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1、,平面问题的直角坐标解答,x,O,y,应力法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,体力为常量,按应力求解平面问题,可归为求,使满足:,(1)相容方程,4,y4,+2,=？,x4,+,4,x2y2,=0,(2)应力边界条件,(lx+mxy)s=fx(s),(ly+mxy)s=fy(s),(3)多连体还要满足位移单值条件,4,通解不能直接给出,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,先给出满足相容方程的各种形式的,由求出各应力分量x、y、xy,由应力边界条件、弹性体形状,确定面力及能解决问题,例,设 fx=fy=0,=a+bx+cy,多项式,(1)可满足相容方程,(2)代入2-24式,得,
2、x=0,y=0,xy=0,(3)边界条件,fx=fy=0,*线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的状态,*把平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ax2+bxy+cy2,(1)可满足相容方程,(2)拆分成三项,分别代入2-24式,得,=ax2,x=,2,y2,=0,y=,2,x2,=2a,xy=yx=,2,xy,-,=0,可以解决矩形板在y方向受均布拉力(a0)或均布压力(a0)的问题,x,O,y,2a,2a,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ax2+bxy+cy2,(1)可满足相容方程,(2)拆分成三项
3、,分别代入2-24式,得,=bxy,x=,2,y2,=0,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=-b,可以解决矩形板受均布剪力的问题,x,O,y,b,b,b,b,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ax2+bxy+cy2,(1)可满足相容方程,(2)拆分成三项,分别代入2-24式,得,=cy2,x=,2,y2,=2c,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=0,x,O,2c,2c,可以解决矩形板在x方向受均布拉力(c0)或均布压力(c0)的问题,y,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=ay3,(1)可满足相容方程,(2)代入2-24
4、式,得,x=,2,y2,=6ay,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=0,x,y,O,此应力函数可以解决纯弯曲问题,(3)考察边界面力,主要边界:,fx=fy=0,上下边界,面力为0,次要边界:,fy=0,左右边界,水平面力合成力偶,fx=6ay,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,(1)可满足相容方程,(2)代入2-24式,得,x=,2,y2,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),12Fxy,h3,=-,3F,2h,=-,(1-4),y2,h2,逆解法,3-1 逆解法与
5、半逆解法 多项式解答,例,(y)y=h/2=0,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),3F,2h,-,(1-4),y2,h2,(3)考察面力,主要边界:,(yx)y=h/2=,y=h/2,=0,主要边界上无面力,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),(3)考察面力,次要边界:,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,例,设=,F,2h3,xy(3h2-4y2),可根据圣维南原理，转化成悬臂梁在自由端受集中力问题,逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,*为四次或四次以上多项式，则其中的
6、系数必须满足一定的条件，才能满足相容方程。,*逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。,半逆解法,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的表达形式,代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式,由应力函数求应力分量x、y、xy,考察这些应力分量能否满足全部应力边界条件(多连体，还要满足位移单值条件),如果满足,就是正确解答.如果不能满足，就要另作假设，重新求解,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯
7、曲问题,解：,(1)逆解法,可取=ay3,且满足相容方程,4=0,(2)用表示应力分量,x=,2,y2,=6ay,y=,2,x2,=0,xy=yx=,2,xy,-,=0,(a),3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯曲问题,(3)考察边界条件,基本原则:,(1)先校核主要边界(大边界),必须精确满足应力边界条件.,(2)后校核次要边界(小边界),若不能精确满足应力边界条件,则应用圣维南原理,用积分的应力边界条件代替.,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,
8、h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯曲问题,主要边界:,(y)y=h/2=0,(yx)y=h/2=0,由(a)可知,边界条件(b)均满足.,(3)考察边界条件,(b),y=h/2,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯曲问题,次要边界:,(xy)x=0,l=0,由(a)可知,边界条件(c)均满足;,(3)考察边界条件,(c),x=0,l,(x)x=0,l 不能精确满足.,3-2 矩形
9、梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯曲问题,次要边界:,(3)考察边界条件,x=0,l,根据圣维南原理,只要积分满足,(d),将(a)代入(d),得,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯曲问题,次要边界:,(3)考察边界条件,x=0,l,(e),第一式自然满足,第二式可得,(f),3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,例
10、,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯曲问题,(4)应力分量结果,将(f)代入(a),得,梁截面的惯性矩,x,3-2 矩形梁的纯弯曲,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,例,长梁(尺寸:l h 1),受M(单位:力矩/宽度)作用,体力为0,求应力分量？,纯弯曲问题,*与材料力学结果一致,弯曲应力按直线分布;,x,*当lh时,在边界(x=0,l)对面力不同的分布,其误差仅影响梁的两端部分上的应力.,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,在应力法中,已得应力,如何求位移？,x,y,O,l,h/2,h/2,l h,h,1,M,M,纯弯曲问题,3-3
11、 位移分量的求出,由应力求位移,x=,E,(xy),1,y=,E,(yx),1,xy=,E,xy,2(1+),(1)由物理方程求应变,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,x=,u,x,y=,v,y,xy=,v,x,+,u,y,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,方程左右两边为常数,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(2)由几何方程求位移,u0,v0为刚体位移常量,须由约束条件确定.,3-3 位移分量的求出,纯弯曲问题的讨论:,*弯应力x 与材料力学的解相同;,*铅直线的转角 故
12、在同一横截面上(x=c)的铅直线段的转角相同,说明平截面假设成立;,*纵向纤维的曲率 和材料力学的结果相同;,*故在纯弯曲情况下,弹性力学解与材料力学解相同.,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(3)由约束条件求刚体位移,x,y,O,l,h/2,h/2,M,M,简支梁:,(u)x=0=0,y=0,(v)x=0=0,y=0,(v)x=l=0 y=0,约束条件,梁轴的挠度方程:,与材料力学结果相同,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(3)由约束条件求刚体位移,x,y,O,l,h/2,h/2,M,M,简支梁:,竖向位移分布,云图可直观反映物理场的分布,并可作为检验计算结果正确与否的重要手段.
13、,弹性力学可得物体内所有点的位移,材料力学只能得出中线上点的位移.,竖向位移分布云图,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(3)由约束条件求刚体位移,x,y,O,l,h/2,h/2,M,M,悬臂梁:,约束条件,固定端:,(u)x=l=0,(v)x=l=0,(u)x=l=0,y=0,(v)x=l=0,y=0,()x=l=0 y=0,v,x,也不符合工程实际,多项式无法满足,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(3)由约束条件求刚体位移,x,y,O,l,h/2,h/2,M,M,悬臂梁:,约束条件,(u)x=l=0,y=0,(v)x=l=0,y=0,()x=l=0 y=0,v,x,3-3 位移分
14、量的求出,由应力求位移,(3)由约束条件求刚体位移,x,y,O,l,h/2,h/2,M,M,悬臂梁:,梁轴的挠度方程:,与材料力学结果相同,3-3 位移分量的求出,由应力求位移,(3)由约束条件求刚体位移,x,y,O,l,h/2,h/2,M,M,悬臂梁:,竖向位移分布,竖向位移分布云图,3-3 位移分量的求出,平面应变问题的处理,平面应力问题,平面应变问题,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(1)假设应力分量函数形式,由材料力学:,x,y,xy,M,Fs,q,y=f(y),半逆解法,不随x而变,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁
15、受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(2)由应力分量求应力函数形式,半逆解法,对x积分,对x积分,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(3)由相容方程求应力函数,半逆解法,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(3)由相容方程求应力函数,半逆解法,对任意x均满足,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(3)由相容方程求应力函数,半逆解法,f1(y)常数项不产生应力,f2
16、(y)常数项和一次项不产生应力,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(3)由相容方程求应力函数,半逆解法,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(4)由应力函数求应力分量,半逆解法,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(4)由应力函数求应力分量,半逆解法,根据对称性,x是x的偶函数,xy是x的奇函数,y是x的偶函数,E=F=G=0,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2
17、,h/2,q,ql,ql,解：,(4)由应力函数求应力分量,半逆解法,E=F=G=0,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(5)考察边界条件,半逆解法,i.主要边界(y=h/2),3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(5)考察边界条件,半逆解法,i.主要边界(y=h/2),3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(5)考察边界条件,半逆解法,ii.次要边界(x=l),不能精 确满足,圣维南原理,3-4
18、简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(5)考察边界条件,半逆解法,ii.次要边界(x=l),自然满足,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(6)应力分量最终解答,半逆解法,应力分布图,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(6)应力分量最终解答,半逆解法,宽度:1,惯性矩:,静矩:,弯矩:,剪力:,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(7)应力
19、的量级,半逆解法,lh,x l 同阶,y h 同阶,x第一项 同阶,为主要应力,ql2,h2,xy 同阶,为次要应力,ql,h,x第二项、y q同阶,为更次要应力,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁受均布荷载,x,O,y,l,l,h/2,h/2,q,ql,ql,解：,(8)与材力结果比较,半逆解法,弹性力学,材料力学,x第一项是主要项,与材力相同;,x第二项是弹力修正项;,当l=h,修正项占的1/15;,当l=2h,修正项占的1/60;,修正项对深梁影响较大;,xy与材力相同;y材力不考虑.,3-4 简支梁受均布荷载,弹力与材力解法比较,3-4 简支梁受均布荷载,弹力与材力解法比较,3-4 简支
20、梁受均布荷载,弹力与材力解法比较,3-5 楔形体受重力和液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,(1)用量纲分析法假设应力,半逆解法,应力分量与1g、2g成正比;,应力量纲(L-1MT-2)比1g、2g量纲(L-2MT-2)高一次;,应力=(1g,2g)(x,y一次式),3-5 楔形体受重力和液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,(2)由应力分量假设应力函数,半逆解法,应力函数量纲(LMT-2)比应力量纲(L-1 MT-2)高两次;,应力函数为 x,y的纯三次式
21、,应力=(1g,2g)(x,y一次式);,3-5 楔形体受重力和液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,(3)满足相容方程,半逆解法,3-5 楔形体受重力和液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,半逆解法,(4)由求应力,3-5 楔形体受重力和液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,半逆解法,(5)考察边界条件,本题两个大边界，均应严格满足应力边界条件。,i.铅直面(x=0),3-5 楔形体受重力和
22、液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,半逆解法,(5)考察边界条件,ii.斜边界(x=ytan),3-5 楔形体受重力和液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,半逆解法,(6)最终应力解,3-5 楔形体受重力和液体压力,楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力.,解：,半逆解法,(7)楔形体解答应用,作为三角形重力坝的参考解答；在坝体中部的应力，接近楔形体的解答；重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。,P54 3-4 3-9 3-10,本 章 作 业,第四版：,第三版：,P48 3-1 3-6 3-7,
