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1、初二数学动点问题练习动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长
2、为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 5 ，B=60，BC=2点O是AC的中点，过3、如图，在RtABC中，ACB=90点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为a 当a= 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； 当a= 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； 当a=90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由 解：30，1；60，1.5； 当=900时，四边形EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平行
3、四边形 在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300. E O a D C O l C A B 1AC3AB=4,AC=2. AO=2=3 .在RtAOD中，A=300，AD=2. B A BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC是平行四边形， 四边形EDBC是菱形 4、在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E. M M M C D C C E N D E A B B B A A D E 图1 N 图3 N 图2 1 (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE； (2)当直线MN绕点C旋转到图
4、2的位置时，求证：DE=AD-BE； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解： ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90 AC
5、D=CBE， 又AC=BC， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，
6、请说明理由； 小华提出：如图3，点E是BC的延长线上的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 D 解：正确 A D 证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME A F BM=BEBME=45，AME=135 F M CF是外角平分线，DCF=45，ECF=135 B E C G AME=ECF B 图1 E C G AEB+BAE=90，AEB+CEF=90， D A BAE=CEF AE=EF AMEBCFF 正确 证明：在BA的延长线上取一点N使AN=CE，连接NE B E C G N BN=BE N=P
7、CE=45 F 图2 D 四边形ABCD是正方形， ADBE A D A DAE=BEA NAE=CEF ANEECFAE=EF B C E G B C E G 图3 6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求 PAB为等腰三角形的t值； PAB为直角三角形的t值； 若AB=5且ABM=45 ，其他条件不变，直接写出 PAB为直角三角形的t值 F 2 7、在等腰梯形ABCD中,ADBC,E为AB的中点,过点E作EFBC交CD于点F.AB=4,BC=6, B=60。 求点E到B
8、C的距离；点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x 当点N在线段AD上时，PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由 当点N在线段DC上时，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X的值，若不存在，请说明理由。 1 1 2 32 3 3 8、如图，已知ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点 (1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与C
9、QP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？ 若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ 解：t=1秒， BP=CQ=31=3厘米， AB=10厘米，点D为AB的中点， BD=5厘米 又PC=BC-BP，BC=8厘米， PC=8-3=5厘米， PC=BD 又AB=AC， B=C， BPDCQP D A Q P C B vPvQ， BPCQ， 又BPDCQP，B=C，则BP=PC=4，CQ=BD=5， 点P，点Q运动
10、的时间t=BP4=33秒， vQ=CQ515=44t3厘米/秒。 1580x=x=3x+2103秒 设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得4，解得803=803P点共运动了厘米 80=228+24，点P、点Q在AB边上相遇， 80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 7、如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB=4，BC=6，B=60.求：求点E到BC的距离； 点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x. 4 MN当点N在线段AD上时，P改变，请说明理由； 的形状是否发
11、生改变？若不变，求出PMN的周长；若当点N在线段DC上时，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 A E B 图1 A E B 图4 D F C B 图5 D F C B A E P N D F C B 图2 D F C A E P D N F C M M 图3 A E 解如图1，过点E作EGBC于点G E为AB的中点， BE=1AB=22 在RtEBG中，B=60， BEG=30 即点E到BC的距离为3 BG=1BE=1，EG=22-12=32 A E B D F C 图1 A E B P H G M 图2 C N D F 当点N在线段A
12、D上运动时，PMN的形状不发生改变 PMEF，EGEF， PMEGEFBC， EP=GM，PM=EG=3 同理MN=AB=4如图2，过点P作PHMN于H，MNAB， G 13PH=PM=NMC=B=60，PMH=30 22335MH=PMcos30=则NH=MN-MH=4-= 2 225322在RtPNH中，PN=NH+PH=+ =722PMN的周长=PM+PN+MN=3+7+4 22 5 当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形 当PM=PN时，如图3，作PRMN于R，则MR=NR 3 MNC是等边三角形，MC=MN=3 MN=2MR=32 此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2 类似，MR= A E B P R G M 图3 C B G 图4 M D N F A E P D F N C B A E F N C M D G 图5 当MP=MN时，如图4，这时MC=MN=MP=3 此时，x=EP=GM=6-1-3=5-3当NP=NM时，如图5，NPM=PMN=30又MNC=60， 则PMN=120，PNM+MNC=180 因此点P与F重合，PMC为直角三角形 MC=PMtan30=1 此时，x=EP=GM=6-1-1=4综上所述，当x=2或4或5-3时，PMN为等腰三角形 () 6
