《2003～工科数学分析,高等数学(A,B)(上册)试卷.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2003～工科数学分析,高等数学(A,B)(上册)试卷.doc（69页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、 0309级高等数学（A）（上册）试卷东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数分考试学期04052（期中）得分学号 姓名 适用专业选修数分各专业考试形式闭考试时间长度120分钟题号一二三四五六得分一 填空题（每小题4分，共20分） 1当时，与为等价无穷小，则= 。2设曲线，在的对应点处的的切线方程为 。3设在点处连续，则 。4设则= 。5（为有限数）的定义是 。二 选择题（每小题4分，共16分）1 设， 而在处连续，且，则 （ ）（A） （B）（C） （D）不存在2 设数列满足，则必有 （ ）（A） （B）（C）不存在 （D） 3若与可导，且（为有限数）则 （ ）（A）必有 （B）必有
2、存在，且（C）若存在，则 （D）若存在，未必 4设 （ ）（A）当时，是无穷小 （B）当时，是无穷大 （C）在内有界 （D）在内无界三（每小题7分，共28分）1 计算极限2计算极限3 设函数是由方程确定的隐函数，求4 设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于，求。四（每小题7分，共21分）1 用语言证明。2 证明函数在上不一致连续。3 证明数列是收敛的。五（8分）设且有，证明数列收敛，并求出极限。六（7分）证明方程有且仅有一个实根，其中为正整数。东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数分考试学期04052（期中）得分学号 姓名 适用专业选修数分各专业考试形式闭考试时间长度120分钟题号
3、一二三四五六得分一.填空题（每小题4分，共20分） 1当时，与为等价无穷小，则=。2设曲线，在的对应点处的的切线方程为。3设在点处连续，则。4设则= 。5（为有限数）的定义是: 对任意的存在当时，都有。二.选择题（每小题4分，共16分）3 设， 而在处连续，且， （ D ）（A） （B）（C） （D）不存在 2.设数列满足，则必有 （ D ）（A） （B）（C）不存在 （D） 3若与可导，且（为有限数）则 （ C ）（A）必有 （B）必有存在，且（C）若存在，则 （D）若存在，未必 4设 （ D ）（A）当时，是无穷小 （B）当时，是无穷大 （C）在内有界 （D）在内无界三（每小题7分，共28
4、分）2 计算极限解：原式-1分 -2分-3分-1分3 计算极限解：-1分 -1分-2分-2分所以，原式-1分5 设函数是由方程确定的隐函数，求.解：在方程两边同时求微分得： -4分 所以-3分6 设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于，求。解：在方程两边同时对求导数得-2分 所以-1分 所以-3分 -1分四（每小题7分，共21分）4 用语言证明。证明：先不妨设，则-2分对，要使，即，因为当时，-2分所以只须，所以取，则当时，-2分所以-1分5 证明函数在上不一致连续。证明：取-1分则构造两数列-2分则，-1分所以对，都能找到某个,使得而-2分所以，在上不一致连续-1分 6 证明数列是收敛的。
5、证明：，因为对，有-2分 -2分所以对，取，则当有，所以数列收敛。-3分五（8分）设且有，证明数列收敛，并求出极限。证明：因为假设则，所以对有-3分所以，数列单调增加，所以收敛。-3分设其极限为则，所以或（舍），所以-2分六（7分）证明方程有且仅有一个实根，其中为正整数。证明：令，则，所以在上有一零点，很显然在上无零点。-3分假设在上至少有两个零点，设为其两零点，则对函数在上应用Rolle定理，得至少存在，使得，-2分而在上无零点，矛盾，所以在上有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根。-2分东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数分（期中）考试学期05062得分学号 姓名 适用专业
6、选修数分各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号一二三四五六得分一.填空题（每小题4分，共20分）1.设当时，是的高阶无穷小，而是的高阶无穷小，则 .2曲线在处的切线方程为 。3设其中是可导函数，且，则 。4设则 。5设函数，写出存在的Cauchy收敛原理 。二.选择题（每小题4分，共16分）6.设则下列论断中正确的是 （ ）（A） 若，则存在，对于，都有（B） 若，则存在，对于，都有（C） 若存在，对于，都有，则（D） 若存在，对于，都有，则7.设,则间断点的类型为 （ ）（A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点8设， 则不存在的点的个数为 （ ）（A）0，
7、 （B）1， （C）2， （D）39设在处可导，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）三（每小题7分，共28分）10.计算极限 11. 设，求。12设函数在处连续，求常数。13.设求。四（每小题7分，共21分）14.用定义证明。15.证明函数在上一致连续。16.数列收敛，证明数列是收敛的。五（8分）设且有，证明数列收敛，并求出极限。六（7分）设函数在上可导，在内二阶可导，且，证明：存在使得.东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数分（期中）考试学期05062得分学号 姓名 适用专业选修数分各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号一二三四五六得分一.填空题（每小题4分，共20分
8、）1.设当时，是的高阶无穷小，而是的高阶无穷小，则.2曲线在处的切线方程为。3设其中是可导函数，且，则。4设则。5设函数，写出存在的Cauchy收敛原理。二.选择题（每小题4分，共16分）6.设则下列论断中正确的是 （ A ）（E） 若，则存在，对于，都有（F） 若，则存在，对于，都有（G） 若存在，对于，都有，则（H） 若存在，对于，都有，则7.设,则间断点的类型为 （ B ）（A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点8设， 则不存在的点的个数为 （ B ）（A）0， （B）1， （C）2， （D）39设在处可导，则等于 （ A ）（A） （B） （C） （D）三
9、（每小题7分，共28分）10.计算极限 解：-3+3+1分11. 设，求。解：-3分 -4分12设函数在处连续，求常数。解：-1+4+2分13.设求。解：, 所以-2+5分四（每小题7分，共21分）14.用定义证明。证明： ，取,则当时，恒有-2分 -4分 所以-1分15.证明函数在上一致连续。证明：任取,取，则对恒有-3分(其中在与之间)又因为在闭区间上连续，所以在上一致连续，对此， -2分所以取，则当-2分所以函数在上一致连续。16.数列收敛，证明数列是收敛的。证明：因为数列收敛，所以数列有界，所以使得-2分则对，取，则当时恒有-4分 所以数列收敛。-1分五（8分）设且有，证明数列收敛，并
10、求出极限。证明：因为所以当时，则当，所以 ，此时所以数列单调增加有上界，所以收敛。 当时，则当，所以 ，此时所以数列单调减少有下界，所以收敛。所以收敛设，则,所以即六（7分）设函数在上可导，在内二阶可导，且，证明：存在使得.证明：因为，所以，使得，又因为，所以，因此，使得.所以，使得-2分所以，使得.-2分构造函数，在区间上应用Rolle定理得：使得， 即-3分东 南 大 学 考 试 卷课程名称工科数分考试学期06072得分适用专业选修数分各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟一.填空题（前三题每题4分，第4题8分,共20分）1设，其中为可微函数，则微分； 2已知，则，；3设函数,则；4 举
11、出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：（1）在处不连续，但当时，极限存在的函数有，（2）在处连续，但在时不可导的函数有，（3）在处导数为，但不为极值点的连续函数有，（4）属于“”或“”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得的有.二.选择题（每小题4分，共12分）1.设是单调增函数，是单调减函数，且复合函数，都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 C (A) (B) (C) (D) 学号 姓名 2设函数在内连续，且，则常数满足 C （A） （B） （C） （D）3关于数列的子列，下列叙述错误的是 C （A）若是Cauchy数列，则的任一子列都收敛.（B）若是有界数列 ，则必有
12、一子列收敛.（C）若是无界数列 ，则的任一子列都不收敛.（D）若当时是无穷大量 ，则的任一子列都不收敛.三（每小题7分，共35分）1 解： （3+2+2分）2. 解： （3+2+2分）3设，求 . 解：（3分）（4分）4.设是由方程所确定的隐函数，求曲线 在点处的切线方程.解：对方程关于求导得：，（4分）将代入得，（1分）于是所求切线方程为.（2分）5. 设数列满足，证明数列收敛并求极限。解：首先，（2分）由此可得，（3分）由夹逼定理得数列收敛，且.（2分）四（7分）设函数在的某邻域内具有一阶连续导数，且若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。解：由（4分）得.（3分）五（每小题7分，共14分）
13、1. 用定义证明.证：，（4分），取，当时，（3分）2. 利用Cauchy收敛准则证明：数列发散.证：，（4分）取，对，取，则，由Cauchy收敛准则得：数列发散. （3分）六. (6分)设函数在区间上连续，在内可导，试证：存在一点，使得 证：设，（2分）在区间上连续，在内可导，且，由罗尔定理知，使得，由于，得（4分）七.(6分)设在上可导，且，证明：在内非一致连续.证：用反证法。设在内一致连续.对，对，有 （*），（2分）由，知对，当时，（2分）于是当时，使得，与（*）式矛盾，所以在内非一致连续. （2东 南 大 学 考 试 卷课程名称工科数学分析(期中)考试学期08-09-2得分适用专业选
14、修数分的各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟学号 姓名 题号一二三四五六七得分一.填空题（每个空格4分，本题满分32分）1 ；2当时，与是等价无穷小，则 ， ；3设，则_；4设是由方程所确定的隐函数，则 ；5设，则_ _； 6已知曲线和在点处相切，则 ， .二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7设,其中常数、互不相等,且 , 则的值等于 (A) (B) (C) (D) 8设函数，则 (A) 有无穷多个第一类间断点 (B ) 仅有一个可去间断点(C) 有两个跳跃间断点 (D) 有三个可去间断点9 已知存在,则 (A) (B) (C) (D) 三.计算题（本题满分27分）10（7分）
15、11. （6分） 12（7分）设，求. 13. （7分）用定义证明：. 四(14).（7分）已知函数可导，试求常数和的值.五(15).（7分）设函数在区间上连续，证明存在，且，使得.六(16). (8分) 证明函数在区间上一致连续.七(17)(7分) 设函数在区间上可导，且满足，令，证明数列收敛.东 南 大 学 考 试 卷课程名称工科数学分析（期中）考试学期10-11-2得分适用专业工科类考试形式闭卷考试时间长度120分钟学号 姓名 题号一二三四五六七得分一.填空题（每个空格4分，本题满分24分）1 ；2已知在处连续,则 ；3设,则微分_ _；4设，则_ _；5设是由方程所确定的隐函数，则 ；
16、6曲线在点处的切线方程为 _.二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7当时，与是等价无穷小，则 (A) (B) (C) (D) 8函数的间断点 （A）都是可去间断点 （B）都是跳跃间断点 （C）都是无穷间断点 （D）分别是可去间断点、跳跃间断点与无穷间断点9设在的邻域内有定义，则在可导的一个充分条件是 (A) 存在 (B ) 存在 (C) 存在 (D) 存在三.计算题（每小题8分，本题满分32分）10求极限 11.求极限 12设函数由参数方程所确定，试求、. 13. 写出函数在处的带有余项的阶公式. 四(14).（13分）设和都是实常数,，定义，回答下列问题，并说明理由。（1）当、满足什
17、么条件时，不是连续函数？（2）当、满足什么条件时，连续，但不可导？（3）当、满足什么条件时，可导，但在区间上无界？（4）当、满足什么条件时， 在区间上有界，但不连续？（5）当、满足什么条件时，连续？五(15).（7分）用定义证明.六(16). (7分)设函数在区间上可导，且在区间上单调增加，试证明：若，对任意，有 .七(17)(5分) 设在上一致连续，在上连续，且 ，证明：在上一致连续.10-11-2工科数分期中参考答案及评分标准一.填空题（每个空格4分，本题满分24分）1；2；3；4；5 ；6.二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7A； 8D；9D 三.计算题（每小题8分，本题满分3
18、2分）10解 （各2分）11. 解 （4分）由于，（3分）由夹逼定理得（1分）12 解 （3分），（5分）13. 解，（1+2+2+2+1分）四(14)（13分）.解（1）当时，不是连续函数（1分），因为不存在。（1分）（2）当时，连续，不可导（1分），因为，所以连续，而，右端极限不存在，故不可导（2分）（3）当时，可导，但在区间上无界（1分）。，故可导，但，由于，故在区间上无界（2分）。（4）当时，在区间上有界，但不连续（1分）。由（3）可得，此时可见等式右端的极限不存在，因而不连续，由（3）得，因。（2分）。（5）当时，连续（1分）。由（3）得，故连续（1分）。五(15).（7分）证，限制
19、，则（3分），取，当时，故（4分）六(16)(7分)证由于在区间上可导，由中值定理，存在介于与之间，使得，（4分）又由于在区间上单调增加，故，即.（3分）七(17)(5分) 证因，当，（1分）又因在上一致连续，对，当时，（1分）于是，当，有；（1分）利用定理，可知在上一致连续，所以对此，当，时，有；（1分）当时，则当，时，有，所以在上一致连续. （1分）东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数学分析考试学期04052（期末）得分学号 姓名 适用专业上课各专业考试形式闭考试时间长度150分钟题号一二三四五六七得分三 填空题（每小题4分，共20分） 1设，则（1） 。2设，则 。3设,则当
20、 时,取得最大值。4设满足，则 。5已知是的一个原函数，且，则 。四 选择题（每小题4分，共16分）1设则 (A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点(C )有两个跳跃间断点 ( D)有三个可去间断点2设当时，都是无穷小量（），则当时，下列表达式不一定是无穷小量的是 (A) (B) (C) (D)3下列反常积分发散的是 (A) (B) (C) (D) 4.下列结论正确的是 (A) 若,则必有(B) 若在区间上可积,则在区间上可积(C)若是周期为的连续函数,则对任意常数都有(D)若在区间上可积,则在内必定有原函数. 三（每小题7分，共35分）4 设满足,求曲线在点处的切线方程.5 计
21、算积分 3计算积分4.计算反常积分5.设,求. 四.(7分) 求微分方程初值问题的解.五.(8分)在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小。 六(7分)设,求证:七（7分）求极限2004工科数分期末试卷（上）（A)参考答案一. 填空题(每小题4分,共20分)1. 2. 1 3. 4. 5.二.选择题(每小题4分,共16分) D A A C 三.(每小题7分,共35分)1.解:对原方程两边对求导数得 -4分 所以 -1分 所以所求的切线方程为-2分2.解:原式=-3+3分-1分3.解:令-2分则原式=-2+2+1分4.解:原式=-3分 =-3+1分5.解:原式=- 4+3
22、分四.解:的通解为 -2分的特解为-1分的特解为-2分所以的通解为-1分把代入得特解为-1分五.解: 图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积为-4分所以-2分得时, ,时, 时, ,所以时,体积最小.-2分六.解:令,则只须证-2分而-3分所以,所以在时严格单增,所以所以原不等式成立.-2分七.解:-3分而-2分 所以原式-2分 东 南 大 学 考 试 卷 A卷 2004.1课程名称 工科数学分析（上） 考试学期 03-04-2 得分 适用专业 数分班 考试形式 闭 考试时间长度 150分钟 共 4页题号一二三四五六七八一填空题（每小题3分，共18分）：1设是由方程确定的隐函数，则的单调增加
23、区间是 ，单调减少区间是 。2. 。3. 在点 处沿任意方向的方向导数都为零。 4. = 。 5. 已知当时，与是等价无穷小，则 ， 。6函数在区间上有上界的定义是 ,在区间无上界的定义是 。二单项选择题（每小题4分，共16分）：1. 设在处可导，则 (A) (B) (C) (D) 2设在处可导，且，则 (A) (B)2 (C) (D) -23使得反常积分收敛的充要条件是满足 (A) (B) (C) (D) 4若函数在点处不连续，则必定有 (A) 不存在 (B) 不存在 (C) 不存在 (D) 在点处不可微 三计算下列各题（每小题6分，满分24分）：1 ; 2. ;3 ; 4. ;四（强化班及
24、与强化班同班上课的同学做同一题号带*号的题，其余同学做不带*号的题）（每一题7分，共14分）： 1设，其中存在二阶连续偏导数，求 。2设是由方程确定的隐函数，其中可微，求。 2*. 求微分方程的通解 。五.（7分）计算由双纽线所围成的图形在圆以外部分的面积。六（与强化班同班上课的同学不做此题，7分）： 已知是椭圆上给定的两点，在该椭圆上求一点，使的面积为最大。六*（强化班及与强化班同班上课的同学做此题，7分）： 设函数连续，且满足，求函数。七（8分）试讨论在点处的连续性，可偏导性及可微性。八（6分）设在区间上存在连续导数，且，证明对任意的，有。03-04-2工科数分(上)期末考试参考答案 04
25、.1一. 填空题:(1) (),; (2); (3); (4); (5)(6),对,有,使得.二. 选择题: (1) B ; (2) A ; (3) C ; (4) D .三1. .2. 设, 则. 4. 四.1. , . 2. . 2*. 令,则原方程化为 ,所以 或者,解得或.五. .六. 过点的直线方程为, 满足,令), 则由解得,显然,由于面积最大的三角形必存在,故取六*. 令得, 等式两边求导并整理得：，解得，将 代入得, 所以七. 由 , 可得在点连续. 所以在点存在偏导数. 因为 , 所以在点可微.八对，所以 ，所以 。06-07-2工科数分期末参考答案及评分标准一.填空题（本题
26、共9小题，每小题4分，满分36分）1； 2曲线在对应的点处的切线方程为；3函数在区间内严格单调递减；4设函数定义在点的右邻域内,叙述当时, 收敛的Cauchy收敛准则 5 ；6设连续，且，已知,则；7已知在任意点处的增量，当时，是的高阶无穷小，已知，则；8曲线的斜渐近线方程是；9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解，则该方程为二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1计算不定积分 解：（2+3分）（2分）2计算定积分 解：（2+4+1分）3判定反常积分 的敛散性.解：都是奇点，（ 1分），由于收敛，收敛，由比较判别法得：与都收敛，故原反常积分收敛。（3+3分）4设 ，求 解：（2+3+2分）三（本题满分7分）求由圆绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：（3+2+2分）四（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）1求微分方程的通解。解：（2分）（2+3分
