料内部的应变张量也应该是对称的。由于任何张量的迹都是一个与所选坐标系无关的量，所以可以完备地将一个对称张量分解为一个常张量（即除主对角
7、线上的分量以外均为0的张量）和一个迹为0的对称张量之和。即：其中ij是一个二阶单位张量（通过克罗内克记号来定义）。上式右边第一项是一个常张量，称为应变张量的静水压分量；右边第二项是一个迹为0的对称张量，称为剪应变分量。对于各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是将应力张量写成上述两个应变张量分量的线性组合：式中K称为体积模量（bulk modulus），G是材料的剪切模量。利用弹性力学理论中的弹性常数和实际工程应用中使用的弹性模量之间的关系，以上的关系还可写成其他形式，譬如下面这组方程用应力张量来表示了应变张量：式中Y称为杨氏模量，为泊松比。正交各向异性材料正交各向异性材料是非常常见的一种材料模型
8、，这种材料有三个互相正交的材料对称面；其三维胡克定理可以用矩阵表示为此式中独立的材料常数为9个。 注意式中三个剪切应力和三个剪切应变的顺序，不同教科书可能会不同的选择。各向同性材料也是正交各向异性材料的一种特例，即有无数个对称平面的情况。这时独立材料常数只有2个，即杨氏模量和泊松比。虽然现在看来，胡克定律只是一个简单而基础的定律，人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于
9、1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在18221828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡
10、)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。结论：虽然现在看来，胡克定律只是一个简单而基础的定律，但是，显然它在弹性力学发展的历史中依然有着重要的地位。弹性力学初期的发展几乎就是以胡克定律为标志的。百尺高楼平地起，大约可以说明胡克定律的作用。参考文献 1 Y. C. Fung （冯元桢）,Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1965 2 A.C. Ugural, S.K. Fenster,Advanced Strength and Applied Elasticity, 4th ed
