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1、数值积分,2,1 引言,1.数值求积的基本思想,依据微积分基本定理，对于积分,只要找到被积函数 的原函数，便有下列牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：,但对于下列情形：,3,（1）被积函数，诸如 等等，找不到用初等函数表示的原函数；,（2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用.,因此有必要研究积分的数值计算问题.,由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点，成立,4,图4-1,5,将 称为区间 上的平均高度.,是梯形公式(几何意义参看图4-2).,6,图4-2,用区间中点 的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公
2、式),7,一般地，可以在区间 上适当选取某些节点，,然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样,式中 称为求积节点；称为求积系数,亦称伴随节点 的权.,权 仅仅与节点 的选取有关，,构造出的求积公式具有下列形式：,k,A,8,这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难.,9,2.代数精度的概念,定义1,则称该求积公式具有 次代数精度.,梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度.,数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.,10,欲使求积公式 具有 次代数精度，则只要令它,对 都准确成
3、立，就得到,11,如果事先选定求积节点，譬如，以区间 的等距分点作为节点，这时取，求解方程组即可确定求积系数，而使求积公式 至少具有 次代数精度.,构造求积公式，原则上是一个确定参数 和 的代数问题.,12,例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度达到最高。,13,3.插值型的求积公式,设给定一组节点,且已知函数 在这些节点上的值，,作插值函数.,取,作为积分 的近似值，,这样构造出的求积公式,14,称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出,由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式，其余项,式中与变量 有关，,15,余项 为零，,16,定理1,注意到,上式右
4、端实际上等于,因而,成立.,这样，有下面定理.,17,4.求积公式的收敛性与稳定性,定义2,其中,在求积公式中，由于计算 可能产生误差，,实际得的将是，,即,在求积公式中，若,则称求积公式(1.3)是收敛的.,记,18,如果对任给小正数,只要误差 充分小就有,则表明求积公式计算是稳定的，,由此给出下面定义.,定义3,就有成立，则称求积公式是稳定的.,对任给,若,只要,19,定理2,证明,取,若求积公式中系数,则此求积公式是稳定的.,对任给,都有,若对,则当 时有,20,由定义3知，求积公式是稳定的.,21,2 牛顿-柯特斯公式,1.柯特斯系数,设将积分区间 划分为 等分，,选取等距节点 构造出
5、的插值型求积公式,称为牛顿-柯特斯公式，,式中 称为柯特斯系数.,引进变换,步长,则利用等距节点的,插值公式，有,22,当 时，,这时的求积公式就是梯形公式,23,当 时，,相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式,柯特斯系数为,24,的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，,这里,可构造柯特斯系数表.,其形式是,25,26,从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现负值，,特别地，假定,于是有,且,则有,27,它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的.,28,2.偶阶求积公式的代数精度,由定理1，阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度.,先看辛
6、普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度.,用 进行检验，,本节讨论代数精度的进一步提高问题.,按辛普森公式计算得,29,另一方面，直接求积得,这时有，,而它对 通常是不准确的，,辛普森公式实际上具有三次代数精度.,因此，,定理3,30,证明,由于这里,引进变换 并注意到 有,按余项公式,有,31,因为被积函数,若 为偶数，则 为整数，,为奇函数，所以,再令,进一步有,32,3.几种低阶求积公式的余项,按余项公式，梯形公式的余项,这里积分的核函数 在区间 上保号(非正)，,应用积分中值定理，在 内存在一点 使,，,33,34,3 复化求积公式,复化求积的基本思想是把积分区间
7、分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提高精度.,1.复化梯形公式,分点,将区间 划分为 等分，,35,记,称为复化梯形公式.,36,其余项,由于,且,所以 使,于是复化梯形公式余项为,37,误差是 阶，,且当 时有,即复化梯形公式是收敛的.,38,此外，的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.,只要 则当 时，上式均收敛到积分 所以复化梯形公式收敛.,将Tn 改写为,39,对复化梯形公式，还有如果f(x)在a,b上有2r+2阶连续导数，余项,40,定义 设,41,2.复化辛普森求积公式,记,将区间 分为 n 等分，,n=2m,xk=a+kh,k=0,2m
8、,在每个子区间 x2k-2,x2k 上用Simpson公式,42,称为复化辛普森求积公式.,于是当 时，,与复化梯形公式相似有,误差阶为 4，显然是收敛的.,43,实际上，只要,则可得到收敛性，,即,此外，由于 Sn 中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定,44,例2,对于函数，,给出 的函数表,并估计误差.,解,(见表4-2)，,计算积分,应用复化梯形法求得T8=0.9456909,试用复化梯形公式(及复化辛普森公式,将积分区间0,1划分为8等分，,45,而如果将0,1 分为4等分，应用复化辛普森法有 S4=0.9460832,同积分的准确值 I=0.9460831比较，,接下来看误
9、差估计，由于,所以有,46,于是,得复化梯形公式误差,47,对复化辛普森公式，,48,49,4 Richardson外推法,也就是说用 近似J的误差价为，现在考虑利用 构造一个新的计算公式，使误差的价比 高.,50,51,52,5 龙贝格求积公式,梯形法计算简单但收敛慢，本节讨论如何提高收敛速度以节省计算量.,根据复化梯形公式的余项表达式,53,54,55,若(预先给定的精度)，则终止计算，,并取,56,可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值，即,对于 不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，,只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化辛普森公式计算.,57,例4,解,在 上仅是一次连续可微，,用龙贝格算法计算积分,用龙贝格算法计算结果见表4-6.,
