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1、等差数列的前n项和,1.等差数列的定义：,2.通项公式：,3.重要性质:,复习,练习,Sn-1=a1+a2+a3+-+an-1,(n1),Sn-Sn-1=?,an,看课本42页,思考,1.这两个例子分别是对什么数列求和？都采用了什么样的方法？有何特点？,2.对于一个一般的等差数列，我们应该如何求前n项和呢？,高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？,高斯（1777-1855），德国数学家、
2、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。,高斯“神速求和”的故事:,首项与末项的和：1100101，,第2项与倒数第2项的和：299=101，,第3项与倒数第3项的和：398 101，,第50项与倒数第50项的和：5051101，,于是所求的和是：,求 S=1+2+3+100=？,你知道高斯是怎么计算的吗？,高斯算法：,高斯算法用到了等差数列的什么性质？,如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。,即求：S=4+5+6+7+8+9+10.,高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=143+7=4
3、9.,还有其它算法吗？,情景2,S=10+9+8+7+6+5+4.,S=4+5+6+7+8+9+10.,相加得：,倒序相加法,怎样求一般等差数列的前n项和呢？,新课,倒序,相加,等差数列的前n项和公式,公式1,公式2,结论：知 三 求 二,思考：,(2)在等差数列 中，如果已知五个元素 中 的任意三个,请问:能否求出其余两个量?,(1)两个求和公式有何异同点？,公式记忆,类比梯形面积公式记忆,练习1.课本45页练习1,-88,604.5,2550,法一,法二,例3.2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”的通知。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10
4、年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,解：,由题意，该市每年在“校校通”上的投入构成首项a1=500，公差d=50的等差数列。,所以，到2010年（n=10）投入的资金总额为S10=10*500+10*9/2=7250(万元),答：从2001到2010年，该市在“校校通”的总投入是7250万元,分析,-，得,n=1时，a1=S1=12+1/2=3/2满足式,所以an=2n-1/2,题型一）已
5、知前n项和Sn，求通项an,（1）当数列2n-24前n项之和取得最小值时，n=？,练习,（2）等差数列an，|a3|=|a9|，d0,求使它的前n项和Sn取得最大值的自然数n,5或6,11或12,（3）数列an的前n项和Sn=32n-n2，则n=?时Sn有最大值,16,题型二）等差数列前n项和的最值问题,(4)等差数列an，a10,S3=S11,则数列的前几项的和最大？,7,等差数列前n项和公式的函数特征：,特征：,思考：,结论：,例1、计算：,举例,例2、,注：本题体现了方程的思想.,解：,例3、,解：,又解：,整体运算的思想!,例4、,解：,1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前
6、2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。,解：,巩固练习,解:,1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;,小结,3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.,已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式.,应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.,作业,P45 T1,T2（书上）,P46 A：T1-T4；，B1-B2（通用练习本）,完成作业本等差数列前n项和（一）,2.3 等差数列的前n项和,性质及其应用（上）,1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列
7、共有_项。,2.已知两个等差数列an,bn，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若,热身练习,比值问题,整体思想,方法一：方程思想,方法二：,成等差数列,等差数列前n项和性质：,(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列),等差数列前项和的最值问题：,练习1、已知一个等差数列中满足,解：,方法一,练习,解：,方法二,对称轴 且更接近9，所以n=9.,练习1、已知一个等差数列中满足,作业,P45 练习T3（书本）P46 T5-T6，P68 T9（通用练习本）完成作业本等差数列前n项和（二）,周末别忘了温习哦,等差数列前n项和,性质以及应用（下）,等差数列奇，偶项和问题,1、已知一个等差数列前12项
8、的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差,分析：方法一：直接套用公式；方法二：利用奇数项与偶数项的关系,解：方法一：,练习,1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差,解：方法二：,2、已知一个等差数列中d=05，,分析：还是利用奇数项和偶数项之间 的关系，相差一个公差d.,解：设,求数列前n项和方法之一：裂项相消法,设an是公差为d的等差数列，则有,特别地，以下等式都是式的具体应用：,(裂项相消法),；,；,求和公式：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：,求数列前n项和方法之二：公式,单利：银行利息按单利计算（利息没有利息）本利和=本金（1+利率存期）,例如：存入10000元，利率为0.72%,特点：每一项与前一项的差是同一个常数,复利：银行利息按复利计算（利滚利）本金和=本金（1+利率）存期,例如：存入10000元，利率为1.98%,特点：后一顶与前一项的比是同一个常数,
