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1、周世勋量子力学习题解答第三章第三章习题解答 3.1 一维谐振子处在基态y(x)= (1)势能的平均值U=aep-a2x2i2-wt2，求： 1mw2x2； 2p2 (2)动能的平均值T=； 2m (3)动量的几率分布函数。 11a解：(1) U=mw2x2=mw222p =-x2e-a2x2dx 1a1p111h2 mw2222=mw2=mw2224mw2ap2aa21135L(2n-1)p =hw x2ne-axdx= 04a2n+1anp21*2 (2) T=y(x)py(x)dx -2m2m = = = = = =2-axa1-2ax2de(-h)e2dx 2dxp2m-ah22a(1-
2、a2x2)e-axdx -p2mah22-ax2aedx-ax2e-axdx -p2mah22ppa-a23 a2ap2mah22ph22h2mw a=a=2a4m4mhp2m2222222222111hw 4111hw-hw=hw 244 (3) c(p)=y*y(x)dx p(x) 或 T=E-U= = =2ph12ph1-aa-12 ep2x2ei-Pxhdx ap- e1-a2x22ei-Pxhdx = = =12ph12ph12phap- e1ipp2-a2(x+2)2-222ah2ahdx dx e-p22a2h2aepp22ah22- e1ip-a2(x+2)22ahaep-p2
3、2a2h22ap=1ahp 动量几率分布函数为 w(p)=c(p)=# 3.2.氢原子处在基态y(r,q,j)= (1)r的平均值； e2 (2)势能-的平均值； r (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)r=ry(r,q,j)dt=221ahpe-p2a2h213pa0e-r/a0，求： 13pa000p2p0re-2r/a0r2sinq drdq dj 43-2r/a0n!dr xne-axdx=n+1 =3ra0a00a43!3=a0 =342a02a0e2e2(2)U=(-)=-3rpa0e2=-3pa000p2p01-2r/a02ersinq
4、 drdq djr00p2p0e-2r/a0rsinq drdq djr dr4e2=-3a00e-2r/a04e21e2=-3=-2a02a0a0 (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 w(r)dr=p02p0y(r,q,j)2r2sinq drdq dj=4-2r/a02erdr 3a04-2r/a02er 3a0dw(r)42=3(2-r)re-2r/a0 dra0a0dw(r) 令 =0， r1=0, r2=, r3=a0 dr 当 r1=0, r2=时，w(r)=0为几率最小位置 w(r)=d2w(r)4842-2r/a0 =(2-r+r)e32a0dr2a0a0d2w(r)d
5、r2=-r=a08-2e0 3a0 r=a0是最可几半径。 21h1112=-2=2(r2)+(sinq)+p2 (4)Trsinqqqrrsin2qj22m2mh2p2p1-r/a02-r/a02 T=-e(e)rsinq drdq dj 30002mpa0h2p2p1-r/a01d2d-r/a02=-er(e)rsinq drdq dj 320002mdrpa0rdr4h21 =-(-3a02ma00r2-r/a0(2r-)e dr a022a0a04h2h2 = (2-)=42442ma02ma0rr(r) (5) c(p)=y*y(r,q,j)dt p1 c(p)=(2ph)3/210
6、pa3030e-r/a0rdre02pi-prcosqhsinq dqdj 02p =2p(2ph)3/2pa0re2-r/a0dre0pi-prcosqh d(-cosq) = =2p(2ph)3/2pa300r2e-r/a0drheipripi-prcosqh0i2p(2ph)3/2-prh-r/a0hprn!n-axhre(e-e)dr xedx=n+103ip0apa0 =2p(2ph)3/2h11- 3ip1i1i22pa0(-p)(+p)a0ha0h = = =4ip 2332a0hippah(1+p)202a0h244a0h4 2222332a0hpa0(a0p+h)(2a0h)
7、3/2h22221p(a0p+h) 动量几率分布函数 358a0h w(p)=c(p)=2 224p(a0p+h)# 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer=Jeq=0 eh m2ynlm Jej=m rsinq 证：电子的电流密度为 rrih*(ynlmyn Je=-eJ=-elm-ynlmynlm) 2m 在球极坐标中为 r1rr1+eq+ej =er rrqrsinqjrrr式中er、eq、ej为单位矢量 rrr1rrih1*Je=-eJ=-eynlm(er+eq+ej)ynlm2mrrqrsinqjr1rr1* -yn(e+e+e)ynlmlmrqjr
8、rqrsinqjriehr*1*=-er(ynlmyn-yy)+e(yynlmlmnlmnlmqnlm2mrrrqr111* -ynynlm)+ej(ynlmynynynlm)lmlm-lmrqrsinqjrsinqj Qynlm中的r和q部分是实数。 riehehm22r2r(-imynlm-imynlm)ej =-ynlmej Je=-2mrsinqmrsinq 可见，Jer=Jeq=0 2 Jej=-ehm2ynlm mrsinq# 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 meh(SI)-2m M=Mz=me
9、h- (CGS)2mc 原子磁矩与角动量之比为 e- (SI)M2m z= eLz- (CGS)2mc这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM=iA=JejdSA ehm2ynlmdSp(rsinq)2 mrsinqehm2prsinqynlmdS =- =-m =-ehmm (2)氢原子的磁矩为 M=dM= =-p0pr2sinqynlmdrdq (dS=rdrdq) 20-ehmmpynlmr2sinq drdq 2pehm22pynlmr2sinq drdq 002mehm2pp22y =-nlmrsinq drdqdj 2m000ehm =- (SI) 2mehm
10、 在CGS单位制中 M=- 2mc 原子磁矩与角动量之比为 MMMee=- (SI) z=- (CGS) # z=LzLz2mLz2mcL23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H=，L为角动量，2I求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2=L2Z 221hd2=- 哈米顿算符 H LZ2I2Idj2与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (Hh2d2-f(j)=Ef(j)22Idj2df(j)2IE =-f(j)22djh2IE 令 m2=2，则 hd2f(j)
11、+m2f(j)=0 2dj 取其解为 f(j)=Aeimj (m可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有 f(j+2p)=f(j)eim(j+2p)=eimj 即 ei2mp=1 m= 0，1，2， m2h2转子的定态能量为Em= (m= 0，1，2，) 2I可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 fm=Aeimj A为归一化常数，由归一化条件 1A=2p 转子的归一化波函数为 1imje fm=2p 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 * 1=fmfmdj=A2dj=A22p002p2p (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 =1L2 H2I与t无关，属定态问
12、题，其本征方程为 H12 LY(q,j)=EY(q,j) 2I的本征函数，E为其本征值) (式中Y(q,j)设为H2Y(q,j)=2IEY(q,j) L 令 2IE=lh2，则有 2Y(q,j)=lh2Y(q,j) L2的本征方程，其本征值为 此即为角动量L L2=lh2=l(l+1)h2 (l=0, 1, 2, L) 其波函数为球谐函数Ylm(q,j)=NlmPl(cosq)eimj 转子的定态能量为 l(l+1)h2 El=2I 可见，能量是分立的，且是(2l+1)重简并的。 # 3.6 设t=0时，粒子的状态为 y(x)=Asin2kx+12coskx 求此时粒子的平均动量和平均动能。
13、11解：y(x)=Asin2kx+12coskx=A2(1-cos2kx)+2coskx A1-cos2kx+coskx 2Ai2kxikx-e-i2kx)+1+e-ikx) =1-12(e2(e2A2phi0x1i2kx1-i2kx1ikx1-ikx1 = e-2e-2e+2e+2e22ph可见，动量pn的可能值为0 2kh -2kh kh -kh m =2pn2k2h22k2h2k2h2k2h2 动能的可能值为0 2mmm2m2mA2A2A2A2A2 )2ph 对应的几率wn应为 ( 41616161611111 )A2ph ( 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 A2A
14、2A2+4)2ph=2ph 1=wn=(4162n A=1/ph 动量p的平均值为 p=pnwn nA2A2A2A2=0+2kh2ph-2kh2ph+kh2ph-kh2ph=0161616162pnp2 T=wn 2m2mn2k2h21k2h212+2 =0+m82m85k2h2 = 8m # *shangshuyihe* 3.7 一维运动粒子的状态是 Axe-lx, 当x0 y(x)= 0, 当x0，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 1= =-y(x)dx=A2x2e-2lxdx 0214l3 A=2l3/2 y(x)=2l3/2xe
15、-2lx (x0) y(x)=0 (x0) 111/2e-ikxy(x)dx=2l3/2xe-(l+ik)xy(x)dx c(p)=-2ph2ph2l31/2x1-(l+ik)x)-e-(l+ik)x+edx =(0-2phl+ikl+ik2l31/2x2l31/21)= =( p22ph2ph(l+ik)2(l+i)h 动量几率分布函数为 2l312l3h312= w(p)=c(p)= ph2p22p(h2l2+p2)2(l+2)hA2 y(x)dx=-ih4l3xe-lx (2) p=y*(x)p-d-lx(e)dx dx =-ih4lhx(1-lx)e-2lxdx 3- =-ih4lh(
16、x-lx2)e-2lxdx 3- =-ih4l3h(14l2-14l2) =0 # 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 y(x)=Ax(a-x) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数y(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 2npsinx, 0xa y(x)a a 0, x0, xan2p2h2 En= (n=1， 2， 3， L) 22ma 动量的几率分布函数为w(E)=Cn npxy(x)dx -0a 先把y(x)归一化，由归一化条件， 2a Cn=y*(x)y(x)dx=sin 1
17、=-y(x)dx=A2x2(a-x)dx=A2x2(a2-2ax+x2)dx 00a02aa =A2(a2x2-2ax3+x4)dx 5a5a5a52a+)=A =A(- 3253030 A= 5a2 Cn= =a0230npsinxx(a-x)dx 5aaaaa215npnp2axsinxdx-xsinxdx 300aaa215a2npa3npa2np=-xcosx+sinx+xcosxnpaanpaa3n2p2 -2anp2anpxsinx-cosxaan2p2n3p3023a415n1-(-1) 33np2402 w(E)=Cn=661-(-1)n2 np960 3， 5， L66，n=
18、1， =np 0，n=2, 4, 6, L =2py(x)dx=y(x)y(x)dx E=y(x)H0-2ma =a030h2d2x(x-a)-x(x-a)dx 522mdxa30h2 =ma5a030h2a3a3x(x-a)dx=(-) 523ma5h2 = 2ma3.9.设氢原子处于状态 13R21(r)Y1-1(q,j) y(r,q,j)=R21(r)Y10(q,j)-22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 mes2mes2 E2=-22=-2 (n=2) 2hn8h 角动量平方有确定值为 L2=
19、l(l+1)h2=2h2 (l=1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1=0LZ2=-h 其相应的几率分别为 13 ， 44 其平均值为 133 LZ=0-h=-h 4443.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 , ra; U(r)= 0, ra求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在ra的区域，U(r)=，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 y=0 (ra) 由于在ra的区域内，U(r)=0。只求角动量为零的情况，即l=0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度q、j无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与q、j无关。设为y(r)，则粒子
20、的能量的本征方程为 h21d2dy(r)=Ey -2mrdrdr2mE 令 U(r)=rEy, k2=2，得 hd2u 2+k2u=0 dr其通解为 u(r)=Acoskr+Bsinkr AB-y(r)=coskr+sinkrrr波函数的有限性条件知， y(0)=有限，则 A = 0 B y(r)=sinkr r 由波函数的连续性条件，有 B y(a)=0 sinka=0 a B0 ka=np (n=1,2,L) np k=an2p22h En= 2ma2Bnpr y(r)=sinra其中B为归一化，由归一化条件得 np2=4pBsinrdr=2p aB0a1 B= 2p a 归一化的波函数
21、npsinr1a y(r)= # 2p ar3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(Dx)2(Dp)2=? a221=dq=dj=y(r)r2sinq dr000ppa2 解： p=0 522kh 41 x=A2xsin2kx+coskx2dx=0 -21 x2=A2x2sin2kx+coskx2dx= -2 p2=2m T= (Dx)2(Dp)2=(x2-x)=(p2-p)= 3.12.粒子处于状态 11/2ix2 y(x)=expp0x-2 h2px24x式中x为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(Dx)2(Dp)2=? 解：先把y(x)归一化，由归一化条件，得 1=
22、 =2212px2-e- x22x2dx=12px12x2p-e- (x2x2)2d(x2x2) 12x2pp=(1/2 )21 / 2p 是归一化的 ip y(x)=expp0x-x2 h2 动量平均值为 ipip- p0x- x2 p0x- x2di22( p0-p x)ehdx p=y*(-ih)ydx=-iheh-dxh x2=2i =-ih( p0-p x)e -pxdx -h =p0e- -px2dx+ip hxe -pxdx -2 =p0 (Dx)2(Dp)2=? x=2-y*xydx=xe -pxdx -2 x=-xe2 -px221dx=-xe-px2p-+12p-e -px
23、dx 2 =-221 2pii2- p0x-px2dp0x-px2d22hhe dx p=-hy*y dx=-he-dxdx222p02)+i2php0xe-pxdx-p2h2x2e-px dx =h(p+-h2p01p22)+0+(-p2h2)=(h2+p0) =h(p+h2p22122 (Dx)=x-x= 2p22 (Dp)=p-p=(h2+p0)-p0=h2 221p212h=h (Dx)2(Dp)2=2p24# 11/10 补充 或U的本征函数，而是T+U的本征函 1试以基态氢原子为例证明：y不是T数。 113/2-r/a01m es2 解：y100=2e (=2) aa0h4p022
24、2pph212112T=-(r)+(sinq)+2mr2rrsinqqsin2qj22e=-sUryT100h212y100=-(r)22mrrrh2113/212-r/a0 =-2(re)2mpa0rrrh2113/212-r/a0h212 =-(2-)e=-(2-)y1002mpa02ma0a0ra0a0r y100 常数y100的本征函数 不是T2ey=-sy U100100r的本征函数 可见，y100不是U h2113/212-r/a0es2而 (T+U)y100=-(2-)e-y1002mpa0ra0a0rh21h2h2 =-y100+y-y 22ma0ma0r100ma0r100h
25、21 =-y10022ma0+U)的本征函数。 可见，y是(T100 2证明：L=6h，L=h的氢原子中的电子，在q=45和 135的方向上被发现的几率最大。 解： QWlm(q,j)dW=YlmdW Wlm(q,j)=Ylm L=6h，L=h的电子，其l=2, m=1 15Q Y21(q,j)=-sinqcosq eij8p15 Y2-1(q,j)=-sinqcosq e-ij8p15152sin2qcos2q=sin22q W21(q,j)=Ylm=8p32p当q=45和 135时 2215为最大值。即在q=45，q=135方向发现电子的几率最大。 32p15 在其它方向发现电子的几率密度
26、均在0之间。 32p 3试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径 )。 W21= 证：对1s态，n=1, l=0, R10=(2W10(r)=r2R10(r)=(13/2-r/a0)e a0W101322-2r/a0=4(2r-r)era0a0W10=0 r1=0, r2=, r3=a0 令 r 易见 ，当r1=0, r2=时，W10=0不是最大值。 W10(a0)=4-2e为最大值，所以处于1s态的电子在 r=a0处被发现的几率最大。 a0132-2r/a0)4rea0 对2p态的电子n=2, l=
27、1, R21=(W21(r)=rR212213/2)2a0r3a0e-r/2a0 13r42-r/a0=re22a03a0W211r-r/a03=r(4-)e5ra024a0W21=0 r1=0, r2=, r3=4a0 r 易见 ，当r1=0, r2=时，W21=0为最小值。 令 2W2118rr2-r/a02 =r(12-+2)e25a0a0r24a02W21r2=r=4a018-42-416a(12-32+16)e=-e0 05324a03a023/21r)2e-r/3a0 a08115a0 r=4a0为几率最大位置，即在r=4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。 对于3d态的电子 n
28、=3, l=2, R32=(W32(r)=r2R32W32r11r6e-r/3a072a811582r-2r/3a05=2r(6-)e73a08115a02=W32=0 r1=0, r2=, r3=9a0 r 易见 ，当r1=0, r2=时，W32=0为几率最小位置。 令 2W32164r52r6-2r/3a02 =2(15r-+2)e7a09a0r28115a02W32r2236a0281a014=2(9a0)(15-+)e-672a08115a09a0r=9a016-6e0，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。 解：设电场强度为e，方向沿轴负向，则总势能为 (x0)， V(x
29、)=-ee x =U0-ee x V 势能曲线如图所示。则透射系数为 2x1 Dexp-2m(U0-ee x-E)dx hx2式中E为电子能量。x1=0，x2由下式确定 =- p=2m(U0-ee x-E)=0 U0-E eeU-Esin2q，则有 令 x=0ee x2=x1x22m(U0-ee x-E)dx=2p02m(U0-E)2pU0-E2sin2q dqeeU0-Ecos3q =22m(U0-E)(-)ee30 =2U0-E2m(U0-E)3ee 透射系数Dexp-2U0-E2m(U0-E) 3hee27/9 全是补充题： 1指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 2n2d2 4x； ； 2dxK=122d 解：4x是线性算符 dx22222d2d2dQ 4x(c1u1+c2u2)=4x(c1u1)+4x(c2u2)
