电磁场四章习题解答.docx

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1、电磁场四章习题解答电磁场四章习题解答 电磁场第四章习题解答 4.1 如题 4.1 图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 U0，求槽内的电位函数。解 根据题意，电位满足的边界条件为 根据条件和，电位的通解应取为 y )sin aa b U0 由条件，有 o 题 4.1 图 a a x 两边同乘以 sin()，并从 0 到 a 对 x 积分，得到 a a ，故 得 到 槽 内 的 电 位 分 布 4.2 两平行无限大导体平面，距离为 b，其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位 U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平

2、面上，从到，电位线性变化，。2U0 y U0 解 应用叠加原理，设板间的电位为 其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间的电位，即；是两个电位为零 x 的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：)e 根据条件和，可设的通解为 由条件有 )，并从 0 到 b 对 y 积分，得到 两边同乘以 sin(bdb 故得到 4.3 求在上题的解中，除开 U0yb 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 2W 定出边缘电容。U0 解 在导体板上，相应于的电荷面密度 则导体板上相应的总电荷 sin 相应的电场储能为 其边缘电容为 4.4 如题 4.4 图所示的导体槽，底面保持电位 U0，其余两面电位

3、为零，求槽内的电位的解。解 根据题意，电位满足的边界条件为 y 根据条件和，电位的通解应取为 )由条件，有 sin，并从 0 到 a 对 x 积分，得到 两边同乘以题 4.4 图 aa ，故得到槽内的电位分布为 4.5 一长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为 ac 的电荷。求体积内的电位。解 在体积内，电位满足泊松方程 长方体表面 S 上，电位满足边界条件。由此设电位的通解为 代入泊松方程，可得 1 )sinsin abc abcac 由此可得 或 由式，可得 2 b 故 abc 4.6 如题 4.6 图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与 z 轴平行的

4、线电荷 ql，其位置为(0,d)。求板间的电位函数。解 由于在(0,d)处有一与 z 轴平行的线电荷 ql，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的 8b2 分 界 面 上，可 利 用函 数 将 线 电 荷ql表 示 成 电 荷 面 密 度。电位的边界条件为 y ql d a x 题 4.6 图 o 由条件和，可设电位函数的通解为 由条件，有 由式，可得 将式两边同乘以 sin()，并从 0 到 a 对 y 积分，有 由式和解得 故 sin()a ql 4.7 如题 4.7 图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷 ql。求槽内的 电位函数

5、。y 解 由于在(x0,y0)处有一与 z 轴平行的线电荷 ql，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷 ql 表示成电荷面密度 b ql(x0,y0)，电位的边界条件为 o 题 4.7 图 a x ，)(ql 0 由条件和，可设电位函数的通解为 由条件，有 由式，可得 将式两边同乘以 b)，并从 0 到 b 对 y 积分，有 )0b 由式和解得 0bb B2ql1 0bb 故 l b 1）2）3）4），而感应电荷的电位应与一样按变化，而且在无限远处为 0。由于导体是等位体，所以满足的边界条件为 y 2ql E0 由条件，有

6、 由此可设 a o x 2 于是得到 故圆柱外的电位为 题 4.8 图 若选择导体圆柱表面为电位参考点，即，则。导体圆柱外的电场则为 导体圆柱表面的电荷面密度为 4.9 在介电常数为的无限大的介质中，沿 z 轴方向开一个半径为 a 的圆柱形空腔。沿 x 轴方向外加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位函数。解 在电场 E0 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场 E 为外加电场 E0 与极化电荷的电场 Ep 的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化，则空腔内、外的电位分别为和 的边界条件为 时，；时，为有限值；时，由条件和，可设 带入条件，有 ，E0，所以 1

7、a2 由此解得 4.10 一个半径为 b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题 4.10 图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位 U0 和。求圆柱面内部的电位函数。y 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 为有限值；0 b o U0 x 0 ；题 4.10 图 由条件可知，圆柱面内部的电位函数的通解为 代入条件，有 由此得到 n 1 0 0 U0 ，1 n 0 1 0 0 0 n，1rn 故 4.11 如题 4.11 图所示，一无限长介质圆柱的半径为 a、介电常数为，在距离轴线处，有一与圆柱平行的线电荷 ql，计算空间各部分

8、的电位。解 在线电荷 ql 作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位均为线电荷 ql 的 2U0 电 位与 极 化 电 荷 的 电 位的 叠 加，即。线电荷 ql 的电位为 y 而极化电荷的电位满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。ql 介质圆柱内外的电位和满足的边界条件为分别为 r0 x 题 4.11 图 由条件和可知，和的通解为 为有限值；)时，将式带入条件，可得到 n 1rn 带入式，得 当时，将 lnR 展开为级数，有 由式和，有 由此解得 ，故得到圆柱内、外的电位分别为 2 2 0 ql 2 2 0 ql 讨论：利用式，可将式和中得第二项分别写成为 其中。因此可将和分别写成为 ql 的

9、电位相同，而介 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于的线电荷 a2,0)质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于的线电荷 ql；位于(r0 ql；位于的线电荷 q。的线电荷 4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位均为线电荷ql 的 电 位与 感 应 电 荷 的 电 位的 叠 加，即。线电荷 ql 的电位为 而感应电荷的电位满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。满足的边界条件为 ；。由于电位分布是的偶函数，并由条件可知，的通解为 将式和带入条件，可得到 将展开为级数，有 1a 2 2 0 带入式，得 1a ql a2n lnr0，

10、由此可得 ql 故导体圆柱外的电为 ql 1a2n ql ql 讨论：利用式，可将式中的第二项写成为 ql1a2n ql 其中。因此可将写成为 lnr0 由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于的线电荷 ql；a2,0)的线电荷；位于的线电荷 ql。位于(r0 4.13 在均匀外电场中放入半径为 a 的导体球，设导体充电至U0；导体上充有电荷 Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解 这里导体充电至 U0 应理解为未加外电场 E0 时导体球相对于无限远处的电位为 U0，此时导体球面上的电荷密度，总电荷。将导体球放入均匀外电场 E0 中后，在 E0 的作用下，产生感应

11、电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷 q 仍保持不变，导体球仍为等位体。设，其中 是均匀外电场 E0 的电位，是导体球上的电荷产生的电位。电位满足的边界条件为 时，；时，S 其中 C0 为常数，若适当选择的参考点，可使。由条件，可设 若使，可得到 3 代入条件，可得到 ，导体上充电荷 Q 时，令，有 利用的结果，得到 3 4.14 如题 4.14 图所示，无限大的介质中外加均匀电场，在介质中有一个半径为 Q a 的球形空腔。求空腔内、外的电场 E 和空腔表面的极化电荷密度。解 在电场 E0 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场 E 为外加电场 E0 与极化电荷的

12、电场 Ep 的叠加。设空腔内、外的电位分别为和，则 边界条件为 时，；时，为有限值；时，由条件和，可设 带入条件，有 ，由此解得 10，2 所以 1 空腔内、外的电场为 a E0 题 4.14 图 z E0 空腔表面的极化电荷面密度为 偶极子 p，球壳上的电荷量为 Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子 p 在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为 Q，且均匀分布在外表面上。球壳外的场可由高斯定理求得为 4.15 如题 4.15 图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为 r1 和 r2，球的中

13、心放置一个电 外表面上的电荷面密度为 Q 设球内的电位为，其中 r1 o p r2 z Q 是电偶极子 p 的电位，是球壳内表面上的感应电荷的电位。满足的边界条件为 为有限值；题 4.15 图 ，即，所以 Qp n 由条件可知的通解为 由条件，有 比较两端的系数，得到 Qp1r 最后得到 1 球壳内表面上的感应电荷面密度为 Q，p，3p 3p 感应电荷的总量为 4.16 欲在一个半径为 a 的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕？解 设球内的均匀场为，球外的场为 H2(，如题4.16 图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为 a o H1 H 2 若令 ，则得到球面上的电流面密度为

14、这表明球面上的绕线密度正比于，则将在球内产生均匀场。4.17 一个半径为 R 的介质球带有均匀极化强度 P。题 4.16 图 证明：球内的电场是均匀的，等于 P ；证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同，。3 解 当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。z 建立如题 4.17 图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为 介质球内、外的电位和满足的边界条件为 为有限值；P o R 题 4.17 图 因此，可设球内

15、、外电位的通解为 由条件，有 B1 B12B1，01 R2R3PPR3 解得 ，PP 故球内的电场为 于是得到球内的电位 介质球外的电位为 其中为介质球的体积。故介质球外的电场为 3 可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同。4.18 半径为 a 的接地导体球，离球心处放置一个点电荷 q，如题 4.18 图所示。用 分离变量法求电位分布。解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。设，其中 q 2 21 是点电荷 q 的电位，是导

16、体球上感应电荷产生的电位。电位满足的边界条件为 时，；时，。由条件，可得的通解为 q z 为了确定系数 An，利用 1R 的球坐标展开式 将在球面上展开为 代入条件，有 r1 a o 题 4.18 图 an q 比较的系数，得到 故得到球外的电位为 讨论：将的第二项与 1R 的球坐标展开式比较，可得到 q q 由 此 可 见，的 第 二 项 是 位 于的 一 个 点 电 荷所产生的电位，此电荷 正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。z a o R 4.19 一根密度为 ql、长为 2a 的线电荷沿 z 轴放置，中心在原点上。证明：对于的点，有 r 解 线电荷产生的电位为 题 4.19 图 对

17、于的点，有 ql1 ql aa 1 2 2 22 1 故得到 ql a 一个半径为 a 的细导线圆环，环与 xy 平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为 Q，ql 如题 4.20 图所示。证明：空间任意点电位为 4 24 Q 解 以细导线圆环所在的球面把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用 函数将细导线圆环上的线电荷 Q 表示成球面上的电荷面密度 z 再根据边界条件确定系数。设球面内、外的电位分别为和，则 边界条件为：a x o y 为有限值；，题 4.20 图 Q 根据条件和，可得和的通解为 代入条件，有 将式两端同乘以，并从 0 到对进行积分，得 Anna Pn(0)其中 QQa

18、n P(0)Pn(0)由式和，解得 ，代入式和，即得到 4 24 4.21 一个点电荷 q 与无限大导体平面距离为 d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？解 利用镜像法求解。当点电荷 q 移动到距离导体平面为 x 的点 P 处时，其像电荷，与导体平面相距为，如题 4.21 图所示。像电荷在点 P Q 处产生的电场为 o q x x x 所以将点电荷 q 移到无穷远处时，电场所作的功为 d q2 外力所作的功为 题 4.21 图 4.22 如题 4.22 图所示，一个点电荷 q 放在的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求：所有镜像电荷的位置和大小；点处的电位。解 这是一个多重镜像的问题，共有

19、 5 个像电荷，分布在以点电荷 q 到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于 q，且正负电荷交错分布，其大 小和位置分别为 q(2,1,0)x o 题 4.22 图 点处电位 0.321 4.23 一个电荷量为 q、质量为 m 的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为 h。求 q 的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。解 将小带电体视为点电荷 q，导体平面上的感应电荷对 q 的静电力等于镜像电荷对 q 的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为，位于导体平面上方为 h 处，则小带电体 q 受到 q2 的静电力为 2 q 令 fe 的大小与重力 mg 相

20、等，即 于是得到 z q R 1 z q z o h h P o R2 o 图 题 4.24 图 题 4.24 图 题 4.24 图 4.24 如题 4.24 图所示，在的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空 气，距离介质平面距为 h 处有一点电荷 q，求：和的两个半空间内的电位；介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷。解 在点电荷 q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为、所示）q，位于 ，位于 上半空间内的电位由点电荷 q 和镜像电荷共同产生，即 下半空间内的电位由点电荷 q 和镜像电荷

21、共同产生，即 由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为 极化电荷总电量为 4.25 一个半径为 R 的导体球带有电荷量为 Q，在球体外距离球心为 D 处有一个点电荷 q。3 求点电荷与导体球之间的静电力；证明：当与同号，且 成立时，F 表现为吸引力。解 导体球上除带有电荷量 Q 之外，点电荷 q 还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷和的大小和位置分别为 D q z R 题 4.25 图 2，DD R，D 导体球自身所带的电荷 Q 则与位于球心的点电荷 Q 等效。故点电荷 q 受到的静电力为 当 q 与 Q 同号，且 F 表现为吸引力，即时，则应有 QRD3R 由

22、此可得出 4.26 两个点电荷 Q 和，在一个半径为 a 的导体球直径的延长线上，分别位于导体球的 两侧且距球心为 D。2a3Q 证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为；2 D Q 令 D 和 Q 分别趋于无穷，同时保持 2 不变，计算球外的电场。D 解 点电荷 Q 和都要在球面上引起等量异号的感应电荷，可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法，点电荷 Q 的像电荷为 2，位于：z z D Q o a Q，位于：而点电荷的像电荷为 P 2，位于：a，位于：D 和等值异号，且同时位如题 4.26 图所示。由此可见，像电荷q1 和也等值异号，于球心，故球心

23、处总的像电荷为零；而像电荷 q1 r q2 R2 有 a2a22a3Q 题 4.26 图 DDD 和共同产生，即 球外的电位由 Q 和以及像电荷 q1 且位置关于球心对称，故构成位于球心的电偶极子，其电偶极矩为 Q 当 D 和 Q 分别趋于无穷，同时保持 2 不变时，有 D pp D2 aD 球外的电场为 4.27 一根与地面平行架设的圆截面导线，半径为 a，悬挂高度为 h。证明：单位长度上圆柱导线与地面间的电容为 。解 地面的影响可用一个像圆柱来等效。设导线单位长度带电荷为 ql，则像圆柱单位长度带电荷为。根据电轴法，电荷 ql 和可用位于电轴上的线电荷来等效替代，如题 4.27 图所示。等效线电荷对导体轴线的偏移为 则导线与地间的电位差为 ql h a ql D h 故单位长度上圆柱导线与地面间的电容为 a d ql 题 4.27 图 4.28 在上题中设导线与地面间的电压为 U0。证明：地面对导线单位长度的作用力 解 导线单位长度上的电场能量为 由虚位移法，得到地面对导线单位长度的作用力为 2 2 212。U0