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1、六、薄板弯曲,板分成以下三种类型：,薄板：（1/801/100）（1/51/8）。,薄板弯曲,板所承受的荷载：作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题 垂直于中面的横向荷载。板产生弯曲，中面弯曲将成为一个曲面，垂直于中面的位移称挠度w。小挠度弯曲问题,薄膜：抗弯的能力很低，可认为抗弯刚度为零 横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担 厚板：内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以简化，应按三维问题处理 薄板 可以引进基本假定，使问题简化。,薄板基本假定（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；（2）中面法线变形后既不伸长也不缩短；（3）中面各点没有平行于中面
2、的位移。,假定的推论 假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似）z=0 w=w(x,y),假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似）zx=zy=0，,假定（3）f1(x,y)=0，f2(x,y)=0,薄板的应变,x=Kxz yKyz xy2Kxyzz=yz=zx 0,薄板的应力分量,(x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出(z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出,应力分量（z、zx、zy）相对面内应力分量（x、y、xy）很小 它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计 但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。,特点：均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，在板的上、下板面达到最
3、大。,面内应力分量（x、y、xy）,面外应力分量 使用平衡条件求出 考虑薄板上、下板面的边界条件 解得横向剪应力 特点：横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布，在板的上、下板面为零，在板中面最大,利用z方向的平衡条件求z,将z方向所有力作用等效移置到板面上，,板上、下表面的边界条件变成,特点：z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。,利用板下面的边界条件，f(x,y)=0,利用板下面的边界条件，得：,D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似,薄板的平衡微分方程,薄板的柱面弯曲,矩形板一个方向（比如y方向）足够长，分布荷载沿y方向不
4、变化，只沿x方向变化，即q=q(x)时，则 w=w(x)板弯曲成柱面，取单位宽度的窄条（梁）分析。平衡方程退化为 与梁的平衡微分方程相比，多了一项（12）。其原因是：板单位宽度的窄条是处于平面应变状态（y=0）,薄板横截面上的内力,剪应力互等定理 xy=yx，Mxy=Myx,正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正 内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲应是力，而不是通常的力长度。,内力由挠度表示,（x，y，xy）qb2/t2（xz，xz y）qb/t zq,应力与内力的关系,由内力表示的平衡微分方程,薄板问题求解D4w=q 侧边边界条件,侧边边界条件由圣维南原理
5、满足 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力,可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替,可用2个大小相等为，方向相反，相距dx的垂直力代替,此外，还有两端未抵消的集中剪力 RA(Myx)A，RB(Myx)B,分布剪力和分布扭矩合成,最终角点B出现未抵消的的集中力应是RB(Myx)B(Mxy)B2(Myx)B,及两端的集中力 RB(Mxy)B，RC(Mxy)C,侧边边界条件 自由边、简支边、固定边、角点 用挠度表示,（1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此，在x=a上，Mx=0，Vx0，在y=b上，My=0，Vy0，,（2）简支边在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零(w)y=0=0，(My)y=0(w)y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有，简支边的边界条件可写成(w)y=0=0,（3）固定边在x0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成(w)x=0=0（4）角点条件 板边分布扭矩代换为分布剪力后，在角点出现一个集中力，这个集中力就是支座对板角点的集中反力。对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则 RB=2(Myx)x=a,y=b=0，即：,
