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1、复变函数与积分变换课后的第一章习题答案习题一 1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数 e-4i=cos22i.解-4+isin-4=+2-2=2-2i22 解： 3+5i+5i)(1-7i)137i+1=(3(1+7i)(1-7i)=-1625+25i 解： (2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i 解： 133(1-i)35i+1+i=-i+2=2-2i 2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy) ：设z=x+iy 222则z-ax+iy)-a(x-a)+iyRe-az+a=(x+iy)+a=(x+a)+iy=(x-a)+iy(x+a)-iyzx-a-y(x+a)2 +y
2、2z+a=(x+a)2+y2 Imaz-2xyz+a=( x+a)2+y2解： 设z=x+iy z3=(x+iy)3=(x+iy)2(x+iy)=(x2-y2+2xyi)(x+iy) Re(z3)=x3-3xy2=x(x2-y2)-2xy2+y(x2-y2)+2x2yi=x3-3xy2+(3x2y-y3)iIm(z3)=3x2y-y3 解： 33(-1+i3)33-1+i=12=88-1-3(-1)(3)2+3(-1)23-(3) =18(8+0i)=1 Re-1+i3=Im-1+i321, =0 23解： 3-(-1)-3(-1)(-3)2+1+i33(-1)23-(3)3i= =128(8
3、+0i)=1 8Re-1+i3=1, Im-1+i32=0 2,(-1)k,解： in=k-1i,()n=2kn=2k+1kk 当n=2k时，Re(i)=(-1)，Im(i)=0； nn 当n=2k+1时，Re(in)=0，Im(in)=(-1) k3.求下列复数的模和共轭复数 解：-2+i=4+1=5 -2+i=-2-i -3=-3 解：-3=3 解：(2+i)(3+2i) =2+i3+2i=513=65 (2+i)(3+2i)=(2+i)(3+2i)=(2-i)(3-2i)=4-7i解：1+i2=1+i2=221+i(1+i)1-i=2224、证明：当且仅当z=z时，z才是实数 证明：若z
4、=z，设z=x+iy， 则有 x+iy=x-iy，从而有(2y)i=0，即y=0 z=x为实数 若z=x，x，则z=x=x z=z 命题成立 5、设z,w，证明： z+w 2z+w 证明z+w=(z+w)(z+w)=(z+w)(z+w) =zz+zw+wz+ww=z=z2+zw+zw+w+w22)+2Re(zw)(2z2+w+w+w2+2zw+2zw 2=z=22(z) z+wz+w 6、设z,w，证明下列不等式 z+wz-w2=z=z2+2Rezw+w-2Rezw+w2()222()2z+w2+z-w=2z(2+w2) 2并给出最后一个等式的几何解释 证明：z+w=z+2Re(zw)+w在上
5、面第五题的证明已经证明了 22下面证z-w=z-2Re(zw)+w 222z-w=(z-w)(z-w)=(z-w)(z-w) 2=z2-zw-wz+w22=z2-2Rezw+w2()2从而得证 z+w+z-w=2z+w(22) 3几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3+5i7i+1;i;-1;-8(1+3i);22 cos+isin.99解：3+5i7i+1=(3+5i)(1-7i)(1+7i)(1-7i)=175eiq=38-16i50=19-8i25其中q=-arctan819 解：i=eiq其中q= i22 i=e23解：-1=
6、ei=ei 解：-8(1+3i)=16q=-. -8(1+3i)=16e-23i22解：cos+isin 9922cos+isin9933解：=1 i.3229cos+isin=1e=e993223i8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3+3i的平方根. i的三次根 解： 13i=cos+isin=cos2232k+32+isin2k+32(k56=0,1,2)563212z1=cos 6+isin966=32+12i z2=cos32-12i +isin=-+iz3=cos+isin96=-1的三次根 解： 3-1=(cos+isin)3=cos12k+3+isin2k+3(k=0,1,2)z1 =cos3+isin3=12+32i z2=cos+isin=-1 z3=cos53+isin53=-12-32i3+3i的平方根 解：3+223i=6+22i=i6e43+3i=1(6e4i)122k+2k+44=64cos+isin221(k=0,1) iz1=64cos+isin=64e8881119i99z2=6cos+isin=64e8 8849.设z=ei2n,n2. 证明：1+z+L+zn-1=0 证明：z=e i2n zn=1，即zn-1=0 (z-1)(1+z+L+zn-1)=0 又n2 z1 从而1+z+z2+L+zn-1=0
