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1、2 第二型曲线积分,第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.,三、两类曲线积分的联系,一、第二型曲线积分的定义,二、第二型曲线积分的计算,返回,一 第二型曲线积分的定义,在物理中还遇到过另一,种类型的曲线积分问题.,例如一质点受力,点 A 移动到点 B,求力,所作的功,见图,20-2.,那么,其中,所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论,的第二型曲线积分.,成n个小曲线段,的坐标为 并记,曲线积分,记为,或,上述积分(1)也可写作,或,为书写简洁起见,(1)式常简写成,或,式可
2、写成向量形式,若L为封闭的有向曲线,则记为,或,对质点所作的功为,若L为空间有向可求长曲线,为定义在L上的函数,则可按上述办法类,似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分,并记为,或简写成,当把,看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.,第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关.对同一曲线,当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时,每一小曲线段的,有,弧长的乘积,它与曲线L的方向无关.这是两种类型,曲线积分的一个重要区别.,类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下,一些主要性质:,1,也存在,且,也存在,且,二第二型曲线积分的计算,第二型曲线积分也可化为定积分来计算.,设平
3、面曲线,的第二型曲线积分,读者可仿照1中定理20.1的方法分别证明,由此便可得公式(6).,对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算,可,在 L 上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前,进,最后回到这一点.,例1 计算,其中 L 分别沿图,20-3中的路线:,(i)直线段,(ii),故由公式(6)可得,(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从 A开始,应用上段,加即可得到所求之曲线积分.,所以,的性质2,分别求沿 上的线积分然后相,所以,沿直线 的线积分可由(i)及公式(5)得到:,(ii)沿直线,(iii)沿封闭曲线,解(i),(ii),一段上与(ii)一样是,的一段.所以,(见(ii
4、),沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与,(6)式相仿.设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为,因此,则,这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.,L是螺旋线:,例3 计算第二型曲线积分,上的一段(参见图 205).,解 由公式(7),解 如本节开头所述,在空间曲线 L上力F所作的功,为,(i)由于,的交线,若面对 x 轴正向看去,L是沿逆时针方向的,求,(i),(ii),解 L的参数方程为,因此，,(ii),由对称性，,上的连续,的折线.,令,就有,就有,.,令,于是,因此,注 例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来,逼近.,*三.两类曲线积分的联系,在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系.,的有向光滑曲线,它以弧长s为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的,物理原型,且有着不同的特性,但在一定条件下,如,于是,曲线L上每一点的切线方,每一点的切线方向余弦是,上的连续函数,则由(6),式得,最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的,公式.,注 当(9)式左边第二型曲线积分中L改变方向时,积,分值改变符号,相应在(9)式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧,要变号.因此,一旦方向确定了,公式(9)总是成立的.,复习思考题,其中,2.第二型曲面是否也有轮换对称性？,是否亦有,
