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1、7.5 本征值和本征向量（特征值和特征向量）,一、本征值和本征向量的概念和求法,1、概念,定义1：设，且，使得，则 叫做 的一个本征值，而 叫做 的属于本征值 的本征向量。,例1、令 表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间。是求导数运算。是的一个线性变换。，求 的本征值和本征向量。,例2、令 是数域 上一切一元多项式所成的向量空间，是的一个线性变换。求 的本征值和本征向量。,2、求法,现设 是数域 上一个 维向量空间。取定 的一个基,令 线性变换 关于这个基的矩阵为设 是 的属于本征值 的本征向量。又,由定理7.3.1，有，即：,以上齐次线性方程组 有非零解 系数行列式,反过
2、来，若 满足等式，则齐次线性方程组有非零解，因为 满足，即是 的一个本征值。,定义2：设 是数域上一个 阶矩阵。行列式 叫做矩阵 的特征多项式。,把 阶矩阵 的特征多项式 在复 数域 内的根叫做矩阵 的特征根。设 是矩阵 的一个特征根，那么齐次线性方程组 的一个非零解叫做矩 阵 的属于特征根 的一个特征向量。,显然，。,等式 表明，如果 是线性变换关于 的一个基的矩阵，而 是 的特征多项式 的根：。,例3、设 上三维向量空间的线性变换 关于基 的矩阵是，求 的本征值和相应的本征向量。,例4、求矩阵的 特征根和相应的特征向量。,二、相似矩阵的特征多项式的关系,定理：相似的矩阵有相同的特征多项式。,例5、已知 与 相似，求 的值。,这样，我们可以定义 的线性变换的特征多项式是 关于 的任意一个基的特征多项式，记作：。,定理7.5.1：设 是数域 上 维向量空间 的一个线性变换，是 的一个本征值 是 的特征多项式的根。,定义3：矩阵 的特征多项式中，矩阵 的主对角线上的元素之和叫做矩阵 的迹，记作：，即：；,的常数项等于 的行列式乘以 即：。,例6、求 的迹 与 的常数项。,
