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1、第六章 二重积分,6.1.1 二重积分的概念与性质,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,二重积分的概念,求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示,解法:类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xOy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边
2、界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分割，,取近似，求和,取 极限”,1)“分割”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“取近似”,在每个,3)“求和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极限”,令,二、二重积分的定义,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数,则曲顶柱体体积:,如果 在D上可积,元素d也常记作,二重积分记作,这时,分区域 D,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,定理1.,在D上可积.,限
3、个点或有限条光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,例如,在 D:,上二重积分存在;,在D 上,二重积分不存在.,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,当 为常数时，,性质1+,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质2,对区域具有可加性,性质3,若 为D的面积，,性质4,若在D上,特殊地,则有,无公共内点，则,性质5,性质6,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,解,4.设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称
4、,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线,从而,而域 D 位于直线的上方,故在 D 上,例2.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,例3.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负 但不好估计.,舍去此项,被积函数相同,且非负,解:,由它们的积分域范围可知,5.比较下列积分值的大小关系:,6.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),提示:因 0 y 1,故,故在D上有,8.估计,的值,其中 D 为,解:被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,
