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1、地 学 建 模,地理科学学院2007年,引 言,时间序列分析研究客观现象随时间发展变化的特征与规律，以达到对现状的认识和未来发展变化趋势的把握。根据数据的特征，可采用适当的数学模型进行近似描述。地学研究中任何时间序列均可能包含参与其中所有变量共同影响的信息，因此尽管目前有关动力学建模的尝试很多，但时间序列分析仍是目前研究工作中卓有成效的、重要的组成部分。,第三章时间序列建模技术,1 时间序列及其数学描述 2 时间序列的构成和分解3 确定性时间序列分析模型4 随机时间序列分析模型5 马尔科夫预测技术,1 时间序列及其数学描述,1.时间序列的概念和作用2.平稳随机过程3.时间序列,1.时间序列的概
2、念和作用,客观现象总是表现出随时间推移而变化的动态特性。(1)从静态上揭示其数量特征和数量关系；(2)从动态上揭示其发展变化过程及演变规律。时间序列（动态数列）：将某一或某些指标按时间次序顺序排列所构成的序列。,时间序列构成因素,构成因素：一是研究现象所属的时间；二是现象不同时间点数量特征的指标值。要求：各指标值时间单位相等，无需考虑时间单位不同所引起的差异。实际上可将其概念泛化，只要是按一定次序排列的数据序列即可采用时间序列的研究方法进行研究，如基于深度的序列，基于空间排列方向的序列等等。,时间序列分析具体作用,是进行动态分析的依据，主要作用有：系统描述：根据统计分析，考察现象发展变化的方向
3、、速度与结果，并进行动态比较。系统分析：对不同序列进行综合研究，揭示现象之间相互联系的程度及其动态演变关系，从而深入了解给定时间序列产生的机理。预测和控制：建立数学模型，描述现象发展变化的特征与趋势，揭示其变动规律，对未来发展状况进行预测。,2.平稳随机过程,2.1 随机过程2.2 随机过程的数字特征2.2.1 均值函数2.2.2 方差函数与标准差函数2.2.3 自协方差函数与自相关函数,2.1 随机过程,随机过程定义为一簇随机变量，即，其中：T称为参数集，是时间t的变化范围。T的取值范围可以为:连续区间（如）离散集合（如），前者称为连续参数过程;后者则称离散参数过程或随机序列。,随机过程的理
4、解,同时兼有随机性和非随机性的双重性质：(1)对某一固定时刻t0，随机过程Xt表现为随机变量Xt0.(2)是对某一次观测而言，随机过程Xt又表现为t的非随机函数，即由各个时刻一种可能取值所构成的样本函数，若记为，则全部样本函数集合构成随机过程Xt的全体。,随机过程Xt所有可能取值的集合称为全体或总体，而过程中每次观测记录（样本函数）通常称为过程的现实。可见随机过程的总体就是各个现实的集合。因此无论从随机变量集合或现实集合来理解随机过程都是等价的。,图3.1某湖泊19851990年间可溶活性磷含量月均值变化,2.2随机过程的数字特征,2.2.1 均值函数 随机过程，固定t，Xt是一个随机变量，设
5、其均值为t。当t变动时，均值是t的函数，记为，此即为随机过程的均值函数，它反映了随机过程变化的平均趋势。,2.2.2 方差函数与标准差函数,随机过程，固定t，Xt的方差为，当t变动时，此方差是t的函数，记为:此为随机过程的方差函数。方差函数的平方根称为随机过程的标准差函数，反映了随机过程Xt相对于均值的偏离程度。,2.2.3 自协方差函数与自相关函数,在随机过程中，除了要刻画各个时刻的统计特性外，还需要了解不同时刻间的统计联系的数字特征。对于两个随机变量，可用其协方差或相关系数描述其相关程度。在随机过程中主要用自协方差函数和自相关函数来描述。,对随机过程,，取,定义其自协方差函数为：,(3.1
6、),3.1 时间序列,通常所说的时间序列是一类特殊的随机过程离散随机过程。时间序列的概率结构是被其有限维分布簇所确定的。也就是说，当对每个自然数m和每组整数,的m维联合分布,（3.3）都被给定时，时间序列X(t)的概率结构被完全确定。,3.2 平稳时间序列,平稳时间序列又称为平稳序列，是最重要的一类时间序列，其研究程度最为深入，应用也最为广泛。平稳时间序列的统计特性不随时间推移而变化。平稳序列又可分为：3.2.1 严平稳时间序列3.2.2 宽平稳时间序列,3.2.1 严平稳时间序列,如对任意正整数m和整数,序列中的随机变量,的联合分布与整数s无关，即：,（3.4）这表明严平稳序列的任何有限维联
7、合分布具有时间平移不变性，即仅与坐标的个数及之间的相对位置有关。,3.2.2 宽平稳时间序列,表明宽平稳序列的均值和自协方差函数随时间平移具有不变性。条件（2）表明宽平稳序列的自协方差函数只与t-s有关。,而且满足以下条件：,小 结,一个严平稳序列未必有二阶矩，即未必是宽平稳序列；而宽平稳序列的分布未必随时间平移具有不变性，即未必是严平稳序列。,必是宽平稳序列。,3.3 自协方差与自相关函数估计,平稳时间序列的遍历性是指可用一个较长期的现实来估计平稳序列的统计特征，即只要观测时间充分长，则它的每一个现实都能遍历所有的可能状态，因而可用某一个现实的时间平均近似代替它在固定时刻的统计平均。,若平稳序列,有n个样本,样本均值为：,样本的自协方差函数为：,样本的自相关函数为：,当n充分大时，有：,（3.6）,（3.7）,（3.8）,
