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1、1.4习题与上机题解答1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。,题1图,解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号：2n+54n160n40 其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；,(x(n)=,（3）令x1(n)=2x(n2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2n)，试画出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)
2、=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。,题2解图（一）,题2解图（二）,题2解图（三）,题2解图（四）,3 判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。,(1),(2),解：（1）因为=,所以,这是有理数，
3、因此是周期序列，周期T=14。（2）因为=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。,4 对题1图给出的x(n)要求：(1)画出x(n)的波形；(2)计算xe(n)=x(n)+x(n)，并画出xe(n)波形；(3)计算xo(n)=x(n)x(n)，并画出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？,解：（1）x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2)将x(n)与x(n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。,
4、题4解图（一）,题4解图（二）,题4解图（三）,(4)很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(nn0)n0为整常数（4）y(n)=x(n),（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(n)解：
5、（1）令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n),故该系统是非时变系统。因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。,（2）令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+
6、3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。,(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。,(4)y(n)=x(n)令
7、输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。,（5）y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n)=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。,（6）y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)
8、=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。,（7）y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。,（8）y(n)=x(n)sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)sin(n)y(nn0)=x(nn0)sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。由于Tax1(n)+bx
9、2(n)=ax1(n)sin(n)+bx2(n)sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。,6 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)=x(nk)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(nn0)（5）y(n)=ex(n),解：（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，因此系统是稳定系统。（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|
10、x(n+1)|2M,因此系统是稳定系统。（3）如果|x(n)|M，则|y(n)|x(k)|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。,（4）假设n00，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|M，因此系统是稳定的。（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M,则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM，因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。解：解法（一）采用列表法。y(
11、n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm),题7图,y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5,解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故,y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式，得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5),
12、8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn,根据非零区间，将n分成四种情况求解：n7时，y(n)=0,最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。(2)y(n)=2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)
13、2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示,y(n)=,题8解图（一）,题8解图（二）,(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4,mn n0时，y(n)=0 0n4时，,=(10.5n1)0.5n=20.5n,n5时,最后写成统一表达式：y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5),9 证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(
14、n)*h1(n)*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明：（1）因为令m=nm,则,(2)利用上面已证明的结果，得到,交换求和号的次序，得到,10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系统的输入x(n)是一些观测数据，设x(n)=x0,x1,x2,xk,，试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。,解：,n=0时，,n0,n=1时，,n=2时，,最后得到,11 设系统由下面差分方程描述：,设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。,解：令x(n)=(n),则,n=0时，,n=1时，,n
15、=2时，,n=3时，,归纳起来，结果为,12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。解：分析的方法是让系统输入分别为(n)、(n1)、(n)+(n1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。（1）令x(n)=(n),这时系统的输出用y1(n)表示。,该情况在教材例1.4.1 中已求出，系统的输出为y1(n)=anu(n),(2)令x(n)=(n1)，这时系统的输出用y2(n)表示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,任意 n 时，,最后得到,(3)令x(n)=(n)+(n1),系统的输出用y3(n)表
16、示。,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,任意 n 时，,最后得到,由（1）和（2）得到y1(n)=T(n),y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此y3(n)=T(n)+(n1)。观察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y3(n)=y1(n)+y2(n)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n),0a1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。,13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)，式中，f=20 Hz,j=/2
17、。（1）求出xa(t)的周期；（2）用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式；（3）画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解：（1）xa(t)的周期为,（2）,（3）x(n)的数字频率=0.8，故，因而周期N=5，所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。,题13解图,14.已知滑动平均滤波器的差分方程为,（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；（2）如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。解：（1）将题中差分方程中的x(n)用(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，
18、即,（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为,表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(k)，h(nk)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(nk)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。,15*.已知系统的差分方程和输入信号分别为,用递推法计算系统的零状态响应。解：求解程序ex115.m如下：%程序ex115.m%调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=
19、x(n)+2x(n2)xn=1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)；%x(n)=单位脉冲序列，长度N=31B=1，0，2；A=1，0.5；%差分方程系数,yn=filter(B，A，xn)%调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)n=0：length(yn)1；subplot(3，2，1)；stem(n，yn，.)；axis(1，15，2，8)title(系统的零状态响应)；xlabel(n)；ylabel(y(n)程序运行结果：,yn=1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172-0.8086 0.4043-
20、0.2021 0.1011-0.0505 0.0253-0.0126 0.0063-0.0032 0.0016-0.0008 0.0004-0.0002 0.0001-0.0000 0.0000-0.0000 0.0000程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。,题15*解图,16*.已知两个系统的差分方程分别为（1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n)（2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。解：（1）系统差分方程的系数向量为B1=1，A1=1，0.6，0.08（2）系统差分方程的系数向量
21、为B2=2，0，1,A2=1，0.7，0.1,2.5习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(1)x(nn0)(2)x*(n)(3)x(n)(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)(7)x(2n)(8)x2(n),(9),解：（1）,令n=nn0,即n=n+n0，则,（2）,（3）,令n=n，则,（4）FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej)下面证明上式成立：,令k=nm,则,（5）,或者,（6）因为,对该式两边求导，得到,因此,（7）,令n=2n，则,或者,（8）,利用（5）题结果，令x(n)=y(
22、n),则,（9）,令n=n/2，则,2 已知,求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。,解：,3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()，如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为,解：假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)，则系统输出为,上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用该性质解此题：,上式中|H(ej)|是的偶函数，相位函数是的奇函数，|H(ej)|=|H(e-j)|，()=(),故,4设,将x(n)以4为周期进行周期延拓
23、，形成周期序列，画出x(n)和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。,解：画出x(n)和的波形如题4解图所示。,题4解图,或者,5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算或工作：,题5图,(1),(2),(3),(4)确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；,(5),(6),解(1),(2),(3),（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即,按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。,题5解图,(5),(6)因为,因此,6 试求如下序列的傅里叶变换：(1)x1(n)=(n3),(2),(3)x3(n)=anu(
24、n)0a1(4)x4(n)=u(n+3)u(n4)解,(1),(2),(3),(4),或者:,7 设：（1）x(n)是实偶函数，（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。解：令,(1)因为x(n)是实偶函数，对上式两边取共轭，得到,因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质。,由于x(n)是偶函数，x(n)sin是奇函数，那么,因此,该式说明X(ej)是实函数，且是的偶函数。总结以上,x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(ej)是实函数，是的偶函数。（2）x(n)是实奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X
25、(ej)具有共轭对称性质，即 X(ej)=X*(ej),由于x(n)是奇函数，上式中x(n)cos是奇函数，那么,因此,这说明X(ej)是纯虚数，且是的奇函数。8 设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。,解：,xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。,题8解图,9已知x(n)=anu(n),0a1，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解：,因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ej)的实部，xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j，因此,10 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：H
26、R(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解：,11 若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解：,12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解(1),(2),13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，式中f0=100 Hz，以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：（1）写出
27、的傅里叶变换表示式Xa(j)；（2）写出和x(n)的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。解：,上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：,（2）,（3）,式中,式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1)2nu(n)(2)2nu(n1)(3)2nu(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10),解(1),(2),(3),(4)ZT(n)=10|z|(5)ZT(n1)=z10|z|(6),15 求
28、以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。(1)x(n)=RN(n)N=4(2)x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9,0=0.5 rad,j=0.25 rad(3),式中，N=4。,解(1),由z41=0，得零点为,由z3(z1)=0，得极点为 z1,2=0,1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示，图中,z=1处的零极点相互对消。,题15解图,(2),零点为,极点为,极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n),则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2,X(z)=z1Y(z)2,因为,因此,极点为z1=0,z2=1零点为,
29、在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0|z|，极零点分布图如题15解图(c)所示。,16 已知,求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）收敛域|z|0.5：,令,n0时，因为c内无极点，x(n)=0;n1时，c内有极点 0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么,(2)收敛域0.5|z|2:,n0时，c内有极点0.5，,n0时，c内有极点 0.5、0，但 0 是一个n阶极点，改成
30、求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，x(n)=ResF(z),2=2 2nu(n1)最后得到,（3）收敛域|z|2:,n0时，c内有极点 0.5、2，,n0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。,最后得到,17 已知x(n)=anu(n),0a1。分别求：(1)x(n)的Z变换；(2)nx(n)的Z变换；(3)anu(n)的Z变换。解：(1),(2),(3),18 已知,分别求：（1）收敛域0.52对应的原序列x(n)。,解：,（1）收敛域0.5|z|2:n0时，c内
31、有极点0.5，x(n)=ResF(z),0.5=0.5n=2nn0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有2，x(n)=ResF(z),2=2n,最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|2:n0时，c内有极点0.5、2，,n0时，c内有极点0.5、2、0，但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，可是c外没有极点，因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：,(1),(2),解：(1),(2),20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示：,试用x(n)的Z变换X(z)和x(n
32、)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。,解：解法一,令m=n+m,则,解法二,因为x(n)是实序列，X(ej)=X*(ej)，因此,21 用Z变换法解下列差分方程：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0 n1(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(1)=1，y(n)=0n1(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,当n3时。解：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0n1,n0时，,n0时，y(n)=0最后得到 y(n)
33、=0.5(0.9)n+1+0.5u(n),(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n),y(1)=1,y(n)=0 n1,n0时，,n0时，y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n),(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,当n2时Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1,n0时，,y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0时,y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n),22 设线性时不变系统的
34、系统函数H(z)为,（1）在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即|H(ej)|=常数；（2）参数 a 如何取值，才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。解：,(1),极点为a,零点为a1。设a=0.6，极零点分布图如题22解图(a)所示。我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照题22解图(a)，得到,因为角公用，,，且AOBAOC，故,，即,故H(z)是一个全通网络。或者按照余弦定理证明:,题22解图,（2）只有选择|a|1才能使系统因果稳定。设a=0.6，极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。23 设系统由下面差分方程描述：y(n)=y(n1)+y(n
35、2)+x(n1)（1）求系统的系统函数H(z)，并画出极零点分布图；（2）限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)；（3）限定系统是稳定性的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。解：（1）y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换，得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1,因此,零点为z=0。令z2z1=0，求出极点：,极零点分布图如题23解图所示。,题23解图,(2)由于限定系统是因果的，收敛域需选包含点在内的收敛域，即。求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入
36、解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求H(z)的逆Z变换。我们采用第二种方法。,式中,，,令,n0时，h(n)=ResF(z),z1+ResF(z),z2,因为h(n)是因果序列,n0时，h(n)=0，故,(3)由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即|z2|z|z1|,n0时，c内只有极点z2，只需求z2点的留数，,n0时，c内只有两个极点：z2和z=0，因为z=0是一个n阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点只有一个，即z1,那么,最后得到,24 已知线性因果网络用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1）求网络的系统函数H(z)及单位
37、脉冲响应h(n)；（2）写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线；（3）设输入x(n)=ej0n，求输出y(n)。解：（1）y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1,令,n1时，c内有极点0.9，,n=0时，c内有极点0.9，0，,最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n),（2）,极点为z1=0.9,零点为z2=0.9。极零点图如题24解图(a)所示。按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。（3）,题24解图,25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=anu(n),h
38、(n)=bnu(n)0a1,0b1（1）试用卷积法求网络输出y(n)；（2）试用ZT法求网络输出y(n)。解：（1）用卷积法求y(n)。,n0时，,n0时，y(n)=0最后得到,（2）用ZT法求y(n)。,，,令,n0时，c内有极点：a、b,因此,因为系统是因果系统,所以n0时，y(n)=0。最后得到,26 线性因果系统用下面差分方程描述：y(n)2ry(n1)cos+r2y(n2)=x(n)式中，x(n)=anu(n),0a1,0r1,=常数，试求系统的响应y(n)。解：将题中给出的差分方程进行Z变换，,式中,，,因为是因果系统，收敛域为|z|max(r,|a|)，且n0时，y(n)=0，故
39、,c包含三个极点，即a、z1、z2。,27 如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，求证：,式中，X1(ej)和X2(ej)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。解：FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej)进行IFT，得到,令n=0,则,由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列，因此,(1),(2),(3),由（1）、（2）、（3）式，得到,28 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：,求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。,解：,求上式的Z的反变换，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为,因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，
40、收敛域取：a|z|a1。n1时，c内有极点：a，,n=0时，,c内有极点：a、0，,因为he(n)=he(n)，所以,29 若序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为,求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。,解：,令z=ej,有,jHI(ej)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)，因此jHI(z)的反变换就是ho(n),因为h(n)是因果序列，ho(n)是双边序列，收敛域取:a|z|a1。,n1时，c内有极点：a,n=0时，c内有极点：a、0，,因为hI(n)=h(n),所以,教材第3章习题与上机题解答 1 计算以下序列的N点DFT，在变换区间0nN1内，序列定义为(1)
41、x(n)=1(2)x(n)=(n)(3)x(n)=(nn0)0n0N(4)x(n)=Rm(n)0mN(5)(6),(7)x(n)=ej0nRN(n)(8)x(n)=sin(0n)RN(n)(9)x(n)=cos(0n)RN(N)(10)x(n)=nRN(n)解：,(1),（2）,（3）,(4),(5),0kN1,(6),0kN1,(7),或,（8）解法一 直接计算：,解法二 由DFT的共轭对称性求解。因为,所以,所以,即,结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(9)解法一 直接计算:,解法二 由DFT共轭对称性可得同样结果。因为,（10）解法一,上式直接计算较难，可根据循环移位性质来
42、求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所以 x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n)等式两边进行DFT，得到 X(k)X(k)WkN+N=N(k),故,当k=0时，可直接计算得出X(0)为,这样，X(k)可写成如下形式：,解法二 k=0时，,k0时，,所以，,，即,2 已知下列X(k)，求x(n)=IDFTX(k),(1),(2),其中，m为正整数，0mN/2,N为变换区间长度。,解:（1）,n=0,1,N1,(2),n=0,1,N1,3 已知长度为N=10的两个有限长序列：,做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)，循环卷积区间长度L=10。解:x1(
43、n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。,题3解图,4 证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFTx(n)，证明DFTX(n)=Nx(Nk)证：因为,所以,由于,所以 DFTX(n)=Nx(Nk)k=0,1,N1 5 如果X(k)=DFTx(n)，证明DFT的初值定理,证:由IDFT定义式,可知,6 设x(n)的长度为N，且X(k)=DFTx(n)0kN1令h(n)=x(n)NRmN(n)m为自然数H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1求H(k)与X(k)的关系式。解:H(k)=DFTh(n)0kmN1令n=n+lN,l=0,1,m1,n
44、=0,1,N1,则,因为,所以,7 证明:若x(n)为实序列，X(k)=DFTx(n)N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=X*（Nk)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(Nn)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=x(Nn)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。,证:(1)由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道，如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其中，Xep(k)=DFTxr(n)，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFTjxi(n),是X(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)为实序列
45、，则Xop(k)=DFTjxi(n)=0，故X(k)=DFTx(n)=Xep(k)，即X(k)=X*(Nk)。,（2）由DFT的共轭对称性可知，如果 x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=ReX(k)+j ImX(k)则ReX(k)=DFTxep(n),j ImX(k)=DFTxop(n)所以，当x(n)=x(Nn)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又由（1）证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)，所以X(k)实偶对称。,同理，当x(n)=x(Nn)时，等价于x(n
46、)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(Nk)=X(Nk),为纯虚奇函数。8 证明频域循环移位性质：设X(k)=DFTx(n)，Y(k)=DFTy(n)，如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)，则,证：,令m=k+l,则,9 已知x(n)长度为N，X(k)=DFTx(n)，,求Y(k)与X(k)的关系式。解:,10 证明离散相关定理。若X(k)=X1*(k)2(k)则,证：根据DFT的惟一性，只要证明,即可。,令m=l+n，则,所以,当然也可以直接计算X(k)=X1*(k)X2(k)的IDFT。,0nN1,
47、由于,0nN1,所以,11 证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFTx(n)，则,证：,12 已知f(n)=x(n)+jy(n)，x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。设F(k)=DFTf(n)N 0kN1,(1),(2)F(k)=1+jN试求X(k)=DFTx(n)N，Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。解:由DFT的共轭对称性可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)jY(k)=Fop(k),方法一（1）,0nN1,由于,0n,mN1,所以 x(n)=an 0nN1同理 y(n)=bn 0nN1（2）F(k)=1+jN,，,方法二 令,只要证明A(k)为共轭对称的，B(k
48、)为共轭反对称，则就会有 A(k)=Fep(k)=X(k),B(k)=Fop(k)=jY(k)因为,，共轭对称,，共轭反对称,所以,由方法一知 x(n)=IDFTX(k)=anRN(n)y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n)13 已知序列x(n)=anu(n)，0a1,对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点，采样序列为,求有限长序列IDFTX(k)N。解:我们知道，,是以2为周期的周期函数，所以,以N为周期，将看作一周期序列的DFS系数，则,由式知为,将式代入式得到,由于,所以,由题意知,所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有,由于0nN1，所以,因
49、此,说明：平时解题时，本题推导,的过程可省去，直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0,8ny(n)=0 n0,20n对每个序列作20点DFT，即X(k)=DFTx(n)k=0,1,19Y(k)=DFTy(n)k=0,1,19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等,为什么？,解:如前所述，记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n)20 y(n)。fl(n)长度为27，f(n)长度为20。由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为,只有在
50、如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)7n19,15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。（1）求X(k)的其余3点的值；,（2）,求X1(k)=DFTx1(n)8；,（3）,，求,。,解：（1）因为x(n)是实序列，由第7题证明结果有X(k)=X*(Nk)，即X(Nk)=X*(k),所以，X（k）的其余3点值为X(5),X(6),X(7)=0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018（2）根据DFT的时域循环移位性质，,(3),16
