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1、第一章 三角函数,1.1 任意角和弧度制,1.1.1 任意角,思考下面的角度如何表示？,()假如你的手表慢了分钟，想将它校准，分针应该怎么旋转，旋转多少度？,（2）假如你的手表快了5分钟，想将它校准，分针应该怎么旋转，旋转多少度？,（3）假如你的手表快了90分钟，想将它校准，分针应该怎么旋转，旋转多少度？,角的概念推广的必要性:,0到360范围内的角在生产、生活和科学实验的实践中已不适用。,如体操、花样滑冰、跳台跳水中“转体三周半”,又如车轮、钟表、罗盘的运动规律的研究等.,任意角的概念:,平面内一条射线OA绕着端点O(顶点)从一个位置OA(始边)旋转到另一个位置OB(终边)所成的图形AOB.
2、,1、角的概念,2、角的分类,(1)按角的旋转方向分：,正角：按逆时针方向旋转所形成的角；,负角：按顺时针方向旋转所形成的角；,零角：未作任何旋转的角,(2)按角的终边位置分：,角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合.,象限角：角的终边在第几象限就是第几象限角.它分为第一象限角,第二象限角,第三象限角和第四象限角;,轴线角：角的终边在坐标轴上，不属于任何一个象限.,2、角的分类,A,2、角的分类,D,A,练习1、下列说法中正确的是（）A.第一象限角是锐角 B.小于90的角是第一象限角 C.小于90的角是锐角 D.锐角一定是第一象限角,练习2、下列各命题:相等的角终边一定相同；终边相同
3、的角一定相等；始边和终边重合的角是零角；第二象限的角一定大于第一象限的角；小于180的正角必是第一或第二象限角.其中正确命题有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,3、终边相同的角之间的关系,请在坐标系中画出30,390,-330,并找出它们的共同点?,A,30=0360+30,390=1360+30,-330=-1360+30,与30终边相同的角的一般形式为:30k360，kZ.,3、终边相同的角之间的关系,所有与终边相同的角,连同在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示为角与整数个周角的和.,说明：为任意角；,相等的角终边一定相同,但终边相同的
4、角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360的整数倍；,kZ这一条件必不可少.,例2写出终边在直线 y=x 上的角的集合S，并把S中适合不等式360 720的元素写出来,45,225,解：,如图，在直角坐标系中作出直线 y=x，,可以发现它与x轴的夹角为，,45,终边在直线上的角有两个：,在0 360范围内，,45，,225.,所以终边在直线 y=x 上的角的集合,故S中适合不等式360 720的元素是：,由题意360 720，,即,得,（1）终边在x轴上的角的集合：,（2）终边在y轴上的角的集合:,（3）终边在坐标轴上的角的集合:,练习3：,例3.,例3.,几何法（等分象限法）,如图,
5、如图,作业,习题1.1A组15题（书上）,1.1 任意角和弧度制,1.1.1 任意角,例3.,1.1.2 弧度制,弧度制定义,我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，,若弧 AB 的长等于半径 r,则AOB=1 rad.,若弧 AB 的长等于 2r,则AOB=2 rad.,即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.,问题1：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？,答：,若弧是一个半圆，则弧长,所以圆心角的弧度数是,若弧是一个整圆，则弧长,所以圆心角的弧度数是,一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.,这种以弧度为单位来度
6、量角的单位制叫做弧度制.,那么角的弧度数的绝对值是,如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，,这里的正负由终边旋转方向决定.,弧长公式：,角的概念推广后,无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(如这个角的弧度数)与之对应，反之每一个实数也都有唯一的一个角(如弧度数等于这个实数的角)与之对应.,例如，若圆心角AOB表示一个负角，且它所对的弧长为4r，则,注意:用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.,角度制与弧度制的换算,若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度
7、数是2，而在角度制里它是360，,因此,（1）把 6730化成弧度.,例1,解：,（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数.但用“度”或“”为单位不能省.,（2）用弧度为单位表示角时，通常写成“多少”的形式.,注 意：,例2.写出下列特殊角的度数或弧度数：,扇形周长、面积公式,说明：扇形面积公式还可以表示为,例4.（1）已知扇形OAB的圆心角为120，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积.（2）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？,解：,O,A,B,H,AB边上的高,例4.（1）已知扇形OA
8、B的圆心角为120，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积.（2）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？,作业,1.习题1.1 6 10及B组13,练习1.如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）,分析：首先找出阴影图形的边界表示的角，然后再选择适当的角的形式表示阴影部分若两部分阴影区域能合并尽量合并,练习2.已知是第二象限角.,（1）指出 所在的象限，并用图形表示其变化范围.,（2）若同时满足条件|+2|4,求的取值区间.,解：,由题意得，,（1）,是第一象限或第三象限的角.,（2）|+2|4,62,又是第二象限角，,故的取值区
9、间,任意角的三角函数的定义,设是任意一个角,的终边与单位圆交于点P(x,y),那么,y；,x；,一般地，设角终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原点(顶点)的距离为r(r0)，则sin=;cos=;tan=.,三角函数的坐标定义：,例5.已知角终边上经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.,点P0(-3,-4),到原点的距离为,故由三角函数的坐标定义知：,.,练习：若角的终边落在直线 y=2x上，求的三角函数值.,解：,若角的终边在第一象限，,可在其终边上取一点 P(1,2)，,P,则,由三角函数坐标定义得：,练习：若角的终边落在直线 y=2x上，求的三角函数值.,解：,若
10、角的终边在第三象限，,可在其终边上取一点 P(-1,-2)，,P,则,由三角函数坐标定义得：,三角函数值符号法则,均为正,sin,tan,cos,口诀：“一正二正弦、三切四余弦。”,练习：确定下列三角函数值的符号：(1)cos250；(2)sin(-/4)；(3)tan(-672)；(4)tan3。,思考：若 成立时，角为第几象限角？,解：,由,知,的终边在第三或第四象限或与x轴的非正半轴重合,的终边在第一或第三象限,故角为第三象限角.,1.2.1 任意角的三角函数（2）,终边相同的角的同一三角函数值相等，,sin(+k360)=sin cos(+k360)=cos tan(+k360)=ta
11、n 其中 kZ,（诱导公式一）,由三角函数的定义可知：,利用公式一，可把求任意角的三角函数值，转化为求 0 360角的三角函数值,sin(+k2)=sin cos(+k 2)=cos tan(+k 2)=tan 其中 kZ,（诱导公式一）,利用公式一，可把求任意角的三角函数值，转化为求 0 2角的三角函数值,例1、求值:sin(-1740)cos1470+cos(-660)sin750+2tan(-2115).,练习、求值:,练习、求值:,思考1：如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，则sin=y,cos=x都是正数，你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？,P(x,
12、y),M,三角函数线,|MP|=y=sin,|OM|=x=cos,思考2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)），则sin=y,cos=x都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,P(x,y),O,x,y,M,-|MP|=y=sin,-|OM|=x=cos,为了简化表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.我们把规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.,AB=4,BA=-4,CB=-2,有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线或与有向直线平行，根据有向线段AB与有向直线方向相同和相反，分别把它的长度添
13、上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量。,我们把规定了方向(即规定了起点和终点)的直线称为有向直线.,思考3：由上分析可知，当角为第一、三象限角时，sin、cos可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sin，OM=cos，那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,M,M,思考4：当角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？,P,P,定义：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP,OM分别为角的正弦线和余弦线.,思考5：设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin+cos1吗？,M,MP+OMOP=1,思考6：如图，设角为第一象限角
14、，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，则 是正数，用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考7：若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考8：若角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，则 是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,思考8：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，则 是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？,正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tan.,思考9：当角的终边在坐标轴上时，角的正切线的几何含义如何？,当角的终边
15、在x轴上时，角的正切线是一个点；当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在.,练习、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）；（2）。,A,P,M,A,P,M,M1,例2、在02内，求使sin=成立的的取值集合.,M2,变:在02内，求使sin 成立的的取值集合.,练习：利用三角函数线,求满足下列条件的角的集合:(1)cos=;(2)cos-.,x,M,练习：求满足下列条件的角的集合：(1)tan=1;(2)tan.,练习、求满足下列条件的角的集合：(1)sin;(2)cos(-)-.,例3、求函数的定义域:,说明:注意掌握求交集的两种方法:数轴法和单位圆法.,作业,1.教材习题1.2A组3、
16、4、5题；,1.2.2 同角三角函数的基本关系式,问题2、如图，角三角函数线是：正弦线：_；余弦线：_；正切线：_。,问题1、如图，设是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点P(x,y)，那么sin=_；cos=_;tan=_。,y,x,sin2+cos2=1,同一角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切。,则由,得,则,联立得：,内,例5、,注 意：,若已知,三者之一，则可求其余两个表达式.,练习：,思考题：已知,证法一：,左边,右边,左边=右边所以原等式成立,所以原等式成立,证法二：,1.2.2 同角三角函数的基本关系式,问题2、如图，角三角函数线是：正弦线：_；余弦线：_；正切线：_。
17、,问题1、如图，设是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点P(x,y)，那么sin=_；cos=_;tan=_。,y,x,sin2+cos2=1,同一角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切。,联立得：,内,例5、,注 意：,若已知,三者之一，则可求其余两个表达式.,练习：,思考题：已知,证法一：,左边,右边,左边=右边所以原等式成立,所以原等式成立,证法二：,作业,启迪有方1.2.3（1）练习册、1.2.3（2）练习册+活页。,1.3.1 函数的单调性（2）,定义:,回顾,证明函数单调性的方法步骤：,1.任取x1，x2D，且x1x2；2.作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和
18、配方）；4.定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,例1、画出函数 图象，,解：,并根据图象说出f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，f(x)是增函数还是减函数.,由f(x)的图象知该函数单调区间有：,-2,1,1,2.,其中f(x)在区间-2,1上是增函数，,问：f(x)在-2,2上有最大（小）值吗？,当x=1时，,答：,f(x)有最大值,4；,当x=-2时，,f(x)有最小值,-5.,在区间1,2上是减函数.,例2、若f(x)=-x2+2ax+1与g(x)=在1,
19、2上都是减函数，则实数a的取值范围是()、(-1,0)(0,1)、(0,1)、(-1,0)(0,1、(0,1,D,练习2、若函数f(x)=|ax2-2x+1|有四个单调区间，则实数a的取值范围是()、(-,0)(0,1)(,)、(-,-1)(,）,A,例3、已知函数。（1）判断f(x)在其定义域内的单调性，并证明；（2）求不等式f(x2+x)1的解集。,练习3、已知f(x)是定义在-1,1上的增函数，且满足：f(x-1)f(x2-1)，求实数x的取值范围。,练习4、已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2，对任意x1,x2R，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且当x0时，f(x)
20、1。（1）求f(0)，f(2)的值；（2）解不等式f(3x)4f(x2)。,作业,1.教材P39习题1.3 A组第5、B组第1,2,3题,1.3 三角函数的诱导公式（1）,问题1、任意角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？,问题2、2k+(kZ)与的三角函数之间的关系是什么？,问题3、你能求sin750和sin930的值吗？,公式（一）sin(2k+)=sin(kZ);sin(2k+)=sin(kZ);sin(2k+)=sin(kZ).,诱导公式(一)把求任意角的三角函数值转化为求02角的三角函数值,那么对于02范围内非锐角的三角函数能否转化成锐角三角函数呢？,sin(+)=-sin,cos(+)
21、=-cos,tan(+)=tan,公式(二),练习1、求值:(1)cos210;(2)sin;(3)tan.,sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,公式(三),练习2、求值:(1)cos(-1200);(2)sin(-);(3)tan(-).,问：,sin(-),cos(-),=-sin(-),=sin.,=-cos(-),=-cos.,=sin+(-),=cos+(-),tan(-),=tan+(-),=tan(-),=-tan.,公式四：,sin(-)=sin cos(-)=-cos tan(-)=-tan,公式(四),sin(-)=sin,cos(-)=-
22、cos,tan(-)=-tan,练习、求值:(1)cos(-150);(2)sin;(3)tan(-).,解：,思考：你对诱导公式一四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？,用公式三或一,0 到 2角的三角函数,锐角的三角函数,用公式一,用公式二或四,利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤：,作业,启迪有方 1.3.1（1）练习册加活页,函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律.,观察下列两个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？,函数 f(x)
23、=x 的图象由左至右是上升的；,函数 f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的.,函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质,单调性,1.3.1 函数的单调性（1）,如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？,增函数的定义：,减函数的定义：,定 义：,如果y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.,函数单调性的定义：,能写成并集么？,例1.定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数.,解：函
24、数的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5;其中y=f(x)在区间-5,-2)，1,3)上是减函数，在区间-2,1)，3,5上是增函数.,练习1,练习1,练习1（3）、求函数y=|x2-2x-3|的单调区间。,例2、利用定义证明：函数f(x)=x+在(0,1)上为减函数。,证明函数单调性的方法步骤,1.任取x1，x2D，且x1x2；2.作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,练习2、利用定义证明
25、：函数f(x)=x+在(1,)上为增函数。,若 呢？,思考1：对于函数f(x)定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若，则函数f(x)在区间D上的单调性如何？,思考2：若f(x)在区间D上为增函数，且a为非零常数，则函数a+f(x)、af(x)的单调性如何？,思考3：若函数f(x)、g(x)在区间D上都是增函数，则函数f(x)+g(x)、f(x)-g(x)在区间D上的单调性能否确定？,思考4：若函数f(x)在区间D上是增函数，则函数 在区间D上是增函数吗？函数 在区间D上是减函数吗？,一般地，若函数f(x)在区间A、B上是单调函数，那么f(x)在区间AB上一定是单调函数吗？,课后作业,1.教材39页习题1.3 A组第13题,
