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1、4.1求积公式 4.1.1 求积公式,结束,对定义在区间a,b上的定积分,以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，F(x)为f(x)的原函数.但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算.如被积函数为:,第四章 数值积分,等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无能为力.为解决定积分的近似计算,从定积分的定义：,这样就避开了求原函数的运算.(4.1)式就叫做求积公式，Ak(k=0,1,n)与函数f(x)无关，叫做求积系数,显然要确定一个求积公式，要确定求积结点xk和求积系数Ak，或者说不同的求积结点和求积系数将确定不同的求积公式.,结束,结束,4.1.2 求积公式
2、的余项和代数精度,一般情况下，(4.1)两端并不相等.我们称:,(4.2)为求积公式(4.1)的余项，或截断误差.,为考查一个求积公式的误差，通常用代数精度来表示，如果一个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立(Rf0)，而对m+1次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代数精度为m.,结束,例如求积公式：,验证当 f(x)=xm，m=0,1,2,3,4 时，是否有Rxm=0,所以以上求积公式的代数精度为 3.,任何一个求积公式的代数精度至少为零即取f(x)=1时公式应精确成立，这是求积系数应满足的起码条件，可以用它检验一个求积公式的系数的正确性.,4.1.3 矩形求积公式,f(x)
3、=f(a)+f()(x-a)，在x,a之间,两端积分：,把 f(x)在a处作Taylor展开:,结束,结束,注意到右端第二项积分，设f(x)在a,b上连续，而x-a在 a,b上不变号(非负)，据积分中值定理有：,于是有左矩形公式：,同理,f(x)在b点展开,可得右矩形公式:,结束,f(x)在中点(a+b)/2展开,可得中矩形公式:,不难验证，(4.3)和(4.4)具有零次代数精度，(4.5)具有一次代数精度.,结束,4.1.4 内插求积公式,由插值可知，对任一函数f(x)(包括表格形式的函数)可用一n次多项式对其插值，即,当Pn(x)为拉格朗日插值多项式时，即,结束,其中:,通常将公式(4.6
4、)叫做内插求积公式.,4.2 牛顿-柯特斯公式,为便于上机计算，通常在内插求积公式中取等距节点，即将积分区间a,bn等分，即令h=(b-a)/n，且记x0=a,xn=b，则节点为xk=x0+kh(k=0,1,n)，作变换:t=(x-x0)/h，代入求积系数公式：,结束,这种由等距节点的内插求积公式通常叫做牛顿-柯特斯公式,下面介绍几个常用的公式:,取a=x0,b=x1,(即n=1)，代入(4.9)式得,4.2.1 梯形公式,所以梯形公式为,结束,结束,这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，对梯形公式的误差估计有如下定理：,定理 4.1 设f(x)为二阶连续可微函数，则梯形求积公式的余项为(证明
5、),其中h=b-a，记成上面形式是为以后复化求积公式余项的一致性.由余项公式立刻可以看出梯形公式的代数精度为1.,结束,例1 利用梯形公式计算,解:,4.2.2 抛物形（辛卜生）公式,取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得,结束,所以抛物形公式为,其中h=(b-a)/2,上式也可写成:,结束,抛物形公式通常也称为辛普生公式，抛物形公式是用抛物线围成的曲边梯形近似代替f(x)围成的曲边梯形.,定理4.2 设 f(x)C4a,b，则辛普生公式的误差估计为:,直接可以验证抛物形公式代数精度为3(对f(x)为三次以下多项式精确成立).,例2 利用抛物形公式计算,解
6、:,结束,(4.9)式给出,4.2.3 牛顿-柯特斯公式,其中:,可以看出，C(n)k不依赖函数f(x)和积分区间a,b，可以事先计算出来，通常叫做牛顿-柯特斯系数，下面给出n从16的牛顿-柯特斯系数表4-1：,结束,表4-1,结束,对牛顿-柯特斯公式，当f(x)C na,b，f(n+1)(x)在a,b上存在时，求积公式的余项为:,对f(x)为任何不超过n次的多项式，均有f(n+1)(x)0，因而Rnf0，也就是说，牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为n.,我们可以证明当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式的代数精度可达到n+1.,证明:令n=2k,设,为任一n+1次多项式，其最高次系数为an+1，则它的
7、n+1阶导数为,结束,下面我们证明,作变换u=t-k，则,结束,容易验证(u)为奇函数，即(-u)=-(u),而奇函数在对称区间上的积分为零，所以,也就是说，当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到n+1.正是基于这种考虑，当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式(n=2)等.,4.3 复化求积公式,从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高.另一方面，插值节点的增多(n的增大)，在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n
8、8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)因而在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想.为叙述方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具体情况讨论,结束,4.3.1.复化梯形公式,用n+1个分点将区间a，bn等分。每个区间长,在xk，xk+1上用梯形公式，则,结束,Tn叫做复化梯形求积公式，下标n表示将积分区间等分的份数.,从公式的特点可以
9、看出，内节点xk(k=1,2,n-1)作为小区间的端点参与前、后两个小区间的计算，因而系数为2，端点a与b只参与一次计算，系数为1.,如果在Tn的基础上，将各小区间对分，这时节点数为2n+1，分段数为2n.记新的分点的函数值的和为n，则T2n应为原内节点与新增节点函数值的和的两倍，加上两端点a,b的函数值之和再乘上新区间长度的一半，即,结束,从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留.只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量.,结束,定理4.3 设 f(x)C2a,b，复化梯形公式的截断误差,这一复化梯形求积公
10、式的余项在形式上与(4.13)式相同，不同的是，这里的h=(b-a)/n，而(4.13)式中的h=b-a.,利用复化求积公式的余项，我们可以估计出在满足精度的要求下，应将积分区间等分多少份，即n取多少.这种误差估计方法称为事前误差估计.如例4.3,例3 利用复化梯形公式计算 使其误差限为10-4，应将区间0,1几等分?,结束,解:因为被积函数,取n=17可满足要求.,结束,另一方法是利用公式前后两次计算结果的差来估计误差的，即用T2n-Tn,这是因为,当 f(x)在a,b上连续，并且假定当n充分大时有 f()f()，则,结束,这种误差估计方法通常叫做事后误差估计，在计算机上用来控制计算精度常用
11、这一方法，有的也把这种方法叫做步长的自动选取或逐次对分的方法.,因此当T2n-Tn时，可认为,结束,4.3.2 复化抛物形公式,将积分区间 a,b 分为 2m 等分，n=2m，节点为 xk=a+kh(k=0,1,2,2m)，h=(b-a)/2m.在每两个小区间x2k,x2k+2(k=0,1,2,m-1)上用抛物形公式，则有:,结束,S2m叫做复化抛物形求积公式，下标2m表示积分区间等分的份数，2m强调为偶数份.,公式的特点为节点x2k,(k=1,2,m-1)作为小区间x2k,x2k+2的端点，参与前后两次的辛普生公式的计算，因而系数为 2，而奇数节点x2k+1,(k=0,1,m-1)因辛普生公
12、式中间点的求积系数为4而保留4，前面的h/3为辛普生公式的公共求积系数.,定理4.4 设函数f(x)C4a,b，则,结束,例4 利用复化抛物形公式计算 使其误差限为10-4，应将区间0,1几等分?,解:利用例3的结果,因此只需将区间0,1二等分，即取m=1(n=2).,结束,前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间 0,117等分，可见复化抛物形公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用 S4m-S2m来控制计算的精度.,4.4 龙贝格(Romberg)求积公式,4.4.1 复化梯形公式的逐次分半公式,我们已知的T2n与Tn的关系,结束,于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T
13、4,T8,此序列收敛于积分真值 I.当|T2n-Tn|时,取T2n为I的近似值.以上算法称为复化梯形公式的逐次分半公式.但由于此序列收敛太慢,因此并不实用.现我们试图将它改造成为收敛快的序列.,如认为,则有,结束,于是有:,记,这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的Sn序列.可以证明Sn序列实际上就是逐次分半的复化抛物形公式序列.,如认为,则有,于是有:,记,这样我们从Sn序列又推出了收敛更快的Cn序列.可以证明Cn序列实际上就是逐次分半的复化柯特斯公式序列.,结束,如认为,则有,于是有:,记,这样我们从Cn序列又推出了收敛更快的Rn序列.Rn序列也称为龙贝格序列.这样我们从收敛较慢的T
14、n序列只用了一些四则运算,便推出了收敛更快的Sn序列,Cn序列和Rn序列.这个过程还可继续下去,但已意义不大.我们常将这四个序列排成如下的三角形数表(表4-2),结束,表4-2,该表四个序列都是收敛的.,结束,例5 利用龙贝格方法计算解:计算结果列如下表:,这一结果与I=相比较已有较好的精度.,结束,4.5 高斯型求积公式,由前面的讨论已经知道，以a=x0 x1xn=b为节点的N-C求积公式的代数精度一般为n或n+1,这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置，在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多能达到多少?高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求
15、积公式.先看一个简单的例子，考虑两个节点的求积公式.,4.5.1 最高代数精度的求积公式,结束,这里积分区间选为-1,1 不失一般性，因为对区间a,b，总可用变量替换,将化为-1,1上的积分.从而用（4.35）式得到解决。,现在不固定节点x0,x1的位置为区间端点-1,1，而允许取在(-1,1)内，即选取 x0,x1及A0，A1，使(4.35)具有最高的代数精度.为 此，分别取 代入(4.35)式，得方 程组,结束,取前四个方程构成此方程组是因为只有 4个待定数x0,x1，A0,A1，即代数精度m=3.,方程组(4.36)有一组解为,即求积公式,具有的代数精度为 3,结束,从上面这一简单的例子
16、可以看到，节点数目不变的情况下，求积公式的代数精度是可以提高的.下面就对一般问题进行讨论，即当节点数目为n+1时，求积公式的代数精度最高能达多少，怎样才能达到这一最高的代数精度.,设节点为x0,x1,xn，求积公式为：,共2n+2未知参数,可列2n+2个方程,由此可以推设在n+1个节点上的求积公式，其代数精度最多为2n+1，即(4.38)的代数精度可以达到2n+1.通常确定节点xk与求积系数Ak不是通过解非线性方程组，而是利用正交多项式的性质来求得的.下面讨论更一般情况的高斯型求积公式,结束,其中(x)0为权函数，为使此公式对f(x)为不超过2n+1次的多项式时能精确成立，记:,用(x)去除
17、f(x)，则可表示成,其中，q(x)为商，r(x)为余，q(x),r(x)均为不超过n次的多项式，于是有,结束,如果对任何不超过 n次的多项式 q(x)都有,又因为,则,结束,即求积公式(4.40)对不超过 2n+1次的多项式能精确成立,而满足条件(4.43)只需 q(x)与(x)为区间a,b上关于权函数(x)正交，若取节点xk(k=0,1,2,n)恰为此正交多项式系中n+1次多项式的n+1个零点，而由正交多项式的性质可知这些根均为实根，无重根，且全部分布在(a,b)内这样，对于给定的权函数总能构造出关于此权函数在a,b区间上的正交多项式系Pk(x)，然后取其第n+1次多项式的n+1个零点作为
18、高斯型求积公式的节点.节点确定之后，再按下面的公式计算高斯型积分公式的求积系数:,结束,这里,l k(x)就是拉格朗日插值基函数.,对高斯型求积公式的截断误差有如下结果定理4.5 设f(x)C2n+2a,b，则高斯型求积公式的截断误差为,还可进一步证明：只要函数f(x)在a,b上连续，则当n时，高斯型求积公式将收敛于积分值.高斯型求积公式的优点是代数精度高，但是节点和求积系数的计算比较麻烦.为使用方便，将某些常见的正交多项式系的节点与求积系数事先算出列成数表，这样在选定节点数目时，便可根据不同的权函数直接查表求得求积公式的节点及求积系数，而不必每次都用正交条件去求节点和相应的求积系数.,结束,
19、高斯型求积公式在计算含e-x，e-x2等因子的广义积分时十分有用这是其它方法不可比拟的,4.5.2 几个常用的高斯型求积公式,下面我们给出几种常用的高斯型求积公式的节点与相应的系数表,1.高斯-勒让德(Gauss-Legendre)求积公式高斯-勒让德求积公式是古典的高斯求积公式，通常就叫做高斯求积公式.它以-1,1上关于权函数(x)1的勒让德多项式,为正交多项式系Pk(x),(其中P0(x)=1),结束,表4-4给出了Gauss-Legendre 求积公式在n=28时的节点与对应的系数.,例6 利用两点Gauss-Legendre 求积公式计算,解:因为,为偶函数,高斯求积公式的截断误差为,
20、结束,2.高斯-拉盖尔(Gauss-Laguerre)求积公式该公式以0,+)区间上，关于权函数(x)=e-x的拉盖尔多项式,为正交多项式系Lk(x)(其中L0(x)=1)，求积节点xk和系数Ak由表4-5.,结束,使用不同的n值，下列对n=2,3,4,5的计算结果列于下表,例7 利用Gauss-Lagurerre 求积公式计算,Gauss-Lagurerre 求积公式截断误差为：,(I的精确值为0.5),结束,3.高斯-埃尔米特(Gauss-Hermite)求积公式该公式以(-,+)上关于权函数(x)=e-x2的埃尔米特多项式,为正交多项式系Hk(x)(其中H0(x)=1)，求积节点xk和系
21、数Ak由表4-7.,高斯埃尔米特求积公式截断误差为：,结束,使用不同的 n 值，下列对n=2,3,4,5的计算结果列于下表,例8 利用 Gauss-Hermite 求积公式计算,I 0.560 202 28,结束,本章介绍的几种求积方法各具特点：,(1)梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较 差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好，再加上公 式简单，因而使用非常广泛.特别在计算机上，复化的梯形 公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十 分简单.,(2)龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便于实现，且当节 点加密时，前面的计算结果直接参与后面的计算，因而大 大减少了计算量.此方法的一个最大缺点是节点的增加是 成倍的.,结束,(3)高斯型求积公式，该方法是最高代数精度的求积方法，但它的节点和求积系数都没有规则，当节点增加时，前 面的计算结果不能被利用，只能重新计算.因此上机计算 时，需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与 系数表.它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分 的计算.,结束,
