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1、函数的幂级数展开 2 函数的幂级数展开 (一) 教学目的： 掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开熟记一些初等函数的幂级数展开式. (二) 教学内容： 泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式 基本要求： (1) 掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开 (2) 学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初等函数或作间接展开 (2) 对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题 Taylo
2、r级数 设函数f(x)在点x0有任意阶导数. Taylor公式： f(x)=k=0nf(k)(x0)(x-x0)k+Rn(x)= k!f(x0)f(n)(x0)2=f(x0)+f(x0)(x-x0)+(x-x0)+L+(x-x0)n+Rn(x). 2!n!余项Rn(x)的形式: Peano型余项: Rn(x)=o(x-x0)n, f(n+1)(x)Lagrange型余项: Rn(x)=(x-x0)n+1, x在x与x0之间. (n+1)!f(n+1)(x0+q(x-x0) 或 Rn(x)=(x-x0)n+1, 0q0 )内等于其Taylor级数( 即可展 )的充要条件是: 对xU(x0 , r
3、), 有limRn(x)=0. 其中Rn(x)是Taylor公式中的余项. n证 把函数f(x)展开为n阶Taylor公式, 有 |f(x)-Sn(x)|=|Rn(x)| , f(x)=limSn(x), limRn(x)=0. nn定理3 ( 充分条件 ) 设函数f(x)在点x0有任意阶导数 , 且导函数所成函数列f(n)(x)一致有界, 则函数f(x)可展. 证 利用Lagrange型余项 , 设 |f(n)(x)|M, 则有 |x-x0|n+1f(n+1)(x)n+1|Rn(x)|=(x-x0)M0 , ( n ). (n+1)!(n+1)!例3 展开函数f(x)=x3-2x2+x+3,
4、 1） 按 x 幂; 2）按( x+1 )幂. 解 f(0)=x3-2x2+x+3 , f(0)( 0 )=3 , f(0)( -1 )=-1 ; f=3x2-4x+1 , f( 0 )=1 , f( -1 )=8 ; f=6x-4, f( 0 )=-4 , f( -1 )=-10 ; f=6, f( 0 )=6 , f( -1 )=6 ; f(4)=L=f(n)=L=0. 所以 , 1）f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2f(0)3x+x=3+x-2x2+x3. 2!3!可见 , x的多项式Pn(x)的Maclaurin展开式就是其本身. 2） f(x)=f(-1)+f(-1)(x+1
5、)+f(-1)f(-1)(x+1)2+(x+1)3= 2!3!23 =-1+8(x+1)-5(x+1)+(x+1). 二. 初等函数的幂级数展开式 为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开. xn1 e=, x( - , + ). ( 验证对xR ，f(n)(x)=ex在 n=0n!x区间 0 , x ( 或 x , 0 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). a=axxlnaxnlnna=, |x| +. n!n=0nx2n+1 2 sinx=( -1 ), x( - , + ). (2n+1)!n=0x2n cosx=( -1 ), x( - , + ). (2n)!n
6、=0n可展是因为f(n)np(x)=sinx+a在( - , + )内一致有界. 3. 二项式 (1+x)m的展开式: m为正整数时, (1+x)m为多项式, 展开式为其自身; m为不是正整数时, 可在区间( -1 , 1 )内展开为 (1+x)m=1+mx+m(m-1)2m(m-1)(m-2)L(m-n+1)nx+L+x+L 2!n!对余项的讨论可利用Cauchy余项. 进一步地讨论可知 ( 参阅. 微积分学教程Vol 2 第二分册.): m-1时, 收敛域为( -1 , 1 ); -1m0时, 收敛域为 -1 , 1 . 利用二项式 (1+x)m的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如
7、取 m=-1,得 1=1-x+x2-L+( -1 )nxn+L， x( -1 , 1 ). 1+x1m=-时, 211+x=1-11321353x+x-x+L, x( -1 , 1 . 224246 间接展开: 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻. nnx2x3n-1xn-1x+-L+( -1 )+L=( -1 ) ln(1+x)=x-.x( -1 , 1 23nnn=1事实上 , 利用上述x1的展开式, 两端积分 , 就有 1+xxdtln(1+x)=
8、( -1 )ntndt= 01+t0n=0nxn+1n-1x,x( -1 , 1 ). =( -1 )=( -1 )n+1nn=0n=1n验证知展开式在点x=1收敛, 因此 , 在区间( -1 , 1 上该展开式成立. x3x5x7+-+L= arctgx=x-3571=由21+xx2n+1( -1 ), x -1 , 1 . 2n+1n=0n( -1 )n=0nx2n, x( -1 , 1 ). 两端积分,有 xxdtn2nn arctgx=(-1)tdt=(-1)t2ndt 201+t00n=0n=0xx2n+1 =( -1 ), 2n+1n=0n验证知上述展开式在点x=1收敛, 因此该展开式在区间 -1 , 1 上成立. 例4 展开函数f(x)=1. 3x2-4x+1131解 f(x)=-=21-3x1-x1n+1nn3x-x 2n=0n=01n+11 =( 3-1 ) xn , |x| . 2n=03 例5 展开函数f(x)=(1+x)ex. xn解 f(x)=e+xe=+n=0n!xxxn+1=n=0n!xnxn +n=0n!n=1(n-1)!1xnxn1n =1+=1+x (n-1)!n=1n!n=1(n+1)!n=1n!1+nn1+nn =1+x= x, |x| +. n!n!n=1n=0
