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1、1,第五章,线性方程组直接解法,向量与矩阵范数 矩阵条件数,2,内容提要,矩阵基础 Gauss 消去法 矩阵三角分解 向量与矩阵范数 误差分析,3,本讲内容,定义、常见向量范数、性质,向量范数,定义、常见矩阵范数、性质,矩阵范数,矩阵条件数,4,向量范数,定义：设函数 f:Rn R，若 f 满足 f(x)0，xRn,等号当且仅当 x=0 时成立（正定性）f(x)=|f(x)，xRn,R（齐次性）f(x+y)f(x)+f(y)（三角不等式）则称 f 为 Rn 上的（向量）范数，通常记为|,向量范数,向量内积（数量积）,定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式 导出范数（欧氏范数）,5,常见
2、向量范数,Rn 空间上常见的向量范数,1-范数：,2-范数：,-范数（有时也称最大范数）：,p-范数：,6,范数性质,范数的性质,(1)连续性,定理：设 f 是 Rn 上的任一向量范数，则 f 关于 x 的每个分量连续。,(2)等价性,定理：设|s 和|t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在常数 c1 和 c2，使得对任意的 xRn 有,证明：板书,证明：板书,7,定理：设|是 Rn 上的任意一个向量范数，则,范数性质,(3)Cauchy-Schwarz 不等式,(4)向量序列的收敛性,定理：,证明：略,定义：设 是 Rn 中的一个向量序列，其中 如果，则称 收敛到，记为,证明：板书,8,矩阵
3、范数,定义：设函数 f:Rnn R，若 f 满足 f(A)0，A Rnn,且 f(A)=0 A=0（正定性）f(A)=|f(A)，ARn,R（齐次性）f(A+B)f(A)+f(B)（三角不等式）f(AB)f(A)f(B)（相容性）则称 f 为 Rnn 上的（矩阵）范数，通常记为|,矩阵范数,9,常见矩阵范数,常见的矩阵范数,(1)F-范数(Frobenious 范数),(2)算子范数(从属范数、诱导范数),其中|是 Rn 上的任意一个范数,10,算子范数,常见的算子范数,-范数（行范数）,2-范数（谱范数）,1-范数（列范数）,证明：板书，为作业,11,算子范数举例,例：设 计算,解：板书,1
4、2,矩阵范数性质,矩阵范数的性质,(1)连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的每个分量是连续的。,(2)等价性：设|s 和|t 是 Rnn 上的任意两个矩阵范数，则存在常数 c1 和 c2，使得对任意的 A Rnn 有,(3)若 A 是对称矩阵，则,证明：略,证明：略,证明：练习,13,算子范数性质,算子范数的性质,定理：对任意 0,总存在一算子范数|，使得|A|(A)+,证明：略,定理：设|是任一算子范数，则,证明：板书,注：该性质对 F-范数也成立。,14,定理：设|是 Rn 上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为|，则有,算子范数性质,算子范数的性质,该性质
5、就是矩阵范数与向量范数的相容性,证明：直接由算子范数定义可得,定理：设|是任一算子范数，若|B|1，则 IB 非奇异，且,证明：板书,15,病态矩阵,定义：考虑线性方程组 Ax=b，如果 A 或 b 的微小变化会导致解的巨大变化，则称此线性方程组是病态的，并称矩阵 A 是病态的，反之则是良态的。,什么是病态矩阵,例：,16,矩阵条件数,定义：设 A 非奇异，则称为 A 的条件数，其中|v 是 1-范数，2-范数或-范数。,如何判别矩阵是否病态 矩阵的条件数,定理：考虑线性方程组 Ax=b，设 A 是精确的，b 有微小的变化 b，此时的解为 x+x，则,证明：板书,17,矩阵条件数,定理：考虑线
6、性方程组 Ax=b，设 b 是精确的，A 有微小的变化 A，此时的解为 x+x。假定，则,当 A 充分小时，不等式右端约为,证明：板书,一般来说，当 A 的条件数较大时，A 就是病态的 条件数越大，病态越严重，此时就越难用一般方法求得线性方程组比较精确的解。,18,矩阵条件数,条件数与范数有关，常用的有无穷范数和2-范数,注：Cond(A)2 称为谱条件数，当 A 对称时有,19,条件数性质,条件数的性质,Cond(A)1 Cond(A)=Cond(A),其中 为任意非零实数 若 R 是正交矩阵，则 Cond(R)2=1 若 R 是正交矩阵，则对任意非奇异矩阵 A，有 Cond(AR)2=Cond(RA)2=Cond(A)2,20,举例,例：计算 Cond(A)和 Cond(A)2,解：,Cond(A)=|A-1|A|4104,Cond(A)2=max/min 4104,A 对称，且,21,举例,例：计算 Cond(Hk)其中 Hk 为 k 阶 Hilbert 矩阵,解：,k=1 时，Cond(H1)=1,k=2 时，,Cond(H2)=27,k=3 时，,Cond(H3)=748,Cond(H4)=28375，Cond(H10)=3.51013,
