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1、2014北师大数学知识点总结新北师大版数学知识点总结 第一章 三角形的证明 1、等腰三角形 三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等
2、的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 3、线段的垂直平分线 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点
3、距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 如何用尺规作图法作出角平分线 第
4、二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式. 1 2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 大于等于0(0) 0和正数 不小于0 非正数 小于等于0(0) 0和负数 不大于0 二. 不等式的基本性质 三. 不等式的解集: 1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与
5、方程的解不同. 3. 不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: 边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; 方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式: 1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式. 2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向. 3. 解一元一次不等式的步骤:去分母; 去括号; 移项; 合并同类项; 系数化为1(不等号的改变问题) 4. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用
6、题相类似,即: 审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; 设: 设出适当的未知数; 列: 根据题中的不等关系,列出不等式; 解: 解出所列的不等式的解集; 答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式与一次函数 六. 一元一次不等式组 2 1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3.
7、 解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且ab 图示 叙述语言表达 xa xbxa xa xbxbab两大取较大 xa ab两小取小 axb ab大小交叉中间找 在大小分离没有解 无解 ab(是空集) 第三章 图形的平移与旋转 一、平移 1、定义 在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 2、性质 平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。 二、旋转 1、定义 在平面内，将一个
8、图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。 3 第四章 分解因式 一. 分解因式 1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法 1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项
9、式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: ab+ac=a(b+c) 2. 概念内涵: (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma+mb-mc=m(a+b-c) 3. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法 1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 2. 主要公式: (1)平方差公式: a2
10、-b2=(a+b)(a-b)(2)完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 3. 易错点点评: 因式分解要分解到底.如x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)就没有分解到底. 4. 运用公式法: (1)平方差公式: 应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项(不含符号)都是4 一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号. (2)完全平方公式: 应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方; 还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;
11、(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 十字相乘法: 1.对于二次三项式ax2+bx+c,将a和c分别分解成两个因数的乘积,a=a1a2 , a1c1c2c=c1c2, 且满足b=a1c2+a2c1,往往写成如: ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2) 2. 二次三项式x2+px+q的分解: a2 的形式,将二次三项式进行分解. p=a+b q=ab 11abx2+px+q=(x+a)(x+b) 3. 规
12、律内涵: (1)理解:把x2+px+q分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同. (2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 4. 易错点点评: (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 5 第五章 分式 一. 分式 1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A除以整式B,可以表示成式,对于任意一个分式,分
13、母都不能为零. AA的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分BB整式2. 整式和分式统称为有理式,即有: 有理式 分式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. AAM=,BBMAAM=BBM(M0) 4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二. 分式的乘除法 1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相
14、乘. 即: ACACACADAD=, = BDBDBDBCBC2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. AnA即: =nBBn(n为正整数) nnAnAAnA逆向运用n=,当n为整数时,仍然有=n成立. BBBB3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三. 分式的加减法 1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. (1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 6 上述法则用式子表示是:ABAB=
15、CCC(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减; 上述法则用式子表示是:3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四. 分式方程 1. 解分式方程的一般步骤: 在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程; 解这个整式方程; 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去. 2. 列分式方程解应用题的一般步骤:审清题意;设未知数;根据题意找相等关系,列出(分式)方程;解
16、方程,并验根;写出答案. 第六章 四边形性质探索 1、平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等。 平行四边形相邻的角互补，对角相等 平行四边形的对角线互相平分。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 常用点：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 2、平行四边形的判定 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 5、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长高=ah 7 ACADBCADBC= BDBDBDBD
