第九章薄板弯曲ppt课件.ppt

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1、1,第九章 薄板弯曲问题,2,第九章 薄板弯曲问题,概述第一节 有关概念及计算假设 第二节 弹性曲面的微分方程第三节 薄板横截面上的内力第四节 边界条件 扭矩的等效剪力第五节 薄板弯曲的直角坐标求解第六节 圆形薄板的轴对称弯曲第七节 变分法求薄板的位移,3,薄板弯曲,概述,将坐标原点取于中面内的一点,x和y轴在中面内，z 垂直轴向下，如图所示。,我们把平分板厚度的平面称为中面。,4,薄板弯曲,薄板受到横向荷载（板面）的作用薄板的弯曲问题。,薄板受到纵向荷载（板面）的作用平面应力问题；,杆件受到横向荷载（杆轴）的作用梁的弯曲问题。,杆件受到纵向荷载（杆轴）的作用杆件的拉压问题；,当薄板受有一般载

2、荷时，总可以把每一个载荷分解为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应力、应变和位移。,5,薄板弯曲,薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。,当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面。,小挠度薄板这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：,(3)在内力中，仅由横向剪力FS与横向荷载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。,(2)在中面位移中,w

3、 是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；,(1)具有一定的刚度，横向挠度；,6,91 有关概念及计算假设,薄板弯曲,1.垂直于中面的线应变 可以不计。,故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。,根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：,取，由，得,2.次要应力分量zx,zy和z 远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力，与梁相似，也分为三个数量级：,7,薄板弯曲,弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力,为次要应力，为更次要应力。略去它们引起的形变，即得,并在空间问题的物理方程中，略去 引起的形变项。因此，略去。,8,薄板弯曲,薄

4、板弯曲问题的物理方程为,(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。,说明：,薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于 平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力。而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩 和扭矩。,从计算假定1、2，得出z=zx=zx=0。故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。,9,薄板弯曲,中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。,由于,3.薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即,中面内的形变分量均为零，即,类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上

5、述三个计算假定，并应用这三个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。,实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。,10,薄板弯曲,1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这三个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？,思考题,11,92 弹性曲面的微分方程,按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度w为基本未知量，把所有其它物理量都用w来表示。,薄板弯曲,本节从空间问题的基本方程出发，应用三个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。,12,薄板弯曲,薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内

6、容是：,4.导出板边的边界条件。,3.导出求解w的方程。,1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。,2.将其他未知函数纵向位移 u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量 及最次要应力 均用w来表示。,13,薄板弯曲,1.取挠度 为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，,具体推导如下：,横向位移w只是x、y 的函数，不随z变化。因此在中面的任一根法线上各点具有相同的横向位移，也等于挠度。,14,薄板弯曲,2.将，用 表示。应用几何方程及计算假定2，对 积分，又由计算假定3，故 得：,15,薄板弯曲,(b),3.主要应变 用 表示。应用其余三个几何方程，并代入式(a)得：,4.主要应力 用

7、 表示。应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：,(c),16,薄板弯曲,5.次要应力 用 表示。应用平衡微分方程的前两式（其中纵 向体力），有 代入式(c)，并对z积分，得：,其中,17,薄板弯曲,上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件,由此求出 及，代入得到,18,薄板弯曲,代入式(d)，并对z积分，得,由下板面的边界条件 求出，故更次要应力为,6.更次要应力 用 表示。,应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有,19,薄板弯曲,由上板面边界条件（属于静力平衡条件）得出在A域中求w的方程,为薄板的抗弯刚度,7.导出求解w的基本方程。,薄板挠曲微分方程也称为薄板的

8、弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。,20,薄板弯曲,在三个计算假定下，纵向位移u,v；主要应变；主要应力；沿z向均为线性分布，在中面 为0；次要应力（横向切应力）沿z向为抛物线分布；均与材料力学相似。更次要应力（挤压应力）沿z为三次曲线分布。,说明：,按位移求解薄板弯曲问题，只取w为基本未知函数。在导出求w的基本方程中应用了三个计算假定，与材料力学解梁的弯曲问题相似。,21,薄板弯曲,从上述推导过程可见,空间问题的6个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分方程都已考虑并满足（其中应用了3个计算假定）；并且在 的大边界（板面）上，三个应力边界条件也已精确满足。,只有板边的边界条件尚

9、未考虑，它们将作为求解微分方程（f）的边界条件。,22,思考题,试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲问题的异同。,薄板弯曲,23,薄板弯曲,93 薄板横截面上的内力,在薄板横截面上取一微分六面体，其三边的长度分别为,如图所示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着正应力 和剪应力。由于 和 在板厚上的总和为零，只能分别合成为弯矩 和扭矩；而 只能合成横向剪力。,显然，在垂直于x 轴的横截面上，每单位宽度之值如下：,24,薄板弯曲,同理,25,薄板弯曲,将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分得：,上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。,26,薄板弯曲,内力的正负方向的规定：正的应力合成的主

10、矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正。,27,薄板弯曲,利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方程以及内力与形变之间的弹性方程，消去，可以给出各应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。,28,薄板弯曲,显然，沿着薄板的厚度，应力分量 的最大值发生在板面，和 的最大值发生在中面，而 之最大值发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，在数值上较大，因而是主要应力；及 数值较小，是次要的应力；挤压应力 在数值上最小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩。,29,薄板弯曲,94 薄板的边界条件,以图示矩形板为例：,2 简支边,假设OC 边是简支边界，

11、则边界处的挠度和弯矩My,30,薄板弯曲,等于零。,即：,由于,则简支边OC 边界条件可写成：,31,薄板弯曲,扭矩可以变换为等效的剪力（扭矩的等效剪力）。边界AB上的分布扭矩可变换为等效的分布剪力,总的分布剪力为：,在A点和B点还有未被抵消的集中剪力：,32,薄板弯曲,3 自由边,板边CB 为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即：,由于扭矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可合并为：,33,薄板弯曲,将Mx、FSx、Mxy与 的关系代入，得自由边界CB 的边界条件为：,34,薄板弯曲,95 薄板弯曲的直角坐标求解,用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首先设定具有

12、待定系数的薄板挠度的表达式；其次利用薄板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠度与应力分量的关系，求得应力分量。,例1 试求边界固定的椭圆形薄板在承受均布载荷q 后的最大挠度和最大弯矩。,解：在图示坐标下，椭圆薄板的边界方程为:,35,薄板弯曲,设挠度的表达式为:,其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界上应有:,注意到,显然所设挠度 的表达式满足固定边界条件。,36,薄板弯曲,将挠度 的表达式代入弹性曲面微分方程,得:,从而,内力,37,薄板弯曲,最大挠度为:,38,薄板弯曲,例2、试求图示四边简支，承受均布载荷q0的矩形薄板之最大挠度。,39,薄板弯曲,得,将 展为傅立叶

13、级数,40,薄板弯曲,并注意到挠度 是y 的偶函数，则非齐次线性常微分方程的一般解为:,41,薄板弯曲,挠度的表达式：,42,薄板弯曲,例2、矩形薄板OABC的OA边和OC边是简支边，AB边和CB边是自由边，在B点受有横向集中力F，试证w=mxy能满足一切条件，其中m是待定系数。试求挠度、内力和反力。,解：,满足边界条件。,x=0,w=0,x=a,y=0,w=0,y=b,43,薄板弯曲,其它三个角点的支反力为,44,固定边椭圆板的边界方程为,受均布荷载 作用，如图，试求其挠度和内力。,例题1,45,由，显然。因此，从方向,解：固定边的边界条件是,(a),(b),导数的公式可推出，,为了满足边界

14、条件(a)，可以令,46,便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载，将式(c)代入方程 得出，并从而得,因此，只需取,(c),47,内力 为,读者可以检验，最大和最小弯矩为,48,当 时，便由上述解得出圆板的解答，若令 则椭圆板成为跨度为 的平面应变问题的固端梁。,49,四边简支矩形板，如图，受有分布荷载 的作用，试用重三角级数求解其挠度。,例题2,50,解：将 代入积分式，,由三角函数的正交性，,及,51,得,代入，得挠度的表达式为,52,四边简支矩形板，如图，在 的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。,例题3,53,解：板中的荷载只作用在 的线

15、上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在 的线上，荷载强度可表示为,代入系数 的公式，,54,(n=1,3,5),得出挠度为,55,四边简支矩形板，受静水压力作用，如图，试用单三角级数求解其挠度。,例题4,56,解：应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中96式(d)右边的自由项，即代入式(d)，方程的特解可取为,57,从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴，应为 的偶函数，由此，。于是 的表达式为,58,在 的边界，有简支边条件,将挠度 代入边界条件，记，得,59,解出,从而得挠度解答,60,发生在薄板的中心点的挠度为与板上作用有均布荷载 的

16、解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由 的条件，求出最大挠度为,61,薄板弯曲,126 圆形薄板的轴对称弯曲,求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄板所受的横向载荷是绕z 轴对称的（z 轴垂直板面向下），则该弹性薄板的位移也将是绕z 轴对称的，即 只是r 的函数，不随 而变。,一、弹性曲面微分方程,62,薄板弯曲,二、内力,其中 是任意一个特解。,从薄板内取出一个微分单元体，图示。在 r 为常量的横截面上，弯矩和横向剪力分别为Mr 和；在 为常量的横截面上，则为 和。由于是轴对称问题，故没有扭矩。,63,薄板弯曲,把x 轴和y 轴分别转到这个微分单元体的r 和

17、 方向，则利用坐标转换公式，有：,64,薄板弯曲,三、应力分量,利用坐标转换公式，同理有：,将应力分量用内力表示有：,65,薄板弯曲,例3、半径为a的实心圆板，周边固支，受均布载荷 及圆心处的集中力P 作用，求挠度。,66,薄板弯曲,由 得,由 得,故板的挠度,67,薄板弯曲,127 变分法求薄板的位移,薄板小挠度弯曲时，为微量，可略去不计。此时弹性薄板的变形能:,用挠度 表示:,68,薄板弯曲,其中A为薄板面积。,对于板边固定的任意形状板，以及板边界处 的多边形（板中无孔洞），由分步积分公式得:,对于固定板，即,69,薄板弯曲,即弹性板的变形能简化为：,例4 求四边简支矩形板 在均布载荷 作

18、用下的挠度。,70,薄板弯曲,在均布载荷 作用下，外力势能V 为,总位能:,71,薄板弯曲,由此得出,故,72,薄板弯曲,练习12.1 矩形薄板具有固定边OA，简支边OC及自由边AB和BC，角点B处有链杆支承，板边所受荷载如图所示。试将板边的边界条件用挠度表示。,x,y,z,M0,q,o,A,C,B,a,b,解：（1）OA边,（2）OC边,后一式用挠度表示为,73,薄板弯曲,（3）AB边,用挠度表示为,（4）BC边,74,薄板弯曲,用挠度表示为,（5）在B支点,75,薄板弯曲,练习12.2 有一块边长分别为a 和b 的四边简支矩形薄板，坐标如图所示。受板面荷载 作用，试证 能满足一切条件，并求

19、出挠度、弯矩和反力。,x,y,z,o,a,b,可确定，从而求出挠度、弯矩和反力。,76,薄板弯曲,77,薄板弯曲,练习12.3 有一半径为a 的圆板，在 r=b 处为简支，荷载如图所示。求其最大挠度。,q,q,r,z,b,a,解：板的挠度函数可分两部分表达,78,薄板弯曲,和 的各阶导数如下：,79,薄板弯曲,80,薄板弯曲,在 r=a 及 r=b 处的边界条件或连续条件为,将挠度及其导数代入上述六式，可解出六个常数如下：,81,薄板弯曲,把求出的常数代入 的表达式，并将 与 进行比较，较大者即为圆板的最大挠度。,82,（四）薄板弯曲问题的变分法,下面我们来介绍一下薄板弯曲问题的变分法。这也是

20、解决实际问题的很有效的方法。在薄板弯曲问题中，由于不计形变分量 因此形变势能为,(a),将形变分量（式（9-4）和应变分量（式（9-5）代入上式，,83,并注意w是(x,y)的函数。对z进行积分，得出薄板的形变势能为,薄板在横向荷载作用下的外力功和外力势能为,84,因此，薄板弯曲问题的总势能极值条件是,求解薄板弯曲问题的里兹法是，首先设定挠度w的试函数，,使之预先满足位移边界条件（关于挠度及转角的条件），再满足里兹变分方程，,85,由上式可解出系数。,求解薄板弯曲问题的伽辽金法是，令设定的挠度w 不仅满足位移边界条件，也满足应力边界条件（关于弯矩和总剪力的条件），即满足全部边界条件。然后再满足

21、伽辽金变分方程，,(c),86,由上式解出系数。,其中体力 已转化为等效的面力，归入q元中。将（书中式（9-5），（9-6）代入，对z进行积分，得出薄板的伽辽金变分方程为,87,例题3 四边固定的矩形薄板，受有均布荷载 试用变分法求解其挠度。,解：薄板的固定边条件是,取挠度表达式为,88,上式已满足全部边界条件和对称性条件。若只取一项，,并考虑到本题中全部为位移边界条件且已满足，可以应用伽辽金法求解。将,代入式（d），求出,89,对于正方形薄板，a=b,得出挠度解答为,最大挠度发生在x=y=0点，,与精确解 相比，大出5%左右。,90,（五）薄板弯曲问题和平面问题的比较,薄板弯曲问题和平面问题

22、都是二维问题，可以比较如下。,91,基本未知函数基本方程边界条件位移边界条件应力边界条件混合边界条件,平面问题,薄板弯曲问题,应力函数,挠度,(固定边),一个位移边界条件，另一个为应力边界条件,92,从上表可见，两者的方程相似；但薄板弯曲问题的边界条件，特别是固定边和简支边，比平面问题的边界条件要简单的多，因此，薄板弯曲问题的解答也就比平面问题的解答多。,93,（六）应用叠加方法,应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解用于解决各种边界条件的薄板问题(参见弹性力学简明教程学习指导)。例如，对于图9-8的问题，二邻边为支边，另二邻边可表示为解答的叠加，其中 为四边简支矩形板，受q作用的解，可以用

23、纳维解法或莱维解法求出：分别,94,为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（在边界上分别受弯矩的作用，其中 均为未知，用待定系数 表示）的解，应用莱维解法可求出。,95,由此得出解答，然后再由条件,求出系数，从而得出解答。,96,又例如，图9-9的薄板，二邻边为支边，另二邻边为自由边，也可以按图示方法求解。令 分别见图9-9所示。其中 为四边简支板，受q作用的解，分别对应为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（其中弯矩为0，而挠度为未知，分别用待定系数 表示）的解，,97,应用莱维解法可求出；为两邻边简支，两邻边自由，在角点A受强迫位移（未知）作用的解（参见习题9-3）。并叠加

24、得到 然后再由条件,及角点条件,求出 及 从而得出解答w。,98,第九章例题,例题1,例题2,例题3,例题4,例题5,例题,99,固定边椭圆板的边界方程为,受均布荷载 作用，如图，试求其挠度和内力。,例题1,100,由，显然。因此，从方向,解：固定边的边界条件是,(a),(b),导数的公式可推出，,为了满足边界条件(a)，可以令,101,便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载，将式(c)代入方程 得出，并从而得,因此，只需取,(c),102,内力 为,读者可以检验，最大和最小弯矩为,103,当 时，便由上述解得出圆板的解答，若令 则椭圆板成为跨度为 的平面应变问题的固端梁。,104,四边简支

25、矩形板，如图，受有分布荷载 的作用，试用重三角级数求解其挠度。,例题2,105,解：将 代入积分式，,由三角函数的正交性，,及,106,得,代入，得挠度的表达式为,107,四边简支矩形板，如图，在 的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。,例题3,108,解：板中的荷载只作用在 的线上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在 的线上，荷载强度可表示为,代入系数 的公式，,109,(n=1,3,5),110,得出挠度为,111,四边简支矩形板，受静水压力作用，如图，试用单三角级数求解其挠度。,例题4,112,解：应用莱维法的单三

26、角级数求解，将 代入书中96式(d)右边的自由项，即代入式(d)，方程的特解可取为,113,从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴，应为 的偶函数，由此，。于是 的表达式为,114,在 的边界，有简支边条件,将挠度 代入边界条件，记，得,115,解出,从而得挠度解答,116,发生在薄板的中心点的挠度为与板上作用有均布荷载 的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由 的条件，求出最大挠度为,117,例题5 设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板，其内边界简支，外边界为自由，并受到均布力矩荷载M的作用，如图，试求其挠度和内力。,118,解：本题属于圆板的轴对称问题，可引用99 中轴对称圆板的一般解。由于板上无横向荷载，特解，于是挠度为,代入内力公式，得,119,内外边界的四个边界条件为,120,将挠度及内力代入边界条件，求出，最后得解答如下：,121,结 束,薄板弯曲,