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1、1,第十讲数值积分,2,第十讲主要知识点,求积公式、代数精度的概念牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式*各种求积公式的代数精度,3,引言,依据微积分基本定理,只要找到被积函数的原函数，便有牛顿-莱伯公式 由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。,4,数值求积的基本思想,依据积分中值定理，就是说，底为 而高为 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。取 内若干个节点 处的高度，通过加权平均的方法生成平均高度，这类求积公式称机械求积公式：式中 称为求积节点
2、，称为求积系数，亦称伴随节点的权。,5,定积分的思想,1.求积公式的一般形式 我们知道，定积分是求和式的极限即。它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。,6,矩形公式,将被积函数,在a处泰勒 展开,，,在x、a之间，,在,上连续，而,在,上不变号（非负），由积分中值定理知,于是有,两端积分,注意右端第二项，设,式称为左矩形公式，其余项
3、为,，,7,矩形公式(续),或者写为,同理，有右矩形公式,和中矩形公式,8,插值型求积公式,由插值理论可知，任一函数,给定一组节点,后，可用一n次多项式,对其插值，即,因此,当,为拉格朗日插值多项式时，即,则,，,9,插值型求积公式(续),其中,通常称公式为插值型求积公式。,10,代数精度的概念,数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。如果机械求积公式对 均能准确成立但对 不准确，则称机械求积公式具有 次代数精度。事实上，令求积公式对 准确成立，即得 可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。,11,
4、插值型求积公式的代数精度(续1）,容易验证左（右）矩形公式具有零次代数精度，中矩形公式具有一次代数精度。对于插值型求积公式其余项,因此对于次数不大于n的多项式,其余项,因而插值型求积公式至少具有n次代数精度。,12,插值型求积公式的代数精度(续2）,反之，如果求积公式至少具有n次代数精度，则对于插值基函数,（为n次多项式）求积公式准确成立，即,注意到,，上式右端实际上等于,即,求积公式为插值型求积公式。,13,插值型求积公式的代数精度(续3）,定理机械求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。,14,梯形公式,利用插值求积公式，构造等距节点插值多项式,并以,近似,，这样就可以得到
5、各种近似公式,过,两点，作直线,以,近似,得：,易见，上式的几何意义是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，故称式为梯形求积公式，如图所示。,15,梯形公式(续1）,定理5.2设,在区间,上具有二阶连续导数，则梯形求积公式有误差估计：,证明：由插值求积公式误差(5.9)式得,由于,，且,，,用积分中值定理，存在,使,16,梯形公式(续2）,显然梯形公式至少具有一次代数精度。可以令,则有,因此梯形公式的代数精度为1。,17,梯形公式例题,例1 利用梯形公式计算,解：,18,牛顿柯特斯公式,设分 为 等份，步长，取等分点构造出的插值型求积公式（其中）称作 阶牛顿柯特斯公式。一阶和二阶牛顿柯特斯公式分别
6、是梯形公式和辛甫生公式四阶牛顿柯特斯公式，也称为柯特斯公式：,19,几种低阶求积公式的代数精度,阶的牛顿柯特斯公式至少有 次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得“额外”的好处，它们分别有3 次和5次代数精度。因此，在几种低阶的牛顿柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。,20,几种低阶求积公式的余项,利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项：利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项：另外，我们可以得到如下柯特斯公式的分余项：,21,复化求积公式,在使用牛顿柯特斯公
7、式时，通过提高阶的途径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精度，一种行之有效的方法是复化求积。将 分为 等份，步长，分点所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每个子段 上的积分值，然后用 作为积 的近似值。复化梯形公式有如下形式：其余项为：,22,把区间a，b分割成 n 等分，分点 得到 复化左矩形公式,复化求积公式(续1）,23,复化求积公式(续2）,24,梯形法的递推化,实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往往很困难，所以我们往往采用变步长的计算方案，即在步长逐步分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。设 表示复化梯形求得的积分值，其
8、下标 是等分数，由此则有递推公式 其中,25,梯形法的加速,梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓提高收敛速度以节省计算量呢？由复化梯形公式的截断误差公式可得，整理得，由此可知，这样导出的加速公式是辛甫生公式：,26,龙贝格算法,我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值逐步加工为精度较高的积分值：或者说将收敛缓慢的梯形值序列 加工成收敛迅速的积分值序列，这种加速方法称为龙贝格算法。,27,例2用Romberg公式计算积分 解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：,龙贝格算法例题,28,龙贝格算法例题(续1）,29,龙贝格算法例题(续2）,30,把区间再分半，重复步骤(4)，可
9、算出结果：至此得，因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到0.00001因此积分,龙贝格算法例题(续3）,31,高精度的求积公式,不失一般性，设，考虑下列求积公式 我们将会看到，适当的选取求积节点可以使上述求积公式具有 次代数精度，这种高精度的求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。,32,高斯点的基本特性,尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。设 是求积公式中的高斯点，令 则有如下结论：定理 节点 是高斯点的充分必要条件是多项式 与一切次数
10、的多项式 正交，即成立,33,勒让德多项式,以高斯点 为零点的 次多项式称为勒让德(Legendre)多项式。一般的，勒让德多项式可以依据来求得。,34,牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的（区间a,b的两端点a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅Ak而且xk也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。,高斯公式,35,高斯公式(续1）,36,高斯公式(续2）,37,高斯公式(续3）,38,高斯勒让德公式,39,高斯勒让德公式(续）,40,带权的高斯公式,41,高斯公式例题,42,高斯公式例题(续),43,本讲结束！谢谢大家！再见！,
