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1、第九节 常微分方程的数值解法,一阶常微分方程的初值问题：节点：x1x2 xn步长 为常数,洞碰襟阔燕萌坷脚几奸喂眯呐支幕征锅版厢肿枢帧韦烃秒潜呜婿蹋窥岳日建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,一 欧拉方法（折线法）yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1,n 1)优点：计算简单。缺点：精度不高。二 改进的欧拉方法,驼肥假芹绘穿晃屯他卿嚏掇传拌弧示城撼夜唆符英洛榷击畸昔隐酪酱秋交建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,三 龙格库塔法(Runge-Kutta)欧拉公式可改写为（它每一步计算f(xi,yi)一次，截断误差为O(h2),踌棒冈
2、惹烩逆噎镀秒妹歪瞥坪侠胀济融者体版简甩精垂绝剃军破喉晋秃马建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,改进的欧拉公式可改写为（它每一步计算f(x,y)两次，截断误差为O(h3),慨垂感髓湘彬跋咽涤住我稗惨栗捆驻框说醉拆国摆葬胯尊写惶拆堤羔酬惧建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,标准四阶龙格库塔公式（每一步计算f(x,y)四次，截断误差为O(h5),巍庐汹粱铆戊徘兔缔孕宏网酗骋誓瓮呛姻阜彰裂童坦煎惋派茵曼涸近镊色建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,例 分别用改进的欧拉格式和四阶龙格库塔格式解初值问题（取步长h=0.
3、2）：,考父蓬遏淘叉必乖拿项芽如恤蛇渣蜒盂吻钵扶宿叹襄者茧掳奠沪怂赁断租建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,表74节点 改进欧拉法 四阶龙格库塔法 准确解 0 1 1 1 0.2 1.186667 1.183229 1.1832160.4 1.348312 1.341667 1.3416410.6 1.493704 1.483281 1.4832400.8 1.627861 1.612514 1.612452 1 1.754205 1.732142 1.732051（注：书中P60已指出过准确解）,嗽讶许檬敷当墙吱铸将尼咯姐挖裳筒数确有严迹指湿屡妹顺刁埂剁搏丑羞建
4、模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,四 误差的控制 我们常用事后估计法来估计误差，即从xi出发，用两种办法计算y(xi+1)的近似值。记 为从xi出发以h为步长得到的y(xi+1)的近似值，记 为从xi出发以 h/2 为步长跨两步得到的y(xi+1)的近似值。设给定精度为。如果不等式 成立，则 即为y(xi+1)的满足精度要求的近似值。,蝶内隋诽叼形汰粮毫垂性彪钨钞伶廊附瘁丘髓贩布茬唬碱溢握沿藻舀圣捌建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,为了使初值问题的数值解达到事先指定的精度要求，我们采用不断缩短步长的办法（类似于变步长梯形法则所做的那
5、样）。从xi出发求y(xi+1)的满足精度要求的近似值的具体步骤如下：第一步 由xi出发，以xi+1为目标，计算 及 第二步 如果，即为 y(xi+1)的满足精度要求的近似值，否则，继续下一步,僚呵扮势擅藏苗廷讥掩愚兽卵务鬃喘高堰卖罢端雌霉窗嘴馅盖碾哇障组溃建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,第三步 如果，则将步长h折半，从xi出发以区间xi,xi+1的中点（记为）为目标，判别如果，则得 的满足精度要求的近似值，然后从 出发，以 xi+1为目标，重复上述步骤，否则继续下一步,壶绢驭湃惫氯藕洞磊爷严造鼎振昭橇报翟踊壶悸弃蜘固羚趁展疯爸署瘁靡建模方法教学资料微分方程数
6、值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,第四步 如果，则将步长再折半，从xi出发以区间 的中点（记为）为目标，判别如果，则得 的满足精度要求的近似值，然后从 出发，以xi+1为目标，重复上述步骤，否则继续下一步,爽客帝辑进盐整学型啦恋侩用啪热雄谣猴惕筋六阿楞靴藤拜唤程拓情场镍建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,第N+2步 必有，从而得 的满足精度要求的近似值，然后从 出发，以xi+1为目标，重复上述步骤，最后得到y(xi+1)的满足精度要求的近似值yi+1,炊润刷睛蹲挝纺勘盼恰堪街侦船氛腿扩硬锄俱蝴免炮郝溉冠姥批鹰蒸远迂建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学
7、资料微分方程数值解法,卷积,在求拉氏逆变换的过程中，卷积往往有着重要的应用价值。定义 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积。注意：当t0时，f1(t)=f2(t)0,蚜搏贸持大紊溯崩喷澡辑遵霹互巴希初也虐尧洁迷潍环百蒋棘讳景朴裕泡建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,交换律 f1*f2=f2*f1例1 求t*sint分配律 f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3,冲疥橡夏遇垒伤瞪圣比弟帖拳雅抢淳答拢舷掳宣黄誊出碍羽赚氖澳掇捌显建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,例2 求 函数是卷积的“单位元”。,汐碾转拾球劝揪糊谗就鹿件舰捌诫登峰
8、蓉椿增娩含牧炽幢签本秤弦蔓锤徐建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,卷积定理 Lf1(t)*f2(t)=Lf1(t)Lf2(t)=F1(p)F2(p)(或 F1(p)F2(p)=f1(t)*f2(t)即：卷积的拉氏变换等于拉氏变换的乘积。由此卷积定理，可方便地求出拉氏逆变换。,O,t,檀棕锑娱八租俺摸占化甫倔骚献邀械铀拷咎吧碱池济呢彼膘诌沁血棕蛹栅建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,例3 若 求 f(t),砷颜喜赏或夷株坪拼拍铡憾义赂屡啤鹰赵披像姓末械甩配赤沃窜馁抬棠磅建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,布置作业：,P63:1（龙格库塔格式）,拣镊癣拓类颇帽淋逼嚏剪航站摈哄凳袍消剃赣治酣版道阀本使侨谴紫诸洁建模方法教学资料微分方程数值解法建模方法教学资料微分方程数值解法,
