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1、二元一次方程组与三元一次方程组的行列式解法二元一次方程组与三元一次方程组的行列式解法 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题 设有二元线性方程组 a11x+a12y=b1 ax+ay=b22221 (1) 用加减消元法容易求出未知量x，y的值，当a11a22 a12a210 时，有 b1a22-a12b2x=a11a22-a12a21 y=a11b2-b1a21a11a22-a12a21 (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源我
2、们称4个数组成的符号 a11a12a21a22=a11a22-a12a21 为二阶行列式它含有两行，两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫做行列式的元素从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 b1a22-a12b2=a11a21a12a22b1b2a12a22b1b2，a11b2-b1a21=a11a21b1b2b1b2， 如果记D=，Dx=a12a22，Dy=a11a21则当D0时，方程组(1
3、) 的解(2)可以表示成 b1x=a12ba22Dx=2a11a12Da21a22a11b1D， y=y=a21b2， (3) a11a12Da21a22象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆 首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的分子中的行列式，x的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而y的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的 1 例1 用二阶行列式解线性方程组 2x+4y=1 x+3y=2解：这时 D=1224=23-41=20， 1343=13-42=-5，Dy=Dx=211=22-11=3 ， 2因此，方程组的解是
4、 x=DyDx-5，3=y=， D2D2对于三元一次线性方程组 a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2 ax+ay+az=b3233331 (4) 作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念我们称符号 a11a21a31a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 (5) 为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号 2例2 -4213321 5=23
5、5+112+(-4)32-232-1(-4)5-231=30+2-24-12+20-6=10令 D=a21a31a11a12a22a32a23 a33a13b1Dx=b2b3a12a22a32a13a11b1b2b3a13a11a12a22a32b1b2 b3a23，Dy=a21a33a31a23，Dz=a21a33a31当 D0时，(4)的解可简单地表示成 DyDxD， ， z=z x=y=DDD它的结构与前面二元一次方程组的解类似 (6) 2 例3 解线性方程组 2x- y +z =03x+2y-5z=1 x+3y-2z=402-11解：D=32-5=28， Dx=113-2420Dy=3114所以，x=-12321-5=13， -21-10231=21 4-5=47， Dz=31-2Dy47D213Dx13， ， z=z= y=D284D28D28a例4 已知-bb0a0=0，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数) 011ab0解：-ba0=a2+b2，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零因此，当a=0且b=0101时给定行列式等于零 为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识 思考题： 当a、b为何值时，行列式 D=aa2b=0 2ba提示：2ab=ab(b-a) b2 3
