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1、新人教版八年级下册数学,全册教学课件,16.1 二根次式,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,新人教版八年级数学下册教学课件,第1课时 二次根式的概念,情境引入,1.理解二次根式的概念.（重点）2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点）,导入新课,（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其面积为3，则它的边长是.,如果其面积为S，则它的边长是.,（2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为 m.,（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式h=5t2.如果用含有h
2、的式子表示t,那么t为.,讲授新课,问题1 上面问题的结果分别是，它们表示一些正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？,我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.,问题2 上面问题的结果分别是，分别从形式上和被开方数上看有什么共同特点？,含有“”,被开方数a 0,归纳总结,二次根式的定义,一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号，a叫做被开方数.,要点提醒,例1 下列各式是二次根式吗?,典例精析,是,不是,不是,（x,y异号）,不是,不是,是,不是,不含二次根号,被开方数是负数,当m0时被开方数是负数,xy0,非负数+正数恒大于零,根
3、指数是3,解：由x-20，得,x2.,例2(1)当x取何值时,在实数范围内有意义?,当x2时，在实数范围内有意义.,当x=9时，,A.x1 B.x-1 C.x 1 D.x-1,A,（2）当x=0，9时，求二次根式 的值.,（3）要使式子 有意义，则x的取值范围是（）,当x=0时，x-2=-20，此时二次根式无意义；,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.,想一想：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？,前者x为全体实数；后者x为正数和0.,思考:二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个
4、二次根式，我们知道：,（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知 0.,例3（1）若，求a-b+c的值.,解：,（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4,所以a-b+c=2-3+4=3;,（2）由题意知，1-x0,且x-10,联立解得x=1.从而知y=2016,所以x+2y=1+22016=4033.,（2）设，试求x+2y的值.,多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.,当堂练习,2.式子 有意义的条件是（）,A.x2 B.x2 C.x2 D.x2,3.若
5、是整数，则自然数n的值有（）A.7个 B.8个 C.9个 D.10个,D,1.下列式子中，不属于二次根式的是（）,C,A,4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应是多少？,解：设长方形的宽为xcm,根据得意得,解得,所以宽为4cm，长为6cm.,（负值舍去）.,课堂小结,二次根式,定义,带有二次根号,在有意义条件下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.,被开方数为非负数,二次根式的双重非负性,二次根式 中，a0且 0,见学练优本课时练习,课后作业,16.1 二根次式,第十
6、六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 二次根式的性质,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.理解二次根式的两个性质.（重点）2.运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）,导入新课,算一算：,问题1：你能将下列数字顺利通过下面两扇门吗？,问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？,算术平方根之门,算术平方根之门,a0,a为任意实数,全部都能通过,算术平方根,平方运算,0 1,a(a0),0 1,观察：两者有什么关系？,填一填：,讲授新课,4,2,0,思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由,你能把所得的公式用字母表示出来吗？,归纳总结,的性质：,一般地，a(a
7、 0).,典例精析,例1 计算：,解：,想一想：此小题用到了幂的哪条基本性质呢？,平方运算,算术平方根,-4 0 1-1,a,（-4）2=16 02=0 12=1（-1）2=1,4 0 1 1,观察：两者有什么关系？,填一填：,2,0.1,0,如何用字母表示你所得的公式呢？,思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由,归纳总结,的性质,一般地，a(a0).,例3：化简,解：,你还有其他解法吗？,想一想：如何化简 呢？,=|a|,a,-a,辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错,（）,（）,（）,（）,议一议：如何区别 与？,从运算顺序看,从取值范围看,从运算结果看,先开方,后平方,先平方，后开
8、方,a0,a取任何实数,a,|a|,用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_ 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.,概念学习,数,表示数的字母,想一想：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？,代数式,整式,分式,二次根式,当堂练习,1.化简 得（）A.4 B.2 C.4 D.-4,C,2.当1x3时，的值为（）A.3 B.-3 C.1 D.-1,D,3.化简：（1）;（2）;（3）;（4）.,4.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是.,1,5.利用 a（a 0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；
9、(5)；(6)0.,课堂小结,二次根式,性质,拓展性质,|a|（a为全体实数）,见学练优本课时练习,课后作业,16.2 二根次式的乘除,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 二次根式的乘法,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.理解二次根式的乘法法则及积的算术平方根的性质.（重点）2.合理简洁地进行二次根式的乘法运算.（难点）,导入新课,下面是意大利艺术家列奥纳多达芬奇所创作世界名画，请根据不同的已知条件，分别表示出它的面积.,(1)当长为2m，宽为3n,则面积S=;,(2)当长为,宽为 时，则S=;,6mn,你知道这是什么运算？又如何进行计算呢？,讲授
10、新课,1.计算下列各式:,6,6,20,20,30,30,观察计算结果,你发现什么规律？,用你发现的规律填空：,猜一猜：当a0,b0时，与 大小关系？,=,=,证一证：,根据积的乘方法则，有,所以,就是ab算术平方根.,而 表示ab算术平方根.,即,归纳总结,二次根式的乘法法则,首页,文字叙述,算术平方根的乘积等于各个被开方数积的算术平方根.,要点提醒,a,b都必须是非负数.,典例精析,例1 计算:,解:,试回顾如何计算3a22a3=.,还记得单项式乘以单项式的法则吗？,想一想：如何计算呢？,6a5,解：,归纳总结,二次根式的乘法扩充法则,第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；,第二
11、步：根式和根式按公式相乘.,利用它可以进行二次根式的化简.,这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”,解：（1）；,例2 计算：,（1）；（2）,（2）,例3 计算：,（1）；（2）；（3）,解：（1）；,（2）；,（3）,议一议：在化简 时，小明是这样进行的：,解：,假如你是他的数学老师，你认为他做对了吗？为什么？如果不对，请改正过来！,答：不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质.,正确解法：,要点提醒,在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件即被开方数的每个因数都必须为非负数.对于不能直接用的，一定要先进行适当转化.,原来如此,现在你能
12、用上面的性质说明 吗？,抢答游戏：将从1至100的非平方数的算术平方根的结果快速说出来.竞赛方法：1.四人一组；2.一人报数，一人评判并记录；3.两位同学抢答结果，此为第一轮比赛结果；4.胜者与第三人按同样的方法；5.最后决出本小组的冠军;6.本小组成员用掌声祝贺冠军获得者.,练一练 A.抢答：,B.陷阱题：,C.综合题：,当堂练习,1.下列运算正确的是（）,A.,B.,C.,D.,2.填空：,D,2,3.比较下列两组数的大小（在横线上填“”“”或“=”）.,4.若 成立，则x的取值范围是.,5.设长方形的面积为S，相邻两边分别为，.,(1)已知,，求S；,解：由题意得：,S=,=,=,（2）
13、已知,，求S.,解：由题意得：,S=,=,=,6.设正方形的面积为S，边长为.,(1)已知S=50，求；,解：由题意得：,=,=,=,(2)已知S=242，求.,解：由题意得：,=,=,=,课堂小结,二次根式乘法,法则,性质,拓展法则：,见学练优本课时练习,课后作业,16.2 二根次式的乘除,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 二次根式的除法,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.理解二次根式的除法则及商的算术平方根的性质.掌握最简二 次根式的特点.（重点）2.合理简洁地进行二次根式的除法运算.（难点）,导入新课,问题1 设长方形的面积为S，其中一边长
14、为a,则另一边长表示为：；,问题2 已知S=，a=,那么求另一边长时如何列式?答：；,问题3 上面列式是什么运算?又该如何计算呢?,二次根式的除法运算,讲授新课,1.计算下列各式:,观察计算结果,你发现什么规律？(请用式子表示这一规律).,（a0，b0）,归纳总结,二次根式的除法法则,首页,文字叙述,算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.,想一想：除式中被开方数b为什么不能等于0?,二次根式的商的算术平方根的性质,把二次根式的除法法则反过来，就得到,典例精析,例1 计算,解:,小提醒：运算结果要最简.,小提醒：除式是分数（或分式的）先要转让化为乘法再进行运算.,试回顾如何计算?.,归纳总结
15、,二次根式的乘法扩充法则,想一想：如何计算 呢？,解:,首页,二次根式的商的算术平方根的性质,类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到,我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.,小提醒：记住成立的条件！,利用它可以进行二次根式的化简.,例2 化简,解:,典例精析,还有其他解法吗?,补充解法：,A组：,分母有理化,把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.,化简:,解:,典例精析,例2 化简,B组：,解:,定义,满足如下两个特点：,（1）被开方数中不含分母；,（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次
16、根式.,(简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方）,当堂练习,1.计算 的结果是（）,A.3 B.5 C.6 D.8,A,2.把 分母有理化得(),A.B.C.D.,3.若使等式 成立，则实数k取值范围是（）,D,B,4.在二次根式 中属于最简二次根式的是.,5.已知长方形的面积S=2cm2,若一边长a=cm,则另一边长b=cm.,6.已知xy0，化简：,7.化简：,解：,课堂小结,二次根式除法,法则,性质,拓展法则：,相关概念,分母有理化,最简二次根式,见学练优本课时练习,课后作业,16.3 二根次式的加减,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 二次根
17、式的加减,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.二次根式的加减运算.（重点）2.二次根式的加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算.（难点）,导入新课,1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：,2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?,几个二次根式化简后被开方数相同,为一组；,为一组.,讲授新课,问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？,7.5dm,5dm,1.怎样列式求两个正方形边长的和?,S=8dm2,S=18dm2,2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不
18、能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.,（化成最简二次根式）,（逆用分配律）,在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板,解：列式如下：,上面合并被开方数相同二次根式的依据是什么?怎样合并被开方数相同的二次根式?,逆用分配律,系数相加减，二次根式部分不变.,1.合并同类项：,（2）x2+2x2+4y=;,（1）3x2+2x2=;,2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：,解：,3.能不能再进行计算?为什么?,答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.,5x2,3x2+4y,归纳总结,二次根式的加减法法则,一般地，二
19、次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.,要点提醒,1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.,2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.,典例精析,例1 计算,解：,解：,解：原式,思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论?,二次根式的加减与整式的加减一样，即整式的加减的实质是合并同类项；二次根式的加减的实质是合并被开方数相同的最简二次根式,当堂练习,1.二次根式：中，与 能进行合并的是（）,A.,B.,C.,D.,2.下列运算中错误的是（）,A.,B.,C.,D.,A,C,3.若，则y=.,3,4.三角形的
20、三边长分别为 则这个三角形的周长为.,5.计算:,课堂小结,二次根式加减,法则,注意,运算顺序,运算原理,一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.,运算律仍然适用,与实数的运算顺序一样,见学练优本课时练习,课后作业,16.3 二根次式的加减,第十六章 二次根式,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 二次根式的混合运算,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.类比整式及数的混合运算进行二次根式的混合运算.（重点）2.正确地进行二次根式的混合运算和求含有二次根式的代数式的值.（难点）,导入新课,1.单项式与多项式、多项式与多
21、项式的乘法法则法则分别是什么?,3.整式乘法运算中的乘法公式有哪些?,2.多项式与单项式的除法法则是什么?,m(a+b+c)=ma+mb+mc,(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb,平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2;,完全平方公式：（a+b)2=a2+2ab+b2;,（a-b)2=a2-2ab+b2.,讲授新课,二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.,分析：把二次根式看成“项”,就可类比整式的运算进行.(1)、（2）类似于整式与整式乘法的“多项式乘以单项式”、“多项式除以单项式”.然后按照二次根式相应的运算法则进行.,典
22、例精析,例1 计算：,解：,分析：把二次根式看成“项”,就可类比整式的运算进行.(3)类似于整式与整式乘法的“多项式乘以多项式”，然后按照二次根式相应的运算法则进行.,解：,此处应用了(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.,变式训练：,解：原式,解：原式,例2 计算：,解：,变式训练：,计算：,解：原式,解：原式,例3 已知，试求x2+2xy+y2的值.,解：x2+2xy+y2=（x+y)2,把 代入上式得,原式=,变式训练：,已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.,解：,当堂练习,1.下列计算正确的是（）,B,2.已知，则 的值为（）,A.2 B.4 C.5 D.7
23、,B,3.计算：,5,4.设 则a b.(填“”“”或“=”）,=,5.计算：,6.已知，求 的值.,解：原式,解：原式,课堂小结,二次根式混合运算,乘法公式,化简求值,分母有理化,化简已知条件和所求代数式,(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(x+a)(x+b)=x2-(a+b)x+ab,见学练优本课时练习,课后作业,小结与复习,第十六章 二次根式,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,新人教版八年级数学下册教学课件,要点梳理,1二次根式的概念一般地，形如_(a0)的式子叫做二次根式.对于二次根式的理解：带有二次根号；被开方
24、数是非负数，即a0.易错点 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.,2二次根式的性质3最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式(1)被开方数不含_；(2)被开方数中不含能_的因数或因式,开得尽方,分母,4二次根式的乘除 乘法：_(a0，b0)；除法：_(a0，b0)可以先将二次根式化成_，再将_的二次根式进行合并,被开方数相同,最简二次根式,5二次根式的加减：,类似合并同类项,注意平方差公式与完全平方公式的运用！,6二次根式的混合运算,有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.,考点讲练,例1 使代数式 有意义的x的取值范围
25、是.,x 且x3,1.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x3 B.x3 C.x3 D.x3,A,2.若 则（）A.x6 B.x0 C.0 x6 D.x为一切实数,A,例2 若 求 的值.,解：x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2,则,【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为0.,3.若实数a,b满足 则.,1,初中阶段主要涉及三种非负数：0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.,解：由数轴可以确定a0所以所以原式=-a-(-a)+b=b.,【解析】化简此代数式的
26、关键是能准确地判断a,b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.,4.若1a3,化简 的结果是.,2,5.计算：.,-6,例4 计算：,解：原式,【解析】：先算乘方，再算乘除，最后算加减.,例5 先化简，再求值：，其中.,解：当 时，原式,【解析】：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.,6.先化简，再求值：,其中,解：原式,当 时，原式,例6 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）,解：,7.若等腰三角形底边长为，底边的高为 则三角形的面积为.,课
27、堂小结,见学练优本章小结与复习,课后作业,17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 勾股定理,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）,导入新课,算一算：,我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：,毕达哥拉斯,穿越毕达哥拉斯做客现场,问题1 试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？,正方形A的面积,正方形B的面积,正方形C的面积,+,=,问题2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质
28、吗？,一直角边2,另一直角边2,斜边2,+,=,问题3 图中每个小方格的面积均为1，请分别计算出图、中A、B、C的面积，看看能得出什么结论？,图,图,A,B,A,B,C,C,16,9,25,4,9,13,问题4 图中的这个直角三角形有三边有什么样的数量关系呢？,一直角边2,另一直角边2,斜边2,+,=,讲授新课,猜一猜 一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2)吗？,赵爽,拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.,a,b,b,c,a,b,c,c2,b2,a2,=,+,这种用拼图的验证勾股定理的方法叫做弦图法,a,a,b,c,S大正方形c2,S小
29、正方形（b-a）2,S大正方形4S三角形S小正方形,赵爽弦图,b-a,证明：,证一证,“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.,赵爽弦图,2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.建议同学们课外认真阅读P30勾股定理的证明.,归纳总结,在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.,a、b、c为正数,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为
30、c,那么a2+b2=c2.,公式变形：,即：勾2+股2=弦2,勾股定理,例1 在RtABC中，C=90,典例精析,（1）已知a=b=5,求c;,（2）已知a=1,c=2,求b;,(2)据勾股定理得,（3）已知a：b=1：2，c=5,求a;,（4）已知b=15，A=30,求a,c.,在RtABC中，C=90,x2+(2x)2=52,解得,(4),因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得,(2x)2-x2=152,解得,例2 已知：RtABC中，AB，AC,则BC=.,5 或,温馨提示 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一
31、定要进行分类讨论，否则容易丢解.,当堂练习,1.如图所示，字母B所代表的正方形的面积是（）A.12 B.13 C.144 D.194,C,2.下列说法中正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c2,C,3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是.,25或7,4.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为.,5.在ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积.某学习小组经过合作
32、交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.,解：如图，在ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2,解之得，x=9.,AD=12.,课堂小结,勾股定理,内容,在RtABC中，C=90,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.,注意,在直角三角形中,看清哪个角是直角,已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论,见学练优本课时练习,课后作业,17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲
33、授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 勾股定理在实际生活中的应用,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.会运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.（重点）2.灵活运用勾股定理进行计算.（难点）,导入新课,问题 在RtABC中，已知BC=6,AC=8,(1)则AB=;,(2)则AB边上的高是;,(3)它的面积是;,(4)它的周长是.,10,4.8,24,24,讲授新课,例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?,问题1 木板进门框有几种方法?,问题2 你认为选择哪种方法比较好?你能说出你这种方法通过的最大长度是什么?,解：在RtAB
34、C中，根据勾股定理，,AC2=AB2+BC2=12+22=5,因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.,例2 如图所示，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,问题1 下滑前梯子底端B离墙角O的距离是多少?,问题2 下滑前后梯子与墙面、地面构成的两个直角三角形，什么量没有发生变化?,问题3 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度?如何计算?,解：可以看出，BD=OD-OB.,在RtABC中，根据勾股定理，,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.,OB=1.,在RtCOD中，
35、根据勾股定理，,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.,利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：,（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；,（2）构造直角三角形；,（3）利用勾股定理等列方程；,（4）解决实际问题.,归纳总结,思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？,证明：在RtABC 和RtA B C 中，C=C=90，根据勾股定理，得,已知：如图，在RtABC 和RtA B C 中，C=C=9
36、0，AB=A B，AC=A C 求证：ABCA B C,探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？,0,1,2,3,4,探究思路：把握题意找关键字词连接相关知识建立数学模型（建模）,提示,直角边长为整数2，3的直角三角形的斜边长为.,0,1,2,3,4,解：,l,A,B,2,C,“数学海螺”,利用勾股定理作出长为 线段.,1,1,用同样的方法，你能否在数轴上画出表示，,利用勾股定理表示无理数的方法,（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.,归纳总结,（2）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点
37、左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.,当堂练习,1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行（）A.8米 B.10米 C.12米 D.14米,B,2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5 B.6 C.7 D.25,第1题图,第2题图,A,3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短径是 cm.,1
38、3,4.如图，在55正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出两个三角形，一个三角形的长分别，另一个三角形的三边长分别为.(画出的两个三角形除顶点外可以重合外，其余部分不能重合）,5.小明听说“武黄城际列车”已经经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石油A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80km,BC=20km,ABC=120,请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据：）（2）若客车的平均速度是60km/h,市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h,为了最短
39、时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由.(不计候车时间）,解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，,在ABC中，,（2）乘客车需时间（小时）；,乘列车需时间（小时）；,所以选择城际列车.,课堂小结,勾股定理的应用,用勾股定理解决实际问题,用勾股定理解决几何问题,解决“HL”判定方法证全等的正确性问题,形象说明无理数与数轴的关系,见学练优本课时练习,课后作业,17.2 勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 勾股定理的逆定理,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不
40、是直角三角形.（重点）2.勾股定理的逆定理的证明.（难点）,导入新课,1.勾股定理的内容是什么?,如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.,b,c,a,2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：,a3，b4 a2.5，b6 a4，b7.5,c=5,c=6.5,c=8.5,3.分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样的呢？,讲授新课,具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第个结和第个结钉牢（拉直绳子）.这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.,动手验证,画图验证,（特别说明，上面画出
41、的三角形都是用几何画板按比例画的，结果也都是直角三角形）.,发现结论,2.52+62=6.52,42+7.52=8.52,最长边6.5所对的角是直角,最长边8.5所对的角是直角,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,猜 想:,？,已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形,构造两直角边分别为a,b的RtABC,验证:,证明：作RtABC，使C=900，AC=b，BC=a,ABC ABC(SSS),C=C=900 即ABC是直角三角形.,则,勾股定理的逆定理,归纳总结,如果三角形的三边长a、b、c满足 a2+b2
42、=c2那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角，最长边所对角为直角.,特别说明：,典例精析,例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？,(1)a=15，b=8，c=17;,解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.,(2)a=13，b=14，c=15;,解：因为132+142=365，152=225，所以132+142152，不符合勾股定理的逆定理，
43、所以这个三角形不是直角三角形.,(3)a=1，b=2，c=;,(4)a:b:c=3:4:5;,解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，C是直角.,勾股数：,像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.,常见勾股数：,奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等,勾股数拓展性质：,一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同
44、样是勾股数.,观察与思考：,命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.,命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,观察下列命题，它们之间有什么联系与区别？,命题1与命题2的条件与结论正好相反.,题设与结论正好_的两个命题叫做_命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 _.,一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是_，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.,相反,互逆,正确的,逆命题,说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？两条直线平行，内错角
45、相等；如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；全等三角形的对应角相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.,内错角相等，两条直线平行.成立,如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.不成立,对应角相等的三角形全等.不成立,在角平分线上的点到角的两边距离相等.成立,当堂练习,1.小颖要求ABC最长边上的高，测得AB=8,AC=6,BC=10,则可知最长边上的高是（）A.5 B.0.48 C.4.8 D.48,C,2.在ABC中，A,B,C的对边分别a,b,c.若C-B=A,则ABC是直角三角形；若c2=b2-a2,则ABC是直角三角形,且C=900；若(c+a)(c-a)=b2,则A
46、BC是直角三角形;若A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4,A,3.一根24m的绳子，折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为.,6m,8cm,10cm,直角三角形,4.命题：对顶角相等，其逆命题是：.,相等的角是对顶角,5.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求ABC的面积.,解：延长AD并在截取DE=AD,即ABC的面积是6.,E,课堂小结,勾股定理的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.,如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是
47、直角三角形.,注意,最长边不一定是c，C也不一定是直角.,勾股数一定是正整数,见学练优本课时练习,课后作业,17.2 勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 勾股定理的逆定理的应用,新人教版八年级数学下册教学课件,情境引入,1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.（难点）,导入新课,1.勾股定理及其逆定理的内容：,a2+b2=c2(a,b为直角边，c斜边）,RtABC,勾股定理：,勾股定理的逆定理：,a2+b2=c2(a,b为较短边，c为最长边）,RtABC，且C是直角.,2.等腰
48、 ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是 cm.,8,3.已知 ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形，是最大角.,直角,A,讲授新课,例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?,解：根据题意，,PQ=161.5=24,PR=121.5=18,QR=30.,因为242+182=302，即PQ2+P
49、R2=QR2,所以QPR=90.,由“远航”号沿东北方向航行可知，1=45.因此2=450，即“海天”号沿西北方向航行.,例2 已知：如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.,连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.,提示,解：连接AC.,如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.,变式训练,解：连接AC，ADC=90，AD=4，CD=3，AC2=AD2+CD2=42+32=25，又AC0，AC=5，又BC=12，
50、AB=13，AC2+BC2=52+122=169，又AB2=169，AC2+BC2=AB2，ACB=90，S四边形ABCD=SABC-SADC=30-6=24(m2),当堂练习,1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4 B.6 C.16 D.55,C,2.如图,ABC的顶点A,B,C,在边长为1的正方形方格的格点上，BDAC于点D,则BD的长为（）A.B.C.D.,C,3.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏
