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1、利用导数讨论函数性质第二章 一元微分学 第六节 利用导数讨论函数性质 本节内容包括：利用导数讨论函数的单调性、求函数极值和极值点、最值和最值点及其应用，利用导数讨论函数图形的凹凸性、求曲线的拐点，求曲线切线、法线、渐近线及函数作图等。 这部分内容很重要，事实上前面几节的知识都用到了本节的内容。在高等数学的各种考试中本节的知识都是重要部分，同学们一定要很熟练。但由于这部分内容一般不要求很高的技巧，所以只简单地举几个例子。最后举二个例子介绍相关变化率的问题。 例1 设f(x)二阶可导，dy=(4-y)yb(b0)若曲线y=f(x)的一个拐点为(x0,3)，则dxb=_ d2yd2ydddybb|=
2、0分析：由题设知 y|x=x0=3,并且，而 =(4-y)y=(4-y)yx=x0dx2dydxdx2dx-yb+b(4-y)yb-1(4-y)yb=(4-y)y2b-1(4b-(b+1)y) d2yd2y|=2|y=3=0，得b=3 由2x=x0dxdx注：本题的解决无需技巧，关键是清楚拐点的概念及复合函数求导 x=tlnt例：求曲线的渐近线 lnty=+1t解：先看是否有水平渐近线：易见t+ 时x+,y1，所以有limy=1，故有水平x+渐近线y=1； 再看是否有铅直渐近线：易见t+0 时x0,y，所以有limy=，故有铅直渐近线x0x=0； 再看是否有斜渐近线：易见limx+y=0，故无
3、斜渐近线 xx2y2例求椭圆2+2=1在第一象限中的切线，使它被两坐标轴所截的线段最短 ab解法一：椭圆的参数方程为x=acosq,y=bsinq，设切点为(acosq,bsinq) (0q那么切线的斜率为k=-p2)，bcosq，切线方程为 asinqbcosqy-bsinq=-(x-acosq) asinqPage - 1 - of 6 切线在x轴上的截距为ab，切线在y轴上的截距为从所截线段长为 cosqsinqa2b2pl(q)=+ (0q) 222cosqsinqa2b2p+ (0q)的最小值点 求l(q)的最小值点等价于求f(q)=222cosqsinq2a22b2b f(q)=s
4、inq-cosq=0tanq=acos3qsin3q从而知f(q)在(0,p2)有唯一驻点q=arctanb，由本问题的实际背景我们可以判断f(q)在apb(0,)内取得最小值，因此q=arctan时f(q)取得最小值此时切点坐标为 2a x=aab , y=ba+ba+bbbaa=-(x-a)，化简得 a+baba+b所求的切线方程为 y-bxa(a+b)+yb(a+b)=1 b2x解法二：设切点为(x,y) (0xa)，那么切线的斜率为k=-2，切线方程为 ayb2xY-y=-2(X-x) aya2b2切线在x轴上的截距为，切线在y轴上的截距为从所截线段长为 xyl(x)=a4b4+2 (
5、0xa) 2xya4b4求l(x)的最小值点等价于求f(x)=2+2 (0xa)的最小值点 xy2a42b42a42b4b2xx2y2f(x)=-3-3y=-3-3(-2)=03=3 xyxyayabPage - 2 - of 6 x2y2又x,y满足2+2=1 ab联立以上两个方程得：x=aaa+b, y=bba+b从而知f(x)在(0,a)有唯一驻点x=aaa+b，由本问题的实际背景我们可以判断f(x)在(0,a)内取得最小值，因此x=aaa+b时f(x)取得最小值此时切点坐标为 x=aab , y=ba+ba+b所求的切线方程 xa(a+b)+yb(a+b)=1 注：利用高等数学知识解决
6、实际问题几乎是必考的其中用微分学知识解决实际应用中的最大值或最小值问题是其中很重要的一部分解决这种问题的关键是：根据实际背景和问题的要求选好自变量并求出目标函数同时确定该目标函数的定义域I 求出目标函数在I内的驻点，如果驻点是唯一的，那么可用下面两种方式说明该驻点就是所求的最大值点或最小值点：根据实际问题的背景，可以判定目标函数在区间I内部取得最大值，且在I内的驻点又是唯一的，则该驻点就是最大值点若目标函数在区间I内只有唯一驻点，又通过一阶导或二阶导可以判定该驻点为极大值点，则该驻点就是最大值点另外要注意：选择不同的自变量，目标函数的表达式会不一样，计算量及复杂性可能有很大差别，因此选择合适的
7、自变量有时是很关键的 有的问题既可用一元微分学去解决，也用二元微分学去解决，就看哪个更简便事实上例用a4b4二元微分学知识去解可能更方便，实际就是求目函数f(x,y)=2+2 (0xa,0yb)xyx2y2在约束条件2+2=1下的最小值问题，可用拉格朗日乘数法去解决 ab例4一长度为5m的梯子铅直地靠在铅直的墙上，其下端沿地板以3m/s的速度离开墙角而滑动， 当其下端离开墙角1.4m时，梯子上端下滑的速度是多少？ 何时梯子上、下端滑行的速度相同？ 解：梯子滑行t秒时，上、下端距离墙角的距离分别为y米和x米，依题意有 y=25-x2，dx=3， dtPage - 3 - of 6 本题欲求对y=
8、dy|x-1.4， dt25-x2两边对时间t求导得 dy-xdx-3x =22dt25-xdt25-x从而得 dy-11.4|x-1.4=-0.875，即上端下滑速度为0.875m/s 2dt25-1.4 由3x25-x2=3，得x=52x5252，t=，即梯子滑行秒后，其上、下端 2366滑行的速度相同 注：仔细体会本题的解答，本题中涉及三个变量x,y,t，任一变量都是任一其它变量的函数，本题中己知x,y 的函数关系，且己知x对t的导数，要求y对t的导数这种问题称为相关变化率的问题在己知x,y 的函数关系F(x,y)=0后，这种问题是简单的，只须两边对t求导可得 dxdydy+Fy=0，从
9、而求出在具体问题中，难点可能是x,y 的函数关系的建立 dtdtdt例溶液自深18cm，顶直径为12cm的正圆锥漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗盛满水，当溶液在漏斗中深12cm时，其水平面下落速度为1cm/min，问此时圆柱Fx形容器中水平面上升的速度为多少？ 分析：这里涉及三个变量：时刻t，及时刻t时漏斗水面深度x、圆柱形容器中的水面高度y，x,y都是t的函数，y是x的函数。已知dxdy|x=12=-1，|x=12。欲求仿上面例题，如能建立x,ydtdt的函数关系，问题就不难了。那么x,y的函数关系的建立成为解决本题的关键，这种关系的建立是基于“漏斗漏出的水量和圆柱形容器
10、中的水量相等”。 解：设在t时刻漏斗水的深度和圆柱形容器中水的深度分别为x厘米和y厘米， 1p2x3t时刻漏斗的水面半径为r=x，此时漏斗漏出的水量为 (618-)，此时圆柱形容器339中的水量为25p y，因此有 x3 25p y=(618-) 39p2两边对t求导得 25dxdy1dx=-x2|x=12=-1(cm/min)，得 ，又由dt9dtdtdy12216|x=12=(cm/min)。 dt92525练习题: Page - 4 - of 6 x2x2n设f(x)=1+x+，证明在(-,+)内有正的最小值 +L+,(n为正整数）2!(2n)!x(2n)!比较e与p的大小 x求数列1,
11、2,33,L,nn,L中的最大项 的问题可用单调性解决这种函数的自变量n是离散变量，不能对n求导，于是把n变成x，通过讨论f(x)的单调性进而得到数列1an随n增加时的变化情况，再求出最大项本题中f(x)=xx，但由于求导不n是很方便，可考虑函数g(x)=1lnx） x2x=t求曲线的拐点 3y=3t+t 设函数f(x)的定义域为D=x|x0,x1，且满足f(x)+f(表达式并求曲线y=f(x)的渐近线 将10分成n分a1,a2,L,anPage - 5 - of 6 a1=a2=L=an= n1的最小值； x求f(x)=lnx+设正值序列xn满足lnxn+1xn+11，证：xn收敛，并求其极限。 8由直线y=0,x=8及抛物线y=x2围成一个曲边三角形，在其曲边y=x2上求一点，使曲线y=x2在该点处的切线与直线y=0,x=8及曲线y=x2围成的图形的面积最小。 39Page - 6 - of 6
