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1、7.3球的表面积和体积学习目标重点难点1.在上一节学习的基础上，会用公式求柱、锥、台体的体积了解柱、锥、台体的体积之间的关系2记住球的表面积和体积公式，并进行有关计算3通过学习，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了探索问题和解决问题的信心重点：柱体、锥体、台体的体积的计算会用公式求球的表面积和体积难点：与球有关的组合体的体积计算疑点：已知几何体的三视图，首先转化为直观图，再求它体积.1柱、锥、台体的体积V柱体Sh(S为柱体的底面积，h为柱体的高)V锥体Sh(S为锥体的底面积，h为锥体的高)V台体(S上S下)h(S上，S下分别为棱台的上，下底面积，h为高)预习交流1柱体、锥体、台体的体积公式有
2、何联系？提示：台体的体积公式中，如果设S上S下，就得到柱体的体积公式V柱体Sh；如果设S上0，就得到锥体的体积公式V锥体Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下由上可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例预习交流2(1)正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的()A.B.C. D.(2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_提示：(1)B(2)282球的表面积和体积S球面4R2，V球R3(其中R为球的半径)预习交流3(1)若球的半径由R增加为2R，则这个球的表面积变为原来的_倍，体积变为原来的_倍(2)若一个球的体积为4，则它的
3、表面积为_提示：(1)48(2)121柱体的体积如图是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点正三棱柱的主视图如图.求正三棱柱ABCA1B1C1的体积思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD，AA13，从而在底面即等边ABC中，AB2，所以正三棱柱的体积VShBCADAA1233.1圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是_解析：设圆柱的底面半径为r，则Sr2，r，则圆柱的母线长l2r2，即圆柱的高h2，V圆柱Sh2S.答案：2S2根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积解：该几何体上方是底面
4、半径为，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4,1,1的长方体，从而V411214.1.求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解2求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和2锥体的体积(2011辽宁高考，文18)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以
5、平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.所以PQ平面DCQ.(2)解：设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.1(2011陕西高考，理5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A8 B8C82 D.解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个棱长为2的正方体且内部去掉一个底面与正方体上底面内
6、切，高等于正方体棱长的圆锥正方体的体积为8，圆锥的体积为r2h，所求几何体的体积为8.答案：A2下图是一个正方体，H，G，F分别是棱AB，AD，AA1的中点现在沿GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的部分的体积是原正方体体积的几分之几？解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是RtAGF，而FAG为90，G，F分别为AD，AA1的中点，所以AFAGa.所以AGF的面积为aaa2.又AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AHa.所以锯掉的部分的体积为aa2a3.又a3a3，所以锯掉的部分的体积是原正方体体积的.(1)锥体的体积公式VSh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以
7、是正棱锥，也可以不是正棱锥(2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法3台体的体积如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1V2_.思路分析：V1对应的几何体AEFA1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面积的；V2对应的是一个不规则几何体，显然V2无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示解析：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则VV1
8、V2Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以SAEFS，V1hSh，V2ShV1Sh，故V1V275.答案：75四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积解：C(2,1)，D(0,3)，圆锥的底面半径r2，高h2.V圆锥=r2h=222=.B(1,0)，C(2,1)，圆台的两个底面半径R=2，R=1，高h=1.V圆台= (R2+R2+RR)=1(22+12+21)= ，V=V圆锥+V圆台=5.求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几
9、何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察4球的表面积和体积(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2C12a2 D24a2(2)如果三个球的半径之比是123，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A1倍 B2倍C3倍 D4倍思路分析：(1)该球的直径等于长方体的体对角线长(2)可设出球的半径，计算出三个球的体积，然后求得结论解析：(1)由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线长为a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线
10、，2Ra.S球4R26a2.(2)半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为(3x)3，其余两个球的体积之和为x3(2x)3，(3x)33.答案：(1)B(2)C1(2011湖南高考，理3)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A12 B18C942 D3618解析：由题意知该几何体上部为直径为3的球，下部为长、宽、高分别为3,3,2的长方体，该几何体的体积为V233218.答案：B2请用所学知识探求表面积相等的球和正方体，哪个体积更大解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，依题意得4r26a2，所以ra.所以V球3a3.又因为V正方体a3，
11、且1，所以V球V正方体，即球的体积大于正方体的体积计算球的表面积和体积时要注意的问题：(1)关键是计算球的半径，而计算半径的关键是寻找球心的位置因此，在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息(2)当球的半径增加为原来的2倍时，球的表面积增加为原来的4倍，球的体积增加为原来的8倍(3)注意公式的“双向”应用，也就是说当知道球的表面积或体积时，也可以求出球的半径1. 已知高为3的直三棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥BABC的体积为()A B.C. D.解析：由题意知SABC12，VBABCSABC3.答案：D2已知两个球的半径之比为12，则这两个球的表面积
12、之比为()A12 B14C16 D18解析：由S4r2知，若半径之比为12，则表面积之比为14.答案：B3圆台的上、下底面的面积分别为，4，侧面积是6，这个圆台的体积是()A. B2C. D.解析：设上、下底面半径为r，r，母线长为l，则圆台的高h，V圆台(4).答案：D4(2011辽宁高考，文8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A4 B2 C2 D.解析：由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为a2a2，得a2.由俯视图易知，三棱柱的左视图是以2为长，为宽的矩形其面积为2.故选B.答案：B5.如图，一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(3.14)解：设水面下降的高度为x cm，因为圆锥形铅锤的体积为20=60(cm3)，则小圆柱的体积为(202)2x100x(cm3)所以60100x，解得x0.6(cm)则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.
