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1、1,北京中国地质大学China University of Geosciences，Beijing,微分方程数值解法,教材：微分方程数值方法(第二版)，胡健伟,汤怀民著,科学出版社,2007,2,参考书:微分方程数值解法 李荣华等编,高教出版社,2,参考书:微分方程数值解法 李荣华等编,高教出版社 课堂授课+计算实验 考核方式:平时作业+课堂+期末考试 任课教师,3,第一章、常微分方程的数值解法第二章、椭圆型方程的差分方法第七章、椭圆型方程的有限元方法第四章、抛物型方程的差分方法第五章、双曲型方程的差分格式,教学内容,第一章 基本概念,4,第一章 常微分方程初值问题的数值解法,教学目标 教学重
2、点 教学过程,5,教学目标,了解ODE数值解法的基本内容,掌握Euler法和线性多步方法,会判断常用方法的优劣之处.,第一章 基本概念,6,教学重点,基本概念和Euler法线性多步方法稳定性,第一章 基本概念,7,教学过程,常微分方程基本概念 常微分方程初值问题 Euler法及其基本问题 线性多步方法 数值稳定性 Runge-Kutta方法,8,1:常微分方程的基本概念,微分方程:常微分方程和偏微分方程阶解，通解和特解定解问题:初值问题和边值问题,9,常微分方程,偏微分方程,联系着自变量,未知函数及其导数(微分)的方程,称为微分方程.,:未知函数是一元函数,分类,微分方程:常微分方程和偏微分方
3、程,:未知函数是多元函数,10,方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,一阶微分方程,三阶微分方程,一阶微分方程,例如：,微分方程的阶,11,是使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,微分方程的解,不含任意常数的解.,（微分方程的绝大部分解）,解,通解,特解,12,确定通解中任意常数的条件.,1)n 阶方程的初始条件(或初值条件):,定解条件,定解条件:初值问题和边值问题,2)n 阶方程的边界条件(或边值条件):,13,2 初值问题：标量形式,考虑一阶常微分方程初值问题：,存在性：f(t,u)在定义域上连续,唯一性：f(t,u)关于u满足
4、Lipschitz条件,14,常微分方程来源举例1,问题1.1 上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比例的原子自然衰变而形成新元素的原子.记t时刻放射性物质的原子数为x(t),据观测单位时间内衰变原子的个数x与当时放射性原子数x(t)之比为常数a.考虑到放射过程中 x0,因此a0为负实数.这时有方程,15,问题1.2 世界上生物种类多种多样,对特定生物种群的数量进行预测,是制定对该生物实施保护还是控制的依据.设t时刻某种群的数量为x(t),单位时间内种群数量的增加量 x和当时数量的比值为a-bx(t),其中a,b0为常数.这样得到方程
5、,常微分方程来源举例2,Logistic方程,16,问题1.3 并不是所有的方程可以用初等积分法求出其解,例如形式上很简单的里卡蒂(Riccati)方程,常微分方程举例3,不能用初等函数表示通解.,寻求方程非解析函数的其它形式解,显得非常必要。而数值求解就是其重要的一个方法,17,2 Euler方法,18,计算在离散点（节点）的值，有,这就是Euler法的计算公式,19,举例1,利用Euler方法计算初值问题,的解在t=0.3处的数值解.步长h=0.1,解:Euler公式为:,20,举例2,P55 习题1 利用Euler方法求数值解,步长h=0.1,解区间0,1,绘制折线，与真解比较,21,M
6、atlab实现u=null(1);h=0.1;u0=1;u(1)=u0+h*0.5*u0;for n=1:9 u(n+1)=u(n)+h*0.5*u(n);endt=0:0.1:1;un=u0,u；plot(t,un,ro,Linewidth,2)ut=exp(0.5*t);hold onplot(t,ut,Linewidth,2),22,0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91,精确解ut,数值解un,节点 ti,1.0000 1.0500 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763 1.3401 1.4071 1.4775 1.5513 1.6289,1.
7、0000 1.0513 1.1052 1.1618 1.2214 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487,23,Euler方法的三种解释,数值微分：用差商来代替导数数值积分：把微分方程变成积分方程幂级数展开：将u(t+h)在t 做Taylor展开,24,截断误差(局部、整体)相容性收敛性稳定性,数值方法的基本问题,25,局部截断误差,设u(t)是初值问题(1)的解,在t,t+h上定义算子,那么,R(t,u;h)称为局部截断误差,如果t=tn,局部截断误差也记为,此时,26,整体截断误差,设u(t)是初值问题(1)的解,un是(2)的解,定义算子,那么
8、,n称为整体截断误差,与局部截断误差不同,此时,未必成立,且一般,27,截断误差,局部截断误差Rn：假设第n步精确计算的前提下，计算解un+1和精确解u(tn+1)的误差整体截断误差n：在考虑误差累积的效应下，计算解un和精确解u(tn)的误差,28,相容性和相容的阶,相容性针对的是建立差分格式时由差商代替微商所引起的局部截断误差.q阶相容:若一个离散变量方法的局部截断误差对任意n满足：,29,收敛性与收敛的阶,收敛性研究的是误差累积产生的整体截断误差.收敛：对任意的t(t0,T，成立若此时，整体截断误差满足则称方法的收敛为p阶的,30,稳定性,在利用公式(2)计算数值解的过程中,难免有舍入误
9、差.稳定性就是讨论舍入误差是否会随着计算无限扩大地传递下去.数值方法稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性k步方法为例，即为存在常数C和h00,使得当h(0,h0 时 这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定性指 h0 情况下的稳定性。,31,Eular方法的性质,相容性(1阶)收敛性(1阶)稳定性 绝对稳定区域,32,总结：基本步骤,解差分方程，求出格点函数,对区间作分割：,求 y(x)在xi 上的近似值yi。,由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足：,A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容,目的,关键,33,为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：,步长充分小时，所得到的数值解能否逼近 问题得真解；即收敛性问题,误差估计,产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会 无限制扩大；稳定性问题,34,数值求解微分方程过程示意,微分方程,区域剖分,离散系统的性态研究,递推计算或解线性代数方程组,微分方程离散,初始和边界条件处理,解的存在性、唯一性,解的收敛性和收敛速度,解的稳定性,得到数值解,35,作业,1 利用Euler方法求数值解,步长h=0.1,解区间0,0.5,绘制折线，与真解比较,2 证明梯形法的收敛性,并估计整体截断误差.,
