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1、基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器课程设计专 业： XXXXXX 姓 名： XXX 学 号： XX 指导老师： XXX 2011年 11 月 26日通信系统仿真课程设计任务书院（系）：电气信息工程学院姓名XXX学号XX专业XXXXXX课程设计题目基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器指导教师XX主要内容: 本文重点研究怎样通过MATLAB来模拟出巴特沃斯低通滤波器。讨论巴特沃斯低通滤波器在实际中的一些应用，提出了巴特沃斯低通滤波器的优点。基本要求: 试设计一个模拟低通滤波器，f_p=2400Hz，f_s=5000Hz，R_p=3 dB，R_s=25dB。分别用巴特沃斯和椭圆滤波器原型，求出
2、其3dB截止频率和滤波器阶数，传递函数，并作出幅频、相频特性曲线。指导教师（签字）： 年 月 日摘要 滤波器设计是数字信号处理的重要内容。在MATLAB软件中有丰富的滤波器设计的相关命令，掌握相关的方法后可以提高我们的工作效率。首先对巴特沃斯低通滤波器的特性进行研究，然后用MATLAB信号处理工具箱提供的函数设计出巴特沃斯低通滤波器模型，并对具体实例进行分析，使得巴特沃斯滤波器的设计更加快捷、直观、简单。 关键词巴特沃斯低通滤波器； MATLAB仿真；目 录1 绪论11.1 引言11.2 数字滤波器的设计原理11.3 数字滤波器的应用21.4 MATLAB的介绍31.5 本文的工作及安排32
3、滤波器分类及比较42.1 滤波器的设计原理42.2 滤波器分类42.3 两种类型模拟滤波器的比较63 巴特沃斯低通滤波器73.1 巴特沃斯低通滤波器简介73.2 巴特沃斯低通滤波器的设计原理74 MATLAB仿真及分析114.1 MATLAB工具箱函数114.2 巴特沃斯低通滤波器的MATLAB仿真11另附程序调试运行截图：135.1 总结135.2 展望131 绪论1.1 引言凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。滤波器在如今的电信设备和各类控制系统里面应用范围最广、技术最为复杂，滤波器的好坏直接决定着产品的优劣。自60年代起由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一
4、个新台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向。使以数字滤波器为主的各种滤波器得到了飞速的发展，到70年代后期，数字滤波器的单片集成已被研制出来并得到应用。80年代，致力于各类新型滤波器的研究，努力提高性能并逐渐扩大应用范围。90年代至现在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制。当然，对数字滤波器本身的研究仍在不断进行。1滤波器主要分成经典滤波器和数字滤波器两类。从滤波特性上来看，经典滤波器大致分为低通、高通、带通和带阻等。本文主要对低通数字滤波器做主要研究。1.2 数字滤波器的设计原理所谓数字
5、滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此，数字滤波器的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和现实滤波方法不同。正因为数字滤波器通过数值运算实现实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可以通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。2大多数的数字滤波器都归类于选频滤波器,其频率响应函数如下： （1.1）式中，称为幅频特性函数；称为相频特性函数。幅频特性反
6、应的是信号从此滤波器通过后各个频率成分的振幅衰减情况，相频特性表示的是经过滤波器之后各个频率成分在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。通常情况下幅频特性决定了选频滤波器的技术要求，因为巴特沃斯低通滤波器具有固定的相频特性，所以设计时对相频特性基本没有要求。010.707 图1.1低通滤波器的技术要求图1.1是低通滤波器的幅频特性，和表示通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0，在通带(0,)中要求，阻带频率范围为，在阻带(,)中要求。从到为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。一般情况下用分贝数表示通带及阻带
7、内允许的衰减，通带范围内允许的最大衰减为，阻带范围内允许的最小衰减为。和在低通滤波器里分别用下式定义： （1.2） （1.3） 从上式可以看出愈小，通带波纹与通带逼近误差愈小；愈大，阻带波纹越小与阻带逼近误差愈小；和之间的距离愈小，过渡带也随之变得更加狭窄。所以通带边界频率、阻带边界频率、通带最大衰减、阻带最小衰减决定了低通滤波器的设计指标。1.3 数字滤波器的应用 数字乘法器、加法器及延时单元三者共同构成了数字滤波器。其功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实
8、现。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。3数字滤波器在很多领域都得到了广泛的应用，如图像信号处理、语言信号处理、医学生物信号处理等等，其中使用最普遍的是线性时不变数字滤波器。近年来电子技术发展的非常迅速，数字滤波器的使用范围也随之发生了翻天覆地的改变：从家用的收音机、电视机到航天用的测控设备；从矿井用的通信机到巡航导弹；从超市用的报警器到日常生活的手机，由于电子产品门类及使用频段的不断扩展，各种电子设备之间的干扰也日趋严重，因而数字滤波器不但是确保电子产品本身正常可靠工作的重要部件，而且是减少相互影响、确保正常工作环境的重要器件，因而，可以毫不夸张地说，在具有
9、特定功能的电子产品中均有滤波器的踪迹可寻。1.4 MATLAB的介绍数字信号处理最重要的部分之一就是数字滤波器的设计， MATLAB的工具箱函数里有非常丰富的相关设计指令，掌握其应用后可以大大提高工作的效率。MATLAB名字由MATrix和LABoratory两词的前三个字母组合而成。新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler教授在20世纪七十年代年后期，为减轻大学生编程压力，用FORTRAN设计出一组使用简单方便的接口用来调用LINPACK和EISPACK库程序，这就是 MATLAB的雏形。 经几年的校际流传，在Little的推动下，由Little、Moler、Steve Bange
10、rt 合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把 MATLAB正式推向市场。从此开始采用C语言来编写MATLAB的内核，在原来数值计算能力的基础上还推出了数据图视功能。MATLAB以商品形式出现后，仅短短几年，就以其良好的开放性和运行的可靠性，使原先控制领域里的封闭式软件包（如英国的UMIST，瑞典的LUND和SIMNON，德国的KEDDC）纷纷淘汰，而改以 MATLAB为平台加以重建。在时间进入20世纪九十年代的时候，MATLAB已经成为国际控制界公认的标准计算软件。到九十年代初期，在国际上30几个数学类科技应用软件中， MATLAB在数值计算方面独占鳌头。 在欧美大学里，应用代数
11、、数理统计、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把MATLAB作为内容。这几乎成了九十年代教科书与旧版书籍的区别性标志。在那里，MATLAB是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本工具。在国际学术界，MATLAB已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。在许多国际一流学术刊物上，（尤其是信息科学刊物），都可以看到MATLAB的应用。在设计研究单位和工业部门，MATLAB被认作进行高效研究、开发的首选软件工具。如美国National Instruments公司信号测量、分析软件LabVIEW，Cadence公司信号和通信分析设计软件SPW等，
12、或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB为主要支撑。又如HP公司的VXI硬件，TM公司的DSP ，Gage公司的各种硬卡、仪器等都接受MATLAB的支持。41.5 本文的工作及安排本文主要工作安排如下：（1） 对巴特沃斯低通滤波器的一些基础理论进行详细阐述；（2） 对巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫型和型滤波器、椭圆滤波器四种典型滤波器加以简单的阐述，然后把四种滤波器加以比较，最后得出巴特沃斯低通滤波器在实际应用中的种种优点；（3） 通过双线性变换法设计巴特沃思低通滤波器，然后用MATLAB软件对其进行仿真。2 滤波器分类及比较2.1 滤波器的设计原理滤波器是使信号中特定的频率成分通过的
13、选频装置，从而达到大幅度衰减其它频率成分的目的。通过其选频作用，测试装置时就可以分析频谱或滤除干扰噪声。广义地讲，任何一种信息传输的通道（媒质）都可视为是一种滤波器。因为，任何装置的响应特性都是激励频率的函数，都可用频域函数描述其传输特性。因此，构成测试系统的任何一个环节，诸如机械系统、电气网络、仪器仪表甚至连接导线等等，都将在一定频率范围内，按其频域特性，对所通过的信号进行变换与处理。0f2f图2.1 低通滤波器2.2 滤波器分类从选频作用对滤波器分类低通滤波器在0f2范围内，幅频特性几乎呈水平发展，低于f2的频率几乎不衰减通过，高于f2的频率几乎不能通过。0f1f图2.2高通滤波器高通滤波
14、器从f1，幅频特性几乎呈水平发展。高于f1的频率几乎不衰减通过，低于f1的频率几乎不能通过。带通滤波器在f1f2之间是带通通滤波器的通频带。高于f1低于f2的频率成分几乎不衰减通过，其它成分几乎不能通过。带阻滤波器频率f1f2之间是傣族滤波器的阻带。高于f1低于f2的频率几乎不能通过，其余频率几乎不衰减通过。0f1f2图2.4 带阻滤波器f0f1f2图2.3带通滤波器f低通滤波器和高通滤波器是组成滤波器最基本的两种形式，剩下的滤波器都能分解演变成这两种滤波器，如：低通滤波器同高通滤波器进行串联可以成为带通滤波器，低通滤波器同高通滤波器进行并联可以成为带阻滤波器。从“最佳逼近特性”的方面来分类巴
15、特沃斯滤波器从幅频特性提出要求，而不考虑相频特性。因为巴特沃斯滤波器具有最大平坦幅度的特性，它的幅频响应如下： (2.1) 1N=2N=4N=801N=2N=4N=81 图2.5 巴特沃斯滤波器的频响特性（2）椭圆滤波器的设计在通带和阻带内椭圆滤波器同时具有等波纹幅频响应特性。因为极点位置与经典场论中的椭圆函数具有一定关联，所以叫做椭圆滤波器。同时十九世纪三十年代初科学家考尔对椭圆滤波器第一次进行了理论上的证明，它也叫做考尔滤波器。椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图2.7和2.8所示。由图2.7可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高，过渡带越窄；由图2.8可见，当椭圆滤波器阶数固
16、定时，通带和阻带波纹幅度越小，过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率、阻带边界频率、通带最大衰减和阻带最小衰减共同决定。5它的典型幅频响应特性如图2.7和2.8所示。图2.7 椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线 图2.8 椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线2.3 两种类型模拟滤波器的比较图2.9和图2.10是巴特沃思和椭圆滤波器的频响特性曲线。 调用MATLAB滤波器涉设计函数，很容易验证：当阶数相同时，对相同的通带最大衰减和阻带最小衰减，巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。比椭圆滤波器的过渡带宽。巴特沃斯滤波器的最大平坦幅度特性致使它在实际中应用最为广泛，所以本文主要对
17、巴特沃斯低通滤波器进行研究。3 巴特沃斯低通滤波器3.1 巴特沃斯低通滤波器简介巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种，特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。这种滤波器最先由英国工程师斯替芬巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年发表在英国无线电工程期刊的一篇论文中提出的，可以构成低通、高通、带通和带阻四种组态，7是目前最为流行的一类数字滤波器 ,经过离散化可以作为数字巴特沃思滤波器 ,较模拟滤波器具有精度高、稳定、灵活、不要求阻抗匹配等众多优点 ,因而在自动控制、语音、图像、通信、雷达等众多领域得到了广泛的应用，是一种具有最大平坦幅度响
18、应的低通滤波器。83.2 巴特沃斯低通滤波器的设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式表示： （3.1）N为滤波器的阶数。当=0时，=1；=时，=1/,是3dB截止频率。=时，逐渐增大，幅度下降非常迅速。、N同幅度特性关系如图3.1所示。N决定了幅度下降速度，N越大，通带就越平坦，过渡带也随之变窄，阻带幅度同过渡带下降的速度越迅速，总体频响特性同理想低通滤波器的实际误差越小。010.707N=2N=4N=8图3.1 、N同幅度特性关系用s代替，把幅度平方函数变成s的函数： （3.2） s=，此公式说明了幅度平方函数有2N个极点，极点可以用下面的公式来表达： （3.3） k=0,1,2，2
19、N-1。2N个极点等间隔分布在半径为的圆上，间隔是/N rad。如图3.2所示：01 图3.2 三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成，而右半平面的N个极点构成。的表示式为 （3.4）例如N=3,通过下式可以计算出6个极点，当N=3时，6个极点中位于左半平面的三个分别为:，取s平面左半平面的极点组成： （3.5）将对3dB截止频率c归一化： 归一化后的表示为： （3.6）令，p称为归一化拉氏复变量。 ，称为归一化频率。经过归一化后巴特沃斯滤波器的传输函数为： （3.7）式中，为归一化极点，为位于左半平面的极点用下式表示： （3.8）将极点表示
20、式(3.8)代入(3.7)式，得到的的分母是p的N阶多项式，用下式表示： （3.9）下面来确定N由技术指标， 和确定。在定义 （3.10） （3.11） （3.12）中，将=和=分别代入(6.2.6)式中，得到和，再将和代入(3.13)和(3.14)式中，得到： （3.13） （3.14）整理得： （3.15） （3.16）由(3.15)和(3.16)式得到： （3.17）令 （3.18）则N由下式表示： （3.19）取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率，如果技术指标中没有给出，可以按照(3.18)式或(3.19)式求出， （3.20） （3.21）由(3.20)式得到： （3.22）由
21、(3.21)式得到： (3.23)经过总结，巴特沃斯低通滤波器的设计步骤大致为：通过,和的值，用公式算出滤波器的阶数。根据公式，求出归一化极点，将代入 中，得出归一化传输函数。将去归一化。将p=s/c代入之中，从而得到实际的滤波器传输函数。 4 MATLAB仿真及分析4.1 MATLAB工具箱函数MATLAB的信号处理工具箱提供了滤波器的函数 buttap、buttord、butter。由z,p,k = buttap(n)函数可设计出n阶巴特沃斯低通滤波器原型,其传递函数为 （4.1）所以事实上z为空阵。上述零极点形式可以化为： （4.2）其中，令，得到巴特沃斯滤波器归一化结果,如表1所示。表
22、1 阶的巴特沃斯滤波器系数n b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b01 1.00002 1.4142 1.00003 2.0000 2.0000 1.00004 2.6131 3.4142 2.6131 1.00005 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.00006 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1.00007 4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.4940 1.00008 5.1258 13.1371 21.8462 25.8462 21.8462 13.1371 5.1258
23、 1.0000 buttord函数可在给定滤波器性能的情况下 ,选巴特沃斯滤波器的阶数 n 和截止频率,从而可用butter函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。9 n , = buttord (,s) 可得到足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数 n及截止频率 ,其中为通带的拐角频率, 为阻带的拐角频率, 和的单位均为rad/s; 为通带区的最大波动系数,为阻带区的最小衰减系数, 和的单位都为dB。 b,a = butter (n,s) 可设计截止频率为的n 阶低通模拟巴特沃斯滤波器,其传递函数为: 10 (4.3) 4.2 巴特沃斯低通滤波器的MATLAB仿真由于冲击响应不变法和阶跃响应不变法的
24、不足 ,下面以双线性变换法设计一个巴特沃思低通滤波器。通过仔细研究MATLAB软件自带的信号处理工具箱下%:MATLABD IR% toolbox signal signal buttord.m和%MATLABD IR% toolbox signalsignalbutter.m ,可以清楚看到:MATLAB默认采用双线性变换法设计,其实完全可以采用更简洁的方法。8滤波器的性能指标如下:通带截止频率fp=2400Hz，通带最大衰减=3dB，阻带截止频率fs=5000Hz，阻带最小衰减=25dBMATLAB程序如下:%巴特沃斯低通滤波器f_N=16000; %采样率f_p=2400; f_s=50
25、00; R_p=3; R_s=25; %设计要求指标Ws=f_s/(f_N/2); Wp=f_p/(f_N/2); %计算归一化角频率n, Wn=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s); %计算阶数和截止频率b,a=butter(n, Wn); %计算H(z)freqz(b,a, 1000, 8000) %作出H(z)的幅频相频图, freqz(b,a, 计算点数, 采样率)subplot(2,1,1); axis(0 4000 -30 3)图4.1假定的输入信号的频谱和滤波器的输出信号的频谱另附程序调试运行截图：5.1 总结首先本文介绍的用 MATLAB对数字巴特沃思滤波器设计的方法
26、,在众多方面有很好的应用 ,本文介绍的简易方法还可以用于其他常用滤波器, 8例如椭圆(Cauer)滤波器等。其次利用本文的MATLAB工具箱函数就可以轻而易举地设计出满足性能指标要求的巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,使得巴特沃斯滤波器的设计变得更加简单、快捷、直观。95.2 展望本文虽然对巴特沃斯低通滤波器的许多方面均加以详细介绍，但是作为数字信号处理的一个博大精深的分支，这只是很小的一个方面。随着技术的不断发展和人们对知识的深切渴望，我们对于巴特沃斯低通滤波器的研究还有很长的路要走。虽然我们对于巴特沃斯低通滤波器的研究已取得很好的成绩，收获了许多可喜的成果，但是我们还有很多问题有待解决。例如巴特沃斯滤波器的缺陷也很明显,首先其相位不是线性的,另外对低通巴特沃斯滤波器来说,在通带内的附近非常逼近理想滤波器,但是在附近效果并不好 ,也就是说它不是等纹波的逼近理想滤波器。8所以我们对于此方面的研究还需进一步的探索；许许多多的问题需要利用我们聪明的大脑以及大量的实践去解决，相信在不久的将来，我们在巴特沃斯低通滤波器的问题上会取得飞快的进展。 参考文献 1 徐明远 邵玉斌.MATLAB仿真在通信与电子工程中得应用（第二版）.西安电子科技大学出版社,20102 互联网，matlab论坛
