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1、连续系统的振动,第六章,2023年3月5日,振动力学,2,实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。,由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。,连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。,在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。,2023年3月5日,振动力学,3,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法,2023年3月5日,振动
2、力学,4,（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。,说 明,（2）材料均匀连续；各向同性。,（3）振动满足微振动的前提。,2023年3月5日,振动力学,5,一维波动方程,动力学方程 固有频率和模态函数 主振型的正交性 杆的纵向强迫振动,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,6,动力学方程,（1）杆的纵向振动,讨论等截面细直杆的纵向振动,杆长 l,假定振动过程中各横截面仍保持为平面,截面积 S,材料密度,弹性模量 E,忽略由纵向振动引起的横向变形,单位长度杆上分布的纵向作用力,杆参数：,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学
3、,7,杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移,微段分析,微段应变：,横截面上的内力：,由达朗贝尔原理：,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,8,杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移,横截面上的内力：,由达朗贝尔原理：,代入，得：,杆的纵向强迫振动方程,对于等直杆，ES 为常数,弹性纵波沿杆的纵向传播速度,有：,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,9,（2）弦的横向振动,弦两端固定，以张力 F 拉紧,在分布力作用下作横向振动,建立坐标系,弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移,单位长度弦上分布的作用力,单位长度弦的质量,微段
4、受力情况,达朗贝尔原理：,弦的横向强迫振动方程,令：,并考虑到：,得：,弹性横波的纵向传播速度,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,10,（3）轴的扭转振动,细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动,假定振动过程中各横截面仍保持为平面,截面的极惯性矩 Ip,材料密度,切变模量 G,：单位长度杆上分布的外力偶矩,杆参数：,为杆上距离原点 x 处的截面在时刻 t 的角位移,截面处的扭矩为 T,微段 dx 受力,：微段绕轴线的转动惯量,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,11,代入，得：,微段 dx 受力,达朗贝尔原理：,材料力学：,即：,圆截面杆的
5、扭转振动强迫振动方程,对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数,有：,剪切弹性波的纵向传播速度,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,12,小结：,（1）杆的纵向振动,（2）弦的横向振动,虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程。,（3）轴的扭转振动,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,13,固有频率和模态函数,以等直杆的纵向振动为对象,方程：,纵向自由振动方程：,假设杆的各点作同步运动，即设：,q(t)表示运动规律的时间函数,杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅,代入，得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,
6、2023年3月5日,振动力学,14,记：,通解：,（确定杆纵向振动的形态，称为模态）,由杆的边界条件确定,与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值,由频率方程确定的固有频率 有无穷多个,（下面讲述）,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,15,第 i 阶主振动：,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,16,几种常见边界条件下的固有频率和模态函数,（1）两端固定,边界条件：,不能恒为零,故：,代入模态函数,得：,（杆的纵向振动频率方程）,无穷多个固有频率：,由于零固有频率对应
7、的模态函数为零，因此零固有频率除去,特征：两端位移为零,模态函数：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,17,（2）两端自由,特征：自由端的轴向力为零,边界条件：,得：,零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移,频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同,固有频率：,模态函数：,得出：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,18,（3）一端固定，一端自由,特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零,边界条件：,得：,固有频率：,模态函数：,连续系统的振动/杆的纵向振动,或：,2023年3月5日,振动力学,19,左端自由，右端固定,特征：固定端位移为零 自
8、由端轴向力为零,边界条件：,得：,固有频率：,模态函数：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,20,边界条件,模态函数,连续系统的振动/杆的纵向振动,频率方程,固有频率,2023年3月5日,振动力学,21,例：,一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。,推导系统的频率方程。,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,22,连续系统的振动/杆的纵向振动,解：,边界条件：,得出：,频率方程,振型函数：,2023年3月5日,振动力学,23,连续系统的振动/杆的纵向振动,例：,一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。,推导系统的频率方程。,边界条件：,自己推
9、导！,2023年3月5日,振动力学,24,主振型的正交性,只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性,杆可以是变截面或匀截面的,杆的动力方程：,自由振动：,主振动：,代入，得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,25,杆的简单边界：,固定端,x=0 或 l,自由端,x=0 或 l,设：,代入：,乘 并沿杆长对 x 积分：,利用分部积分：,得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,26,乘 并沿杆长对 x 积分：,同理,乘 并沿杆长对 x 积分：,相减：,时,则必有：,杆的主振型关于质量的正交性,进而：,杆的主振型关于刚度的正交性,连续系统的振动
10、/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,27,关于质量的正交性,关于刚度的正交性,恒成立,令：,第 i 阶模态主质量,第 i 阶模态主刚度,第 i 阶固有频率：,主振型归一化：,正则振型,则第 i 阶主刚度：,合写为：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,28,杆的纵向强迫振动,采用振型叠加法进行求解,强迫振动方程：,初始条件：,令：,正则坐标,代入方程：,利用正交性条件：,第 j 个正则坐标的广义力,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,29,模态初始条件的求解,得：,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,30,如果沿
11、杆身作用的不是分布力，而是集中力,可表达成分布力形式：,正则坐标的广义力：,前述外部激励为分布力,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,31,例：等直杆,自由端作用有：,为常数,求：杆的纵向稳态响应,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,32,解：,一端固定，一端自由,边界条件：,固有频率：,模态函数：,代入归一化条件：,模态广义力：,第 i 个正则方程：,正则坐标的稳态响应：,杆的稳态强迫振动：,当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,33,连续系统的振动/杆的纵向振动,例：
12、,一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集中力，如图所示。,试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？,2023年3月5日,振动力学,34,连续系统的振动/杆的纵向振动,边界条件：两端固定,初始条件：,模态函数：,解：,杆的自由振动方程：,固有频率：,2023年3月5日,振动力学,35,连续系统的振动/杆的纵向振动,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：,2023年3月5日,振动力学,36,连续系统的振动/杆的纵向振动,初始条件：,应用位移初始条件：,应用速度初始条件：,2023年3月5日,振动力学,37,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,38,连续系统的振动/
13、杆的纵向振动,系统响应：,2023年3月5日,振动力学,39,连续系统的振动/杆的纵向振动,思考题：,有一根以常速度 v 沿 x 轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式。,在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。,提示：,2023年3月5日,振动力学,40,连续系统的振动/杆的纵向振动,右半部分为一端固定、另一端自由的杆。,边界条件：,杆的自由振动方程：,初始条件：,自己推导！,2023年3月5日,振动力学,41,连续系统的振动/杆的纵向振动,例：有一根 x=0 端为自由、x=l 端处为固定得杆，固定端承受支撑运动
14、,为振动的幅值,试求杆的稳态响应。,2023年3月5日,振动力学,42,连续系统的振动/杆的纵向振动,解：,方程建立,微段分析,应变：,内力：,达朗贝尔原理：,杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移,2023年3月5日,振动力学,43,连续系统的振动/杆的纵向振动,令：,代入方程：,即：,设解为：,为归一化的正则模态,代入方程，得：,2023年3月5日,振动力学,44,连续系统的振动/杆的纵向振动,利用正交性：,2023年3月5日,振动力学,45,连续系统的振动/杆的纵向振动,模态稳态解：,2023年3月5日,振动力学,46,连续系统的振动/杆的纵向振动,2023年3月5日,振动力学,4
15、7,连续系统的振动/杆的纵向振动,杆振动分析小结,1.建立动力学方程,2.根据边界条件求解固有频率和模态,3.变量分离,4.代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程,5.物理空间初始条件转到模态空间,6.模态空间方程求解,7.返回物理空间，得解,模态叠加法,2023年3月5日,振动力学,48,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法,2023年3月5日,振动力学,49,梁的弯曲振动,动力学方程,考虑细长梁的横向弯曲振动,梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内,在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响,外载荷作用在该平面内,梁在该平面
16、作横向振动（微振）,这时梁的主要变形是弯曲变形,伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）,f(x,t):单位长度梁上分布的外力,m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩,梁参数：,I 截面对中性轴的惯性积,单位体积梁的质量,S 梁横截面积,E 弹性模量,外部力：,假设：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,50,动力学方程,f(x,t):单位长度梁上分布的外力,m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩,微段受力分析,令：,y(x,t):距原点x处的截面在t时刻 的横向位移,截面上的剪力和弯矩,微段的惯性力,微段所受的外力,微段所受的外力矩,连续系统的振动/梁
17、的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,51,力平衡方程：,即：,以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：,略去高阶小量：,材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：,变截面梁的动力学方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,52,变截面梁的动力学方程：,等截面梁的动力学方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,53,固有频率和模态函数,变截面梁的动力学方程：,讨论梁的自由振动,自由振动方程：,根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：,代入自由振动方程：,对于等截面梁：,通解：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,54,
18、等截面梁的自由振动方程：,梁的主振动：,通解：,代入，得：,第 i 阶主振动：,无穷多个,和 由系统的初始条件确定,系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,55,常见的约束状况与边界条件,（1）固定端,挠度和截面转角为零,（2）简支端,挠度和弯矩为零,（3）自由端,弯矩和剪力为零,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,56,例：求悬臂梁的固有频率和模态函数,解：,一端固定，一端自由,边界条件,固定端：挠度和截面转角为零,自由端：弯矩和截面剪力为零,得：,以及：,非零解条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023
19、年3月5日,振动力学,57,简化后，得：,频率方程,当 i=1,2,3时,解得：,当 时,各阶固有频率：,对应的各阶模态函数：,其中：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,58,铅垂梁的前三阶模态形状,第一阶模态,第二阶模态,第三阶模态,一个节点,两个节点,无节点,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,59,例：简支梁的固有频率和模态函数,解：,一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰,固定铰：挠度和截面弯矩为零,滑动铰：挠度和截面弯矩为零,得：,以及：,频率方程：,固有频率：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,60,频率方程：,固
20、有频率：,模态函数：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,61,例：两端自由梁的固有频率和模态函数,背景：导弹飞行,系统类别：半正定系统,存在刚体模态,导弹飞行1,导弹飞行2,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,62,频率方程：,模态函数：,其中：,当 i=1,2,3时,解得：,当 时,自由端：弯矩和截面剪力为零,当 时,对应刚体模态,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,63,第二阶模态,第三阶模态,第四阶模态,第五阶模态,自由梁的模态形状,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,64,例：试用数值确定
21、一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,65,连续系统的振动/梁的弯曲振动,解：,梁的自由振动方程：,边界条件,固定端：,自由端：,模态函数：,2023年3月5日,振动力学,66,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,67,连续系统的振动/梁的弯曲振动,非零解条件：,频率方程：,求得：,对应的各阶模态函数：,代入：,2023年3月5日,振动力学,68,连续系统的振动/梁的弯曲振动,第一阶模态：,第二阶模态：,0.560,2023年3月5日,振动力学,69,例：悬臂梁,一端
22、固定，另一端有弹性支撑,边界条件,固定端：挠度和截面转角为零,弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等,弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比,弹簧一：卷簧，与截面转角成正比,弯矩平衡条件：,剪力平衡条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,70,固定端：,弹性支撑端：,由固定端条件解得：,由弹性支撑固定端条件解得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,71,或,非零解条件导出频率方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,72,（1）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形,连续系统的振动/梁的弯曲振动,讨
23、论：,2023年3月5日,振动力学,73,（2）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形,连续系统的振动/梁的弯曲振动,讨论：,2023年3月5日,振动力学,74,例：悬臂梁自由端附有质量,求频率方程,解：,固定端：,自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡,利用同上述算例相同的方法，得频率方程：,其中：,为集中质量与梁质量之比,为梁质量,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,75,说明：,以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）,若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响,铁
24、木辛柯梁（Timoshenko beam）,考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,76,模态函数的正交性,梁若为等截面，则：,变截面梁的自由振动方程：,主振动：,代入，得：,设：,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,77,利用分部积分：,在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,78,则有：,主振型关于质量的正交性,（1）,（
25、2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,由（4）、（5）式，得：,主振型关于刚度的正交性,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,79,如果 i=j,恒成立,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,（1）,（2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,80,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,时,时,主振型中的常数按下列归一化条件确定：,正则振型,正则振型的正交性：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023
26、年3月5日,振动力学,81,梁横向振动的强迫响应,梁的横向强迫振动方程：,令：,代入：,由正交性条件，得：,第 j 个正则坐标方程,第 j 个正则坐标的广义力,由分部积分：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,82,梁初始条件的处理,假定梁的初始条件为：,代入：,第 j 个正则坐标方程：,第 j 个正则模态响应：,得到 后，即可得到梁的响应,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,83,如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,84,中点受常力P作用产生静变形,例：简支梁
27、,求：当P突然移出时梁的响应,解：,由材力得初始条件:,梁中点的静挠度,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,85,梁两端简支,固有频率：,振型函数：,代入归一化条件：,模态初始条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,86,模态初始条件：,没有激振力，正则广义力为零,正则广义力,模态响应：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,87,例：简支梁,求：梁的响应,中点受力矩 作用,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,88,解：,由上例知：,固有频率：,振型函数：,正则广义力：,第 i 个正则方
28、程：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,89,例：悬臂梁,自由端作用有正弦力,求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,90,解：,强迫振动方程：,模态函数：,设解为：,代入方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,91,利用正则模态的正交性条件：,模态稳态解：,梁的响应：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,92,梁的响应：,梁自由端的响应,令 x=l：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,93,例：简支梁，左端承受正弦支撑运动
29、,试求梁的响应。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,94,解：,梁的振动方程：,解释：,微段分析,力平衡方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,95,以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：,略去高阶小量，得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,96,材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：,梁的振动方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,97,连续系统的振动/梁的弯曲振动,代入方程：,令：,即：,即：,设解为：,为归一化的正则模态,2023年3月5日,振动力学,98,连续系统的振动/梁的弯曲
30、振动,代入方程，得：,利用正交性：,2023年3月5日,振动力学,99,连续系统的振动/梁的弯曲振动,模态稳态解：,简支梁固有频率：,2023年3月5日,振动力学,100,连续系统的振动/梁的弯曲振动,代入：,2023年3月5日,振动力学,101,连续系统的振动/梁的弯曲振动,思考题：悬臂梁，右端简支。,试求梁的响应。,右端承受支撑运动,2023年3月5日,振动力学,102,变截面梁的动力学方程：,等截面梁的动力学方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,回顾：动力学方程,等截面梁自由振动的动力学方程：,2023年3月5日,振动力学,103,回顾：固有频率和模态函数,自由振动方程：,通解：,连续系
31、统的振动/梁的弯曲振动,常见的约束状况与边界条件,（1）固定端,（2）简支端,（3）自由端,简支梁的固有频率和模态函数,频率方程：,固有频率：,2023年3月5日,振动力学,104,梁的弯曲振动,动力学方程 固有频率和模态函数 模态函数的正交性 梁横向振动的强迫振动,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,105,模态函数的正交性,变截面梁的自由振动方程：,主振动：,代入，得：,设：,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,106,利用分部积分：,在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零。,得：,代入（3）式，有：,相减
32、：得：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,107,则有：,主振型关于质量的正交性,（1）,（2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,由（4）、（5）式，得：,主振型关于刚度的正交性,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,108,如果 i=j,恒成立,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固有频率,（1）,（2）,分部积分：,得：,代入（3）式，有：,相减：得：,(3),（4）,（5）,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,109,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,第 j 阶固
33、有频率,时,时,主振型中的常数按下列归一化条件确定：,正则振型,正则振型的正交性：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,110,梁的弯曲振动,动力学方程 固有频率和模态函数模态函数的正交性梁横向振动的强迫振动,连续系统的振动/一维波动方程,2023年3月5日,振动力学,111,梁横向振动的强迫响应,梁的横向强迫振动方程：,令：,代入：,由正交性条件，得：,第 j 个正则坐标方程,第 j 个正则坐标的广义力,由分部积分：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,112,梁初始条件的处理,假定梁的初始条件为：,代入：,第 j 个正则坐标方程：,第 j 个
34、正则模态响应：,得到 后，即可得到梁的响应,连续系统的振动/梁的弯曲振动,主振型关于质量的正交性,2023年3月5日,振动力学,113,如果作用在梁上的载荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩.,有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,114,中点受常力 P 作用产生静变形.,例：简支梁初始响应,求：当 P 突然移出时梁的响应,解：,由材力得初始条件:,梁中点的静挠度.,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,115,梁两端简支,固有频率：,振型函数：,代入归一化条件：,模态初始条件：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,
35、116,模态初始条件：,没有激振力，正则广义力为零,正则广义力,模态响应：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,117,例：简支梁,求：梁的稳态响应.,中点受力矩 作用.,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,118,解：,由上例知：,固有频率：,振型函数：,正则广义力：,第 i 个正则方程：,因此有：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,119,例：悬臂梁,自由端作用有正弦力：,求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,120,解：,强迫振动方程：,模态函数
36、：,设解为：,代入方程：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,121,利用正则模态的正交性条件：,模态稳态解：,梁的响应：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,122,梁的响应：,梁自由端的响应:,令 x=l：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,123,小结：梁横向振动的强迫响应,连续系统的振动/梁的弯曲振动,2023年3月5日,振动力学,124,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法有限元法,2023年3月5日,振动力学,125,连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件。,当构件形状复杂或边界条件
37、复杂时可以采用近似解法。,各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自由度的系统进行近似。,集中质量法,假设模态法,有限元法,集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上。,假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解。,有限元法兼有以上两种方法的特点。,连续系统的振动/集中质量法,2023年3月5日,振动力学,126,集中质量法,工程系统的物理参数常常分布不均匀。,惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体。,惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量可以不计或折合到集中质量上。,物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量.,集中质量的数量取决于
38、所要求的计算精度。,连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的分析方法进行分析。,连续系统的振动/集中质量法,2023年3月5日,振动力学,127,集中质量法,以等截面梁为例：,材料密度,长度 l,抗弯刚度 EI,将梁均分为四段，,并将每段的质量平均分到该段的两端。,支座处的集中质量不影响梁的弯曲。,连续梁可用三个集中质量代替：,质量矩阵：,梁质量：,横截面积度 S,连续系统的振动/集中质量法,2023年3月5日,振动力学,128,三个质点之间的梁段具有相同的弹性性质。,由材料力学，得柔度影响系数：,质量矩阵：,柔度矩阵：,可以求解系统固有频率。,连续系统的振动/集中质量法,202
39、3年3月5日,振动力学,129,也可将连续梁离散为两自由度或单自由度系统。,在求得质量矩阵和柔度矩阵后，可以计算出相应的系统固有频率。,连续系统的振动/集中质量法,2023年3月5日,振动力学,130,结论：（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高；（3）频率阶数增高，误差增大。,连续系统的振动/集中质量法,2023年3月5日,振动力学,131,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法有限元法,2023年3月5日,振动力学,132,假设模态法,利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律。,在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数
40、的线性组合：,：模态函数,：模态坐标,若取前 n 个有限项作为近似解，则有：,：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但不一定满足动力学方程的试函数族。,：与假设模态所对应的广义坐标.,瑞利法,里兹法,连续系统的振动/假设模态法,2023年3月5日,振动力学,133,假设模态法瑞利法概要,连续系统的振动/假设模态法/瑞利法,假设系统以模态 作频率为 的自由振动：,根据保守系统，机械能守恒,即,引入系统的参考动能：,定义瑞利商：,与多自由度系统相同，瑞利商大于基频,2023年3月5日,振动力学,134,教学内容,一维波动方程梁的弯曲振动集中质量
41、法假设模态法有限元法,2023年3月5日,振动力学,135,有限元法,20世纪五六十年代发展起来的方法.,吸取了集中质量法与假设模态法的优点.,有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法.,每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值函数表示（单元的假设模态）.,由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同.,将复杂结构分割成有限个单元，单元端点称为节点，将节点的位移作为广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上.,以杆的纵向振动为例进行介绍.,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,136,杆的纵向振动,单元质量矩
42、阵和刚度矩阵的求解,将杆划分为多个单元;,取出其中一个单元进行分析.,单元长 l，两端节点位移 u1(t)、u2(t),x 位置截面的位移：,：单元假设模态,（形函数）,取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变形函数:,例如：,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,137,x 位置截面的位移：,代入，得：,单元动能：,单元质量矩阵,为常数时,：材料密度,：截面积,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,138,单元势能：,单元刚度矩阵,为常数时,：弹性模量,f(x,t)对虚位移 的虚功：,：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵,若轴向力
43、f(x,t)为常力,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,139,全系统的动力学方程,以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构.,以一个例子进行说明:,杆划分为三个单元,单元质量矩阵：,单元刚度矩阵：,单元坐标,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,140,全部节点坐标列阵：,节点坐标约束条件：,只有三个独立,定义独立的广义坐标：,广义坐标列阵：,节点坐标与广义坐标之间的关系：,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,141,全系统的动能：,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,142,质量矩阵 M 也可直接利用单
44、元质量矩阵组集而成.,方法：将单元质量矩阵 me1、me2 和 me3 的各个元素统一按 qi(i=1,2,3)的下标重新编号，放入 M 中与编号相对应的行和列中：,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,143,单元质量矩阵：,和广义坐标 相对应的质量矩阵：,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,144,全系统的势能：,也可组集得到：,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,145,当杆上有常值轴向力作用时，三根杆的广义外力阵为：,系统的广义力阵：,作用力的总虚功：,与广义坐标 q 对应的广义力阵.,也可将Fe1、Fe2 和 Fe3 的各个元素统一按 qi(i=1,2,3)的下标重新编号，放入 Q 中与编号相对应的行和列中:,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,146,用广义坐标阵 q 表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：,用广义坐标阵 q 表示的全系统的动力学方程：,连续系统的振动/有限元法,2023年3月5日,振动力学,147,小结：模态函数的正交性,等截面自由振动梁：,主振动：,连续系统的振动/梁的弯曲振动,主振型关于质量的正交性,主振型关于刚度的正交性,第 j 阶固有频率,第 j 阶主质量,第 j 阶主刚度,
