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1、第三章 函数,3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质,使学生会求一些简单函数的定义域,使学生会用描点法画简单函数的图像,31函数的概念及其表示,教学目标,使学生理明函数的概念及三种表示方法,变量 在某一问题的研究过程中，可以取不同数值的量称为变量.常量 在某一问题的研究过程中，保持数值不变的量称为常量.函数与自变量 在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存 在确定的依赖关系，那么变量y称为变量x的函数，x称为自变量.定义域 函数的自变量允许取值的范围，称为这个函数的定义域.正比例函数定义域是一切实数的函数y=（k是不等于零
2、的常数）称为正比例函数，其中常数 k 称为比例系数.,回顾初中接触过的函数相关概念,复习回顾,31函数的概念及其表示,x,k,反比例函数定义域是不等于零的一切实数的函数y=（k是不等于零的常数）称为反比例函数，其中常数k称为比例系数.一次函数定义域是一切实数的函数y=kx+b（k是不等于零的常数）称为一次函数.二次函数定义域是一切实数的函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）称为二次函数，其中a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.(本节中，函数、定义域等概念将得到进一步深化).,31函数的概念及其表示,31函数的概念及其表示,根据初中学过的知识，写出下列两个实例中函数解析式
3、及定义域面积正方形面积y是边长x的函数，可表示为 y=.它的定义域为,31函数的概念及其表示,个人所得税按照我国税法规定，个人月收入的应纳税所得额中，超过2000元不超过5000元的部分，需缴纳15%的个人所得税设某人月收入的应纳税所得额为x元（2000 x5 000），其中2000元到5000元部分个人缴纳的所得税为y元.这里y是x的函数，可表示为 y=.它的定义域为,31函数的概念及其表示,在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数（function），记作y=f(x
4、),xD 其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定义域（domain），与x的值相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域（range）,小 结,31函数的概念及其表示,1函数的两大要素 2.求函数的定义域的方法,31函数的概念及其表示,例 求下列函数的定义域：（1）y=2x2-3x+1（2）y=（3）y=（1）由于x为任何实数，函数y=2x2-3x+1都有意义，所以这个函数的定义域为(-,+),例题解析,解,31函数的概念及其表示,（2）函数的定义域由不等式组x-30 确定解不等式组，得 x2,且x3 所以这个函数的定义域为2,3)U
5、(3,+)（3）函数的定义域由不等式 3x-x2-20 确定，解不等式，得 1x2 所以这个函数的定义域为1，2,例题解析,解,补充例题1 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）y=()2（2）y=3 3（3）y=2（1）y=()2=x(x0)，这个函数与函数y=x(xR)虽然对应关系相同，但是定义城不同，所以这两个函数不是同一个函数。（2）y=3=x(xR)，这个函数与函数y=x（xR）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这两个函数是同一个函数。,31函数的概念及其表示,例题解析,解,解,31函数的概念及其表示,（3）y=2=|x|=这个方程与函数y=x（xR）的定义域都是实数集
6、R，但是当x0时它的对应关系与 y=x（xR）不相同，所以这两个函数不是同一个函数.补充例题 2 已知圆的半径为x，面积为y，写出y关于x的函数关系 式，并求出它的定义域。由圆的面积可知 y=x2定义域为（0，+）,例题解析,解,知识巩固1,31函数的概念及其表示,1写出反比例函数和一次函数的函数关系一般形式，并确定它 们的定义域和值域。2用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地，矩形一边长为x米，面积为y平方米，请写出y关于x的函数关系式，并求它的定义域。3求下列函数的定义域：（1）y=3x-1（2）y=（3）y=,31函数的概念及其表示,例1已知二次函数f(x)=x2+2x-3,求f(0),f
7、(1),f()以及f(a-1)的值 当x=0 时，f(0)=02+20-3=-3 当x=1 时，f(1)=12+21-3=0 当x=时，f()=()2+2-3=-当x=a-1时，f(a-1)=(a-1)2+2(a-1)-3=a2-4,例题解析,31函数的概念及其表示,解,例题解析,31函数的概念及其表示,例2用计算器计算下列函数值（精确到0.01）：(1)已知函数f(x)=，求f(2.4)的值(2)已知函数f(x)=，求f(1.72)的值(3)已知函数f(x)=x 3，求f(3.21)的值 用计算器算得：（1）f(2.4)=-0.83（2）f(1.72)=1.31（3）f(3.21)=3.21
8、333.08 小结：求x对应的函数值，只要把x的值直接代到函数解析 式中去进行计算就可以了。如无特别说明，所有计算都可以用计算器计算。,解,例题解析,31函数的概念及其表示,例3用描点法作函数y=的图像 函数y=的定义域为(-,0)(0,+)列表：,解,例题解析,31函数的概念及其表示,图3-2 小结：描点法作图流程：确定定义域列表描点连线。,例题解析,31函数的概念及其表示,例4图33是气象台自动温度记录仪的描图针描绘的某一天温度随时间变化的图像图中，每一时刻t（单位：小时），都对应着唯一一个温度T（单位：）因此，温度T是时间t的函数，即Tf(t)图33,例题解析,31函数的概念及其表示,（
9、1）写出函数Tf(t)的定义域和值域（2）指出下午18点整时的气温（3）指出全天有多长时间气温不低于14？（4）描述全天的气温随时间增高和降低的情况,例题解析,31函数的概念及其表示,由函数图像可知：（1）函数Tf(t)的定义域是0，24，值域是10，25（2）下午18点整时的气温约为20（3）从6点开始一直到20.5点共有14.5个小时气温不低于14（4）0点到3点以及13点到24点内气温随时间降低，3点到13点内气温随时间升高小结：用解析法、列表法和图像法表示函数各有利弊，可以根据需要择优而用，也可以将其中几种方法结合使用。,解,知识巩固2,31函数的概念及其表示,1已知函数f(x)=，求
10、f(-3),f(1),f(0)+f(2)以及 f(a-2)(a0)的值2用描点法作函数y=的图像3作出函数y=x2-1，x0，1，2，3的图像,知识巩固2,31函数的概念及其表示,4图34是某种品牌的自动电加热饮水机在不放水的情况下，内胆水温实测图(室温20)根据图像回答：(1)水温从20升到多少度时，该机停止加热？这段时间多长？(2)该机在水温降至多少温度时，会自动加热？从最高温度降至该温度的时间多长？(3)再次加热至最高温度，用了多长时间？,函数的表示方法,32函数的基本性质,教学目标,32函数的基本性质,偶函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的 xD，却有f（-x）
11、=f（x），则称y=f（x）为偶函数，如y=x2为偶函数。奇函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的 xD，都有 f（-x）=-f（x），则称y=f（x）为奇函数，如y=非奇非偶函数：如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则 称为非奇非偶函数.,节菜单,32函数的基本性质,思考：1奇函数，偶函数的定义域有什么特征？（关于原点对称）2偶函数的图像一定是轴对称图形，反之成立吗？3奇函数的图像关于原点成中心对称，反之成立吗？,节菜单,例题解析,32函数的基本性质,例1 利用定义，判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=（2）f(x)=x3-2x（3）f(x)=x-2（4）f(x)=x
12、2-2x,x-2，3,（1）函数f(x)=的定义域为 D=（-，0）（0，+）由于对于任意的xD，都有 f(-x)=f(x)所以函数f(x)=是偶函数（2）函数f(x)=x3-2x的定义域D=(-,+）由于对于任意的xD，都有 f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x)所以函数f(x)=x3-2x是奇函数,例题解析,32函数的基本性质,解,例题解析,32函数的基本性质,（3）函数f(x)=x-2的定义域D=(-,+)取x=1，有f(-1)=-1-2=-3，f(1)=1-2=-1 因此函数f(x)不是偶函数 同样，由于f(-1)-f(1)，因此函数f(x)也不是奇 函数 所
13、以函数f(x)=x-2是非奇非偶函数（4）函数f（x）=x2-2x,x-2，3的定义域为 D=-2，3由于定义域D不关于原点对称，所以函数f(x)=x2-2x,x-2,3是非奇非偶函数,解,例题解析,32函数的基本性质,例2如图310，已知奇函数y=f(x)在y轴右边部分的图像，试把函数y=f(x)的图像画完整图310,例题解析,32函数的基本性质,第一步，如图311a所示，在y轴右边的图像上适当取几个点O，A，B，C（一般取能够反映主要特征的点）；第二步，画出这些点关于原点的对称点O,A，B，C，用一条光滑曲线顺次连结这些对称点，就得到了y=f(x)的完整图像，如图311b所示,补充例题1判
14、断下列函数的奇偶性（1）f（x）=|x-1|+|x+1|（2）f（x）=（x-1）（1）因原函数定义域为R f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）所以f（x）是偶函数（2）因 0得 x（-1，1）函数定义域不关于原点对称 所以f（x）是非奇非偶函数。,32函数的基本性质,解,知识巩固1,32函数的基本性质,1.利用定义，判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=3x2-7（2）f(x)=-2x（3）f(x)=-2x+3（4）f(x)=,32函数的基本性质,知识巩固1,2如图312，已知偶函数y=f(x)在y轴左边部分的图像，试把函数y=f(x)的图像画完整，并比较
15、f(1)与f(3)的大小 图312,节菜单,32函数的基本性质,知识巩固1,3如图313，已知奇函数y=f(x)在y轴右边部分的图像，试把函数y=f(x)的图像画完整，并求f(-4)的值图313,32函数的基本性质,增函数、减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域上某个区间为I：如果对于任意的x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2),32函数的基本性质,我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，简称增函数（increasing function），其图像沿x轴的正方向上升，如图3-15a 所示.如果对于任意的x1，x2I，当x1x2时，都有 f(x1)f(x2)我们就说函数y
16、=f(x)在区间I上是单调减函数，简称减函（decreasing function），其图像沿x轴的正方向下降，如图3-15b所示.,32函数的基本性质,图3-15,32函数的基本性质,如果函数y=f（x）在区间I上是增函数或减函数，则称区间I为函数y=f（x）的单调区间，如函数y=x2-2在（-，0）上是减函数，区间（-，0）为函数的单调减区间，在（0，+）上是增函数，区间（-，0）为函数的单调增区间。思考：y=kx+b（k0）的单调区间是什么？（-，+）,32函数的基本性质,例题解析,例1图316所示为函数y=f(x),x-10，10的图像，试根据图像指出这个函数的单调区间，并说明在每个单
17、调区间上，它是增函数还是减函数图316 函数y=f(x)的单调区间有-10，-4，-4，-1，-1，2，2，8，8，10 函数y=f(x)在区间-10，-4，-1，2，8，10上是减函数，在区间-4，-1，2，8上是增函数,解,32函数的基本性质,例题解析,例2试用函数单调性的定义讨论下列函数的单调性：（1）f(x)=3x-6（2）f(x)=-2x2+1,x0,+）（1）任取x1，x2(-,+)，且x1x2，则 f(x1)=3x1-6 f(x2)=3x2-6 f(x1)-f(x2)=(3x1-6)-(3x2-6)=3(x1-x2)因为x1-x20，所以3（x1-x2）0.于是f(x1)-f(x
18、2)0,节菜单,解,32函数的基本性质,例题解析,整理得 f(x1)f(x2)因此，函数f(x)=3x-6在（-，+）上是增函数（2）任取x1，x20，+），且x1x2，则 f(x1)=-2+1 f(x2)=-2+1 f(x1)-f(x2)=（-2+1)-(-2+1)=2(x2+x1)(x2-x1),解,32函数的基本性质,例题解析,因为 x2+x10，x2-x10 所以 f(x1)-f(x2)0 整理得 f(x1)f(x2)因此，函数f(x)=-2x2+1在0，+)上是减函数,节菜单,解,32函数的基本性质,例题解析,小结：根据定义讨论函数的单调性的步骤第一步，书写“任取x1，x2I，且x1x2”；第二步，写出f（x1），f（x2）；第三步，化简f（x1）-f（x2），并判断它的符号第四步，写出结论,节菜单,32函数的基本性质,知识巩固2,1画出下列函数的简图，指出函数的单调区间，并说明在每个单调区间上，函数是增函数还是减函数（1）f(x)=x+6（2）f(x)=x2-2x+22试用函数单调性的定义讨论下列函数的单调性.（1）f(x)=，x（-，0）（2）f(x)=2x2+1,x0,+）,节菜单,
