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1、34 函数的单调性与曲线的凹凸性第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 1讨论函数f(x)=x-sinx在0,2p上的单调性。 因为f(x)=1-cosx0 p上恒成立f(x)=1-cosx0，而等号仅在x=0和由于cosx1，得0,2x=2p两个孤立点上成立， 可知，函数f(x)=x-sinx在0,2p上单调增加。 因为f(x)=1-cosx0时，ln(1+x)x-x210当x0时恒成立， -1+x=由于f(x)=1+x1+x知函数f(x)=ln(1+x)-(x-而f(0)=ln(1+0)-(0-12x)在0,+)上单调增加， 2120)=0， 2112x)0
2、，亦即ln(1+x)x-x2。 22从而，当x0时f(x)=ln(1+x)-(x-证毕。 1； x1令f(x)=2x-(3-)， x当x1时，2x3-由于f(x)=11xx-1-2=0当x1时恒成立， x2xx知函数f(x)=2x-(3-)在1,+)上单调增加， 而f(1)=21-(3-)=0， 从而，当x1时f(x)=2x-(3-)0，亦即2x3-证毕。 4 1x111x1。 x第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 当0xx+13x； 3令f(x)=tanx-(x+213x)， 32由于f(x)=secx-(1+x)， f(x)=2sec2xtanx-2x
3、f(x)=2(2secxsecxtanxtanx+sec2xsec2x)-2 =2(2sec4xsin2x+sec4x)-2 =4sec4x(2sin2x+1)-2 44(2sin2x+1)-2 - secx 1=8sin2x+2， 显见f(x)=8sinx+20恒成立， 知函数f(x)=2secxtanx-2x在(0,而f(0)=2sec0tan0-20=0， 可知f(x)0当0xf(0)， 2p2时恒成立， 2由此知函数f(x)=secx-(1+x)在(0,22p2)上单调增加，有f(x)f(0)， 再因f(0)=sec0-(1+0)=1-1=0， 再知f(x)=secx-(1+x)0当0
4、xf(0)， 13px)在(0,)上单调增加， 323又再因f(0)=tan0-(0+0)=0， 1313px)0当0x时恒成立， 23p13亦即，当0xx+x，证毕。 23最终确定f(x)=tanx-(x+当x0时，1+xln(x+1+x)1+x。 令f(x)=1+xln(x+1+x)-1+x， 2222 5 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 由于f(x)=ln(x+1+x)+x21x+1+x1x+1+x22(1+x1+x2)-x1+xx1+x22=ln(x+1+x)+x=ln(x+1+x2) 而因f(x)=21+x2+x1+x2-1x+1+x2(1+x
5、1+x2)=11+x20 知函数f(x)是增函数，即当x0时，有f(x)f(0)， 再因f(0)=ln(0+1+0)=0， 可知当x0时f(x)0恒成立， 从而知函数f(x)=1+xln(x+1+x)-1+x在0,+)上单调增加，即当x0时，有f(x)f(0)， 而f(0)=1+0-1+0=0， 从而，当x0时f(x)=1+xln(x+1+x)-1+x0， 亦即1+xln(x+1+x)1+x。 证毕。 4证明方程x+x+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根。 令f(x)=x+x+1， 则由于f(x)=5x+10恒成立， 知函数f(x)=x+x+1是增函数， 因为f(-1)=(-1)-1+
6、1=-10， 可知曲线f(x)=x+x+1在区间(-1,0)内，从-1单调增加到+1，亦即曲线在区间(-1,0)内仅穿过x轴一次， 亦即，方程x+x+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根。 6 5554522222222555第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 5求下列函数的凹凸区间以及拐点： y=3x-4x+1； 函数y=3x-4x+1的定义域为(-,+)， 由y=12x-12x， 得y=36x-24x=36x(x-)，知函数有两个二阶导数的零点x=0和x=无二阶不可导点， 2324343232，3x - + + 2x- - - + 3 g g 作图
7、表分析： 2 0 3y + - + y 可知，曲线y=3x-4x+1分别在(-,0)和(,+)内是凹的，在(0,)内是凸的， 43232311， 2721143又知曲线y=3x-4x+1有两个拐点(0,1)和(,)。 3272243可知，曲线y=3x-4x+1分别在(-,0)和(,+)内是凹的，在(0,)内是凸33由于y(0)=1，y=3-4+1=43232323的， 函数y=4-3x-9=4-(x-9)的定义域为(-,+)， 1325-12由y=-(x-9)3，得y=(x-9)3，知函数无二阶导数的零点，有一个二阶39不可导点x=9， 易见，当x9时，y9时，y0， 可知，曲线y=4-3x-
8、9在(-,9)上是凸的，在(9,+)上是凹的， 由于y(9)=4-39-9=4， 又知曲线y=4-3x-9有一个拐点(9,4)。 y=xe； 7 x第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 函数y=xe的定义域为(-,+)， 由y=(x+1)e，得y=(x+2)e，知函数有一个二阶导数的零点x=-2，无二阶不可导点， 易见，当x-2时，y-2时，y0， 可知，曲线y=xe在(-,-2)上是凸的，在(-2,+)上是凹的， 由于y(-2)=-2e，又知曲线y=xe有一个拐点(-2,-2e)。 y=x-ln(1+x)； 函数y=x-ln(1+x)的定义域为(-1,+)，
9、 -2xxxxx-2由y=1-的，无拐点。 y=x11=，得y=0恒成立，知曲线y=x-ln(1+x)是凹(1+x)21+x1+x2x； 1+x22x的定义域为(-,+)， 21+x函数y=(1+x2)-x2x1-x2=2由y=2， (1+x2)2(1+x2)2-2x(1+x2)2-(1-x2)2(1+x2)2x4x(x-3)(x+3)=得y=2， (1+x2)3(1+x2)4知函数有三个二阶导数的零点x=0，x=3，无二阶不可导点， x - - + + x-3 - - - + 作图表分析： x+3 - + + + g g g -3 0 3 y - + - + y 可知，曲线y=2x分别在(-
10、,-3)和(0,3)上是凸的，分别在(-3,0)和1+x2(3,+)上是凹的， 8 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 由于y(0)=32320=y(3)=， =0221+31+0又知曲线y=y=earctanx332x(3,)。 (-3,-)有三个拐点，和(0,0)221+x2。 arctanx函数y=e由y=e的定义域为(-,+)， arctanx1， 21+xearctanx1-2xarctanx=(1-2x)， +e(1+x2)2(1+x2)2(1+x2)2得y=earctanx1，无二阶不可导点， 211易见，当x0，当x时，y 22n研究函数f(
11、x)=x， 由于f(x)=nxn-1，f(x)=n(n-1)xn-2， 当x0时，f(x)0恒成立， 可知曲线f(x)=x在(0,+)上是凹的， 即由曲线凹凸定义，凹曲线f(x)=x在(0,+)上的任意相异两点x，y，恒有 nnf(x+yf(x)+f(y)， 22x+ynxn+yn)成立， 229 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 证毕。 cosx+ycosx+cosypp。 2222研究函数f(x)=cosx， 由于f(x)=-sinx，f(x)=-cosx， 当-p2xp2时，f(x)22x+ycosx+cosy亦即 cos， 22x+ycosx+co
12、sypp即为 cos成立， 2222证毕。 7.问a及b为何值时，点(1,1)为曲线y=ax+blnx的拐点？ 函数y=ax+blnx的定义域为(0,+)， 33bb6ax3-b由于y=3ax+，y=6ax-2=， 2xxx2得函数有一个二阶导数零点x=3b，无二阶不可导点， 6a3于是，要使点(1,1)为曲线y=ax+blnx的拐点，利用拐点定义，以及拐点是曲线b=1a=13上的点的要求，应使6a，亦即。 b=61=a13+bln18试确定曲线y=ax+bx+cx+d中的a，b，c，d，使得在x=-2处曲线有水平切线，(1,-10)为拐点，且点(-2,44)在曲线上 函数y=ax+bx+cx
13、+d的定义域为(-,+)， 由于y=3ax+2bx+c，y=6ax+2b， 10 23232第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 要使曲线在x=-2处有水平切线，应使y=3a(-2)+2b(-2)+c=0， 要使曲线以(1,-10)为拐点，应使y=6a1+2b=0且y=a+b+c+d=-10， 要使点(-2,44)在曲线上，应使y=a(-2)+b(-2)+c(-2)+d=44， 3223a(-2)2+2b(-2)+c=012a-4b+c=03a+b=06a1+2b=0联立方程组即为， a+b+c+d=-10a(-2)3+b(-2)2+c(-2)+d=44解得a=1，b=-3，c=-24，d=16。 11 a+b+c+d=-10-8a+4b-2c+d=44
