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1、引例：你某时到某地去接一个“大胡子.高个子.长头发.戴宽边黑色眼镜的中年男子”，尽管提供的只有一个精确的信息男人，而其它的信息大胡子.高个子.长头发.戴宽边黑色眼镜.中年男人都是模糊的，但你对这些模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到这个人。,模糊数学的概述,现实中的模糊概念例如：厚、薄、美、丑、早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水果、感冒、合格品、次品等 量的分类,模糊数学,1965年美国加利福尼亚大学控制专家扎德(zadeh L.A)在information and control杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy sets”这标志着模糊数学的诞生。模糊数学是研究和处理模糊性现象
2、的数学方法。是把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用的方法。模糊数学应用广泛,农业，林业，气象，环境，地质勘探，医学，经济管理等,从精确到模糊,精确答案确定：要么是，要么不是f:A 0,1他是学生？他不是学生？模糊答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间A:U 0,1他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？,一、模糊集合论的基础知识1、模糊集与隶属度,定义1：设U是论域，称映射,隶属函数一般根据经验确定当值域为0,1时，模糊子集A就是经典子集,确定了一个U上的模糊子集A，称为A的隶属函数，称为x对A的隶属程度.的点x 称为过渡点，此点最具模糊性.此后 简记为A(x).,一、模糊集合
3、论的基础知识,例1：设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位:cm)表示人的身高，那么“高个子”就是U上的一个模糊集，其隶属函数可定义为,则：,一、模糊集合论的基础知识 2、模糊集的表示法,（1）扎德表示法（2）向量表示法（3）序偶表示法,上例中 A=（0，0.2，0.4，0.6，0.8，1）或者,一、模糊集合论的基础知识,例2、设以人的岁数作为论域U0,120，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶属函数可以定义如下：“年轻”（u）“年老”（u）,一、模糊集合论的基础知识,隶属函数图,常见隶属函数有以
4、下类型：,应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数，尽管一个元素属于模糊集是客观存在的，但是建立隶属函数的方法基本上是主观的，根据人的实践经验，,1.矩形型,3 隶属函数的确定,2.梯形型,3.K次抛物型,4.型,5.正态型,6.柯西型,一、模糊集合论的基础知识 4、模糊集的运算,相等：包含：并：交：余：符号：表示二者之中取大，表示二者之中取小 说明：排中律不成立，即,一、模糊集合论的基础知识,U=甲,乙,丙,丁A=“矮子”隶属函数A=(0.9,1,0.6,0)B=“瘦子”隶属函数B=(0.8,0.2,0.9,1)找出 C=“既矮又瘦”C=AB=(0.90.8,10.2,0.60.9,
5、01)=(0.8,0.2,0.6,0)甲和丙比较符合条件,一、模糊集合论的基础知识,等幂律AA=A交换律AB=BA结合律(AB)C=A(BC)分配律A(BC)=(AB)(BC)德摩根律(AB)=AB双重否定律A=A两极律UA=U排中律A A=,模糊集的运算性质,一、模糊集合论的基础知识5.-截集,定义2：若A是U上的任一模糊集，对 记 称A为A的-截集，其中称为阈值或置信水平.A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的,如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平(0 1)来确定其隶属关系。-截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小
6、而增大，即当1 2时，有A1 A2。,一、模糊集合论的基础知识,例：设论域U=u1，u2，u3，u4，u5，u6，ui表示学生，某门课成绩依次是90，60，85，70，50，95.A=“学习成绩好的学生”，隶属度取为:成绩100，则A=（0.9，0.6，0.85，0.7，0.5，0.95）要确定学习好的学生，实际上就是要把模糊集A转化为经典集合，即先确定一个阈值(0 1),然后把隶属度A(x)的元素找出来.有当=0.8时，A0.8=u1，u3，u6当=0.9时 A0.9=u1，u6,二、模糊关系与模糊矩阵1、模糊矩阵,定义3：设R=(rij)mn，0rij 1，称R为模糊矩阵.当rij只取0或
7、1时，称R为布尔（Boole）矩阵.例1、模糊矩阵的运算：（1）并（2）交（3）余,二、模糊关系与模糊矩阵,（4）合成（乘法）例2：设,二、模糊关系与模糊矩阵,（5）模糊矩阵的转置（6）模糊矩阵的-截矩阵：设A=(aij)mn，对任意的，称 为模糊矩阵A的-截矩阵，其中,例3,二、模糊关系与模糊矩阵2、模糊关系,定义4：设X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn是经典集 合，称映射为X到Y的一个二元关系.当X=Y时，称R为X上的关系.X到Y的一个关系可用布尔矩阵R=(rij)mn表示：,y1 y2 yn,R,x1x2xm,r11 r12 r1nr21 r22 r2n.rm1 rm2.rmn,
8、二、模糊关系与模糊矩阵,例：设X=1，4，7，8，Y=2，3，6，定义“小于”关系R：xy.于是R=(1,2),(1,3),(1,6),(4,6)这表明关系R是直积的子集关系矩阵,二、模糊关系与模糊矩阵,定义5 设R为X上的一个关系，并且满足：反身性:rii=1，即集合中每个元素和它自己有关系R；对称性:rij=rji 传递性:当rij=1且 rjk=1时，有rik=1满足的关系R称为X上的等价关系，此关系矩阵称为等价矩阵，满足这三条性质的集合R为一分类关系.,二、模糊关系与模糊矩阵,例：设，定义关系：；：为偶数，则关系R1有传递性，但无反身性和对称性；关系R2是上的等价关系，按2可以分类：奇
9、数类，和偶数类，,二、模糊关系与模糊矩阵,定义：设论域U、V，称UV上的一个模糊子集RF(UV)为从U到V的模糊关系其隶属函数为映射并称隶属度(x,y)为（x,y)关于模糊关系R的相关程度.模糊关系R可有模糊矩阵R=(rij)mn表示，其中rij=(x，y).注记：若R为布尔矩阵，则关系R为普通关系.,二、模糊关系与模糊矩阵,定义7：设模糊子集RF(UV)为从U到V的模糊 关系，并且满足：反身性:R(x,x)=1（或IR）对称性:R(x,y)=R(y,x)（或）传递性:RRR满足以上三条，称R为一模糊等价关系.其关系矩阵称为模糊等价矩阵.只满足的关系称为模糊相似关系.其关系矩阵称为模糊相似矩阵
10、.,二、模糊关系与模糊矩阵,定理：若R是n阶模糊等价矩阵，则对任意的0,1，-截矩阵R 是n阶等价布尔矩阵.,定义12：设R是nn的模糊矩阵，如果满足RR=R2R，则称R为模糊传递矩阵。包含R的最小的模糊传递矩阵称为R的传递包，记为t(R).,将n阶模糊相似矩阵R改造成n阶模糊等价矩阵t(R)的方法：当第一次出现 时，即为所求。,三、模糊数学的应用,1.模糊聚类2.模糊识别3.模糊决策,所谓模糊聚类方法，就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平0,1，可得到不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图。模糊聚类的基本步骤：1）数据的标准化处理2）建立模糊相似矩阵3）聚类分析,
11、1.模糊聚类,1.模糊聚类,第一步：数据标准化处理建立数据矩阵：设论域U=x1,x2,xn是被分类对象，每个对象又由m个指标表示其形状，即 xi=xi1,xi2,xim 于是，可得原始数据矩阵 X=（xij）mn,1.模糊聚类,数据标准化,平移极差变换法,平移标准差变换法,第二步：建立模糊相似矩阵：设论域=x1,x2,xn，xi=xi1,xi2,xin，如果xi与xj之间的相似程度为rij=(i,j)，则称之为相似系数。R=(rij)nn称为相似系数矩阵。确定相似系数的方法有多种，常用的有数量积法、夹角余弦法、相关系数法、最大最小值法、距离法、专家评分法等。,1.模糊聚类,1.模糊聚类,数量积
12、法,夹角余弦法,相关系数法,最大最小值法,1.模糊聚类,海明距离法,欧氏距离法,切比雪夫距离法,其中H、E均是适当选取的参数，它使得rij0,1.,第三步：聚类分析 从第二步求出的n阶模糊相似矩阵R出发，用平方法求其传递闭包t(R),它就是将R改造成的n阶模糊等价矩阵，再让由大变小，就可形成动态聚类图。,1.模糊聚类,2.模糊模型识别,模型识别：根据研究对象的某种特征对其进行识别并分类。它有两个本质特征：一是事先给定若干标准模型（标准模型库），二是有待识别的对象.模糊模型识别：指在模型识别中，标准模型库中提供的模型是模糊的.,2.模糊模式识别方法一：最大隶属原则,最大隶属原则 I：设论域=x1
13、,x2,xn上的m个模糊子集A1,A2,Am（构成标准模型库），其隶属度函数为Ai(x),若对任一x0U，一定有k1,2,m,使得 Ak(x0）)=maxA1(x0),A2(x0),Am(x0)则认为x0相对隶属于Ak最大隶属原则2：设论域U上有一个标准模型A，待识别对象有n个，如果有某个xk满足A(xk)=maxA(x1),A(x2),A(xn)，则应优先录取xk。,2.模糊模式识别方法二：择近原则,设在论域=x1,x2,xn上有m个模糊子集A1,A2,Am构成了一个标准模型库。被识别对象B也是U上的一个模糊集，它与标准模型库中哪一个模型最贴近，我们用(A,B)表示两个模糊集A,B之间的贴近
14、程度（简称贴近度）,若有k，使得(Ak,B)=max(Ak,B)|1i m则称B与Ak最贴近，或者说把b归于Ak类，这就是择近原则。,2.模糊模式识别之二：择近原则,定义1：格贴近度：,其中,表示两个模糊集A,B的内积,表示两个模糊集A,B的外积,格贴近度的不足之处是一般情况下0(A,A)1,2.模糊模式识别之二：择近原则,定义（公理化定义）：若(A,B)满足1）(A,A)=12）(A,B)=(B,A)3)若有AB C，则(A,C)(A,B)(B,C)则称(A,B)为A与B的贴近度。,2.模糊模式识别之二：择近原则,公理化定义具有理论价值，但并没有提供一个计算贴近度的方法，不便于操作，右面介绍
15、一些实用的具体定义。,3.模糊决策,决策：为了解决当前或未来可能发生的问题而选择最佳方案的过程。模糊决策的目的：把论域中的对象按优劣进行排序，或者按某种方法从论域中选择一个“令人满意”的方案。下面将介绍：模糊二元对比决策、模糊综合评判决策。,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,设论域U=x1,x2,xn为n个备选方案（对象）,在U上建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.基本步骤：1）建立模糊优先关系2）排出一定的优劣次序，确定优先对象，可采用方法:-截矩阵法、隶属函数法、下确界法等.,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,
16、第一步，建立模糊优先关系 先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：R=(rij)nn在xi与xj作对比时,用rij表示xi对xj的优越程度,并且要求rij满足 rii=1(便于计算)；0 rij 1；当ij 时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)nn称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系,第二步，确定优先对象-截矩阵法 取定阈值0,1得-截矩阵R=(rij()nn,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如
17、此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,隶属函数法 直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是：取小法：A(xi)=minrij|1jn,i=1,2,n;平均法：加权平均法：,3.模糊决策之一模糊二元对比决策,下确界法 先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及
18、多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判.模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法.经典综合评判决策：评总分法（如高考成绩）、加权评分法等.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,设U=u1,u2,un为n种因素(或指标),V=v1,v2,vm为m种评判(或等级).由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A=(a1,a2,an)来描述,它是因素集U 的一个模糊子集.模糊综合评判决策的方法和步骤：1）建立因素集U=u1,u2,un与决断集V=v
19、1,v2,vm；,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,2）建立模糊综合评判矩阵 R=(rij)nm 其中rij表示vj对因素ui所作的评判；3)综合评判 根据各因素权重A=(a1,a2,an)综合评判:B=AR=(b1,b2,bm)是V上的一个模糊子集，根据运算的不同定义,可得到不同的模型.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M(,)主因素决定型,bj=(airij),1in(j=1,2,m).由于综合评判的结果bj的值仅由ai与rij(i=1,2,n)中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.,模型：M(,
20、)主因素突出型bj=(ai rij),1in(j=1,2,m).M(,)与模型M(,)较接近,区别在于用ai rij代替了M(,)中的airij.在模型M(,)中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值,与主要因素有关，忽略了次要因素.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M(,)主因素突出型,bj=(ai rij)(j=1,2,m).模型也突出了主要因素.在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳,当模型失效时可采用,.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,模型：M(,)加权平均模型bj=(ai rij)(j=1,2,m).模型M(,)对所有因素依
21、权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.,3.模糊决策之二模糊综合评判决策,例1：教师讲课的综合评判,U是评价因素集，V是评语等级U=清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整齐V=很好，较好，一般，不好,rij表示第i个因素着眼，对被评教师作出第j种评语的可能程度：,很好 较好 一般 不好,清楚易懂教材熟练生动有趣板书整齐,V,U,数据来源：可以在某一班级做问卷调查，如在清楚易懂方面有40%的学生认为是很好，50%的学生认为是较好，10%的认为一般，没有人认为不好。其它的因素如法炮制。,模糊评价矩阵R,权数,我们可以为U中的各元素分配不同的权数，表示各元素隶属于重要的隶属度。A=（0.5，
22、0.2，0.2，0.1）,B=（0.5，0.2，0.2，0.1）,评价模型是：A R，表示取小取大运算,B1=Maxmin0.5,0.4,min0.2,0.6,min0.2,0.1,min0.1,0.1=0.4,B2=Maxmin0.5,0.5,min0.2,0.3,min0.2,0.2,min0.1,0.2=0.5,B3=Maxmin0.5,0.1,min0.2,0.1,min0.2,0.6,min0.1,0.5=0.2,B4=Maxmin0.5,0,min0.2,0,min0.2,0.1,min0.1,0.2=0.1,很好 较好 一般 不好,清楚易懂教材熟练生动有趣板书整齐,很好 较好 一
23、般 不好,B=(0.4,0.5,0.2,0.1),B=(0.33,0.42,0.17,0.08)根据最大隶属原则，该老师讲课只能是较好。,归一化后：,例2,服装评判U=花色式样、耐穿程度、价格费用V=很欢迎、较欢迎、不太欢迎、不欢迎一类顾客的评判标准为：A=（0.2,0.5,0.3）对某一种服装，经市场调查有：花色式样：（20%的人欢迎，70%较欢迎，10%不太欢迎）耐穿程度：（40%的人较欢迎，50%不太欢迎，10%不欢迎）价格费用：（20%的人欢迎，30%较欢迎，40%不太欢迎，10%不欢迎）,B=A R=（0.2，0.5，0.3）=(0.2,0.4,0.5,0.1)归一化后：B=(0.1
24、7，0.34，0.40，0.09)所以该种服装在这类顾客中最可能不太受欢迎。,Lily:汪P107,因素集U=u1(外观),u2(耗电量),u3(耐用程度),u4(价格)；评判集V=v1(很满意),v2(较满意),v3(不太满意),v4(不满意).对各因素所作的评判如下：u1：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2：(0.7,0.2,0.1,0)u3：(0,0.4,0.5,0.1)u4：(0.2,0.3,0.5,0),例3 电动车评判,对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(,)：B=(0.1
25、4,0.12,0.2,0.03)M(,)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(,)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04),对于给定各因素权重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(,)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(,)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(,)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055),例4.“晋升”的数学模型.,以高校老师晋升教授为例：因素集U=政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差
26、.,因素 好 较好 一般 较差 差政治表现及工作态度 4 2 1 0 0教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1,给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(,)、M(,)模型所作的评判如下：M(,)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(,)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04),模糊数学方法中权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可能“失真”.加权统计方法,频数统计方法,(1)对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=maxaij|1 i k,j=1,2,n;mj=minaij|1 i k,j=1,2,n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.,
