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1、第七节 空间向量及其运算(*),1.空间向量的概念空间向量:在空间,我们把既有 又有 的量叫做空间向量.2.共线向量(平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定零向量与 共线.3.共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a0),b与a共线的充要条件是存在实数,使.,基础梳理,大小,方向,互相平行或重合,任意向量,b=a,xa+yb,4.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=.5.空间向量基本定理及其推论(1)空间向量基本定理如果三个向量,不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有
2、序实数组(x,y,z),使p=.(2)空间向量基本定理的推论设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=.,(x,y,z),(x,y,z),6.空间向量的坐标表示及坐标运算(1)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系O-xyz中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zk,则有序实数组 叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标.特别地,若A(x,y,z),则向量 的坐标为(x,y,z),记作=.(2)坐标运算设,则a+b=;a-b=;a=.,|a|b|cosa,b,aa,7.空间向量的数量积(1)
3、数量积的定义设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作ab,即ab=.规定:零向量与任一向量的数量积为0.(2)用数量积表示夹角、长度与垂直cosa,b=;|a|2=;ab(a,b是非零向量).,ab=0,a=b,8.空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标表示设,则ab=.(2)共线与垂直的坐标表示设,则ab,(R);ab(a,b均为非零向量).,(3)模、夹角和距离公式设,则=;cosa,b=;若,则=.,典例分析,题型一 向量的线性运算【例1】如图所示,在平行六面体 中,设,M,N,P分别是,BC,的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)
4、;(2);(3).,分析从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止.,解(1)P是 的中点,(2)N是BC的中点,(3)M是 的中点,又,学后反思 选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解.有分解才有组合，组合是分解的表现形式.空间向量基本定理恰好说明，用空间三
5、个不共面的向量组(a,b,c),可以表示出空间的任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.,举一反三1.在空间四边形OABC中,点M在OA上,且,N为BC的中点,则MN等于.,解析：,.+,得,答案：,题型二 共线、共面问题【例2】如图所示,已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心.(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.,分析 可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何直观判断,第(2)问中的
6、两个平面应该是平行关系.,解(1)如图,连接PE,PF,PG,PH,并分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有:,.因为四边形MNQR是一个平行四边形,所以 又 所以,即由共面向量定理知,E、F、G、H四点共面.,学后反思（1）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面.（2）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.（3）要学会用向量的知识来解决立体几何问题.,(2)由(1)得,所以.又因为EG 平面ABC,MQ 平面ABC,
7、所以EG平面ABC.因为,所以MNEF.又因为EF 平面ABC,MN 平面ABC,所以EF平面ABC.由于EG与EF交于E点,所以平面EFGH与平面ABCD平行.,答案：A、B、D,举一反三2.已知向量a,b,且,则A、B、C、D中一定共线的三点是.,解析：A、B、D三点共线.易证A、C、D不共线.,题型三 空间向量的数量积【例3】如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:(1);(2);(3).,分析 可先将EF看作,然后利用向量数量积的定义求出即可.,学后反思 注意由图形写向量夹角时易出错,如BD,DC=120,易错写为BD,DC=6
8、0.,解(1)(2)(3),举一反三3.如图,在四面体ABCD中,已知ABCD,ACBD,求证:ADBC.,证明：设=a,=b,=c,则=b-a,=c-b,=c-a.ABCD,即a(c-b)=0,ac=ab.又ACBD,即b(c-a)=0,bc=ba.=c(b-a)=cb-ca=ba-ab=0,ADBC.,题型四 向量的坐标运算【例4】(14分)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求:(1)ab;(2)a与b夹角的余弦值;(3)确定,的值使得a+b与z轴垂直，且(a+b)(a+b)=53.,分析 求夹角需利用数量积，因而需求得|a|与|b|代入公式cosa,b=而求,的值，需利用z轴
9、的单位向量联立方程组求解.,解(1）ab=（3，5，-4）(2,1,8)=32+51-48=-21.6(2)cosa,b=.10(3)取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,6,4).依题意(a+b)n=0,(a+b)(a+b)=53,即(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=0,(3+2,5+,-4+8)(5,6,4)=53,故-4+8=0,29+48=53,解得=1,=.14,学后反思 本题主要运用坐标代入运算即可.特别地，a+b与z轴垂直，只需满足a+b的竖坐标为零，即-4+8=0即可，可见,要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真.,举一反三4.已知向
10、量a=(1,-3,2)和b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使 b(O为原点)?,解析：(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),|2a+b|=(2)设AE=tAB,则=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).若 b,则 b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.故存在点E,使 b,此时E点坐标为E,10.已知向量x与向量a=(2,-1,2)共线，且满足方程ax=-18，求向量x的坐标.,考点演练,解析：x与a共线，
11、故可设x=k a,由ax=-18,得ak a=,9k=-18,故k=-2.x=-2a=(-4,2,-4).,11.如图,在棱长为a的正方体 中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0 xa,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)求出点E、F的坐标；（2）求证:(3)若、E、F、四点共面,求证:,解析：(1)易知,E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明:(a,0,a)、(0,a,a),=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),=-ax+a(x-a)+a2=0.(3)证明:、E、F、四点共面,、共面.视 与 为一组基向量,则存在唯一的实数对、使,即(-x
12、,a,-a)=(-a,a,0)+(0,x,-a)=(-a,a+x,-a),-x=-a,a=a+x,-a=-a,解得,=1.,12.已知A、B、C三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1)，（-2，2，3），求点P的坐标，使得,解析:设P(x,y,z)，则=(x-2,y+1,z-2),=(2,6,-3),=(-4,3,1),(x-2,y+1,z-2)=(2,6,-3)-(-4,3,1)=(6,3,-4)=(3,-2)，x-2=3，y+1=z-2=-2,解得 x=5,y=,z=0,P点坐标为(5,0).,第六节 几个三角恒等式,基础梳理,1.两角差的余弦公式为 cos(-)=cos cos+
13、sin sin;两角和的余弦公式为cos(+)=cos cos-sin sin;两角差的正弦公式为sin(-)=sin cos-cos sin;两角和的正弦公式为sin(+)=sin cos+cos sin.上述公式对任意的、都成立.,2.公式T(-)是,公式T(+)是，它们成立的条件是,3.二倍角公式在S(+)中，令=,可得到sin 2=2sin cos,简记为S2.在C(+)中，令=,可得到cos 2=cos2-sin2,简记为C2.在T(+)中，令=,可得到tan 2=2tan 1-tan2，简记为T2.,4.在C2中考虑sin2+cos2=1可将C2变形为cos 2=cos2-sin2
14、=2cos2-1=1-2sin2，它简记为C2.,5.半角公式在C2中,用 代替得,将公式变形可得,的推导方法是 与 两式相除，其公式为,6.升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2.降幂公式：,7.派生公式(1)(sin cos)2=1sin 2;(2)1+cos=(3)1-cos=(4)tan+tan=tan(+)(1-tan tan);,典例分析,题型一 sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x三者之间的转换问题【例1】已知-x0,sin x+cos x=求sin x-cos x的值.分析
15、由（sin x-cos x）2=(sin x+cos x)2-4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.,解 方法一：由sin x+cos x=平方,得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,即2sin xcos x=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=又-x0,sin x0,cos x0,sin x-cos x0,sin x-cos x=,方法二：联立方程 sin x+cos x=,sin2x+cos2x=1.由得sin x=-cos x,将其代入,整理,得25cos2x-5cos x-12=0,学后反思 sin xcos x,sin xco
16、s x之间的关系为(sin xcos x)2=12sin xcos x,（sin x+cos x）2+(sin x-cos x)2=2，三者知其一，可求其二，但须注意角x的范围对结果的影响.,举一反三1.（2009梅州月考）已知,求sin 及解析:由题设条件，应用两角差的正弦公式,得即sin-cos=.由题设条件，应用二倍角余弦公式,得,故cos+sin=.由和得sin=,cos=-,因此tan=-,由两角和的正切公式,得,题型二 三角函数公式的灵活应用【例2】化简下列各式.,分析（1）先切化弦，然后逆用差角公式和倍角公式;（2）注意1sin,1cos 形式的转化.,解(1),(2),sin
17、4+cos 40,cos 40,原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.,学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式套用相应的公式.,举一反三,2.化简（cos+sin）（cos-sin）（1+tantan）.,解析：原式=cos（1+tan tan）=cos+sin tan=cos+2sin cos=cos+=cos+1-cos=1.,题型三 三角恒等变换中角的拆、拼【例3】已知 且分析 抓住条件中的角“”、“”与结论中的角 的关系：,解,学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如：,举一反三3.已知,且02.(1)求 的
18、值；(2)求.,解析,(2)由0,得0-,cos(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-),题型四 三角恒等式证明【例4】(14分)已知tan(+)=2tan.求证：3sin=sin(+2).,分析 观察条件与结论间的差异可知:(1)函数名的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同.(2)角的差异是+,;,+2.通过观察可得已知角与未知角之间关系为：(+)-=;(+)+=+2,由此可化异为同.证明 由已知tan(+)=2tan,可得sin(+)cos=2cos(+)sin 4而sin(+2)=sin(+)+=sin(+)cos+cos(+)sin
19、=2cos(+)sin+cos(+)sin=3cos(+)sin,.8,又sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin=2cos(+)sin-cos(+)sin=cos(+)sin.12故sin(+2)=3sin 14,学后反思分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.,举一反三4.已知A、B为锐角，求证：的充要条件是（1+tan A）(1+tan B)=2.,证明：（充分性）(1+tan A)(1+tan B)=2,1+(tan
20、A+tan B)+tan Atan B=2,且tan Atan B1,tan(A+B)（1-tan Atan B）=1-tan Atan B,tan(A+B)=1.0A,0B,0A+B,A+B=(必要性)A+B=,tan(A+B)=tan，即,整理得（1+tan A）(1+tan B)=2.综上，若A、B为锐角，则A+B=的充要条件是(1+tan A)（1+tan B）=2.,易错警示,【例】若sin=,sin=,且、为锐角，求+的值.,错解 因为为锐角,所以cos=.又因为为锐角，所以cos=,且sin(+)=sin cos+cos sin=.由于090,090,则0+180,所以+=45或
21、135,错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(+)=,0+180,而得到+=45或135是正确的，但题设中sin=12,sin=.使得0+60,故上述结论是错误的.实质上本题是由于方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制而致错.我们若取+的余弦则易求得cos(+)=,又由于0+,故+=.这样就避免了上述角的范围的探求.因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数名称，往往能化繁为简.,正解 为锐角，cos=,又为锐角，cos=.cos(+)=cos cos-sin sin=.又090,090,0+180,sin=,sin=,0+60,+=.,考点演练,10.(2010南通模拟)已知=1,tan(-)=-,求tan(-2)的值.,解析:由,tan(-2)=tan(-)-=,11.求证.证明：方法一：.,原式成立.,方法二：原式成立.方法三：原式成立.,12.（2010南京模拟）已知sin-2cos=0.（1）求tan x的值；（2）求 的值.,解析：(1)由sin-2cos=0，得tan=2,故tan=.（2）原式,
