勾股定理经典例题详解.docx

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1、勾股定理经典例题详解勾股定理经典例题详解 知识点一：勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 要点诠释：勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形。 图中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形。 图中，所以。 方法三：将四个全等的直角

2、三角形分别拼成如图1和2所示的两个形状相同的正方形。 在1中，甲的面积=, 在2中，乙和丙的面积和=, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。 知识点三：勾股定理的作用 1已知直角三角形的两条边长求第三边； 2已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 3用于证明平方关系的问题； 4利用勾股定理，作出长为段。 的线2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数，显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： 3、4、55、12、13；8、15、17；7

3、、24、25；10、24、26；9、40、41 如果(a,b,c)是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在ABC中，C=90，a=6，c=10,b= (2) 在ABC中，C=90，a=40，b=9,c= (3) 在ABC中，C=90，c=25，b=15,a= 总结升华：有一

4、些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 :如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件于D，则有 ，求出BC的长. 解析

5、：作 ，想到构造含角的直角三角形，为此作，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而于D，则因， . 根据勾股定理，在 根据勾股定理，在中， 中， . . . 总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三如图，已知：. ，于P. 求证： 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在 而在

6、 又 在 ， ， . 中，根据勾股定理有 . 中，则根据勾股定理有 . 中， . 已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE= S四边形ABCD=SABE-SCDE= 类型三：勾股定理的

7、实际应用 用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 求A、C两点之间的距离。 确定目的地C在营地A的什么方向。 ABBE-=。 。 CDDE= 思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析：过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=

8、30 即点C在点A的北偏东30的方向 总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。 举一反三 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H 解：OC1米 (大门宽度一半)， OD0.8米 在RtOCD中，由勾股定理得： CD.米， C. 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门 用勾股定理求最短问题 4、国家

9、电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 解析：设正方形的边长为1，则图、图中的总线路长分别为 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 图中，在RtABC中 同理 图中的路线长为 图中，延长EF交BC于H，则FHBC，BHCH 由FBH EAEDFBFC EF12FH1 及勾股定理得： 此

10、图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图的连接线路最短，即图的架设方案最省电线 总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质 举一反三 如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 解： 如图，在Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 AC 答：最短路程约为cm 类型四：利用勾股定理作长为 5、作长为、的线段 的线段。 ，直 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，

11、斜边长就等于角边为和1的直角三角形斜边长就是 作法：如图所示 ，类似地可作。 作直角边为1的等腰直角ACB，使AB为斜边； 以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 顺次这样做下去，最后做到直角三角形的长度就是 、。 总结升华：以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。 举一反三 在数轴上表示的点。 。斜边为、； 、，这样斜边 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使

12、OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚 2原命题：对顶角相等 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。 解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫 2. 逆命题：相等的角是对顶角 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果

13、ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的

14、逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 ：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25 AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 证明： 所以ABC是直角三角形. 如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且B

15、F= 请问FE与DE是否垂直?请说明。 答：DEEF。 证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。 AB。 经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

16、解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： 2+2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程求解。 举一反三 等边三角形的边长为2，求它的面积。 如图，等边ABC，作ADBC于D 则：BDBC ABACBC2 BD1 在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 BCADa。 AD SABC 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得

17、： 由得：x+y7， 249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得：xy12 直角三角形的面积是xy126 若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 思路点拨：首先要确定斜边长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： 2+22 化简得：n24 n2，但当n2时，n+110，n2 总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是 A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，

18、39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 对数据较大的可以用c2a2+b2的变形：b2c2a2来判断。 例如：对于选择D， 82， 以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 ：A 四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25 AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ

19、在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 R

20、tABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 点 A到直线MN的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)， 由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m), CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方

21、法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路，却踩伤了花草。 解析：他们原来走的路为3+47(m) 设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为752(m) 又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。4 如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 直接写出单位正三角形的高与面积。 图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ 求出

22、图中线段AC的长。 单位正三角形的高为，面积是。 如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。 过A作AKBC于点K，则在RtACK中， ，故 类型三：数学思想方法转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，

23、不妨先连接AD 解：连接AD 因为BAC=90，AB=AC 又因为AD为ABC的中线， 所以AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AEDCFD 所以AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在RtAEF中，根据勾股定理得： ，所以EF=13。 总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在RtABC中，A=60，B=90-A=30， 则 因为，由勾股定理，得，所以， 。 ，。 总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解：因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以B=C=90， 在RtABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以。 设，则，即 即EF的长为5cm。 。 ，解得。 。 所以 在RtECF中，