拉普拉斯变换.docx

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1、拉普拉斯变换第7章 拉普拉斯变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用本章将扼要地介绍拉普拉斯变换的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用 7.1拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 3(1.164)5 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 13lgN=lg6.28+(lg5781-lg9.8+2lg20)+lg1.16435， 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N N=6.28357819.8202这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另

2、一种化繁为简的做法 7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义 设函数f(t)当t0时有定义，若广义积分0收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即 F(P)=+f(t)e-ptdt在P的某一区域内+f(t)e0-ptdt称式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号Lf(t)=F(P)表示函数F(P)称为f(t)的拉氏变换(Laplace) (或称为f(t)的象函数)函数f(t)称为F(P)的拉氏逆变换，记作 LF(P)=f(t)，即f(t)=LF(P) 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求f(t)在t0时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总-1-1假定在t

3、0) 7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i(t)，以Q(t)表示上述电路中的电量，则 0,Q(t)=1,由于电流强度是电量对时间的变化率，即 t0,t=0.i(t)=dQ(t)dt=limQ(t+Dt)-Q(t)Dt0Dt1， 所以，当t0时，i(t)=0；当t=0时， Q(0+Dt)-Q(0)i(0)=limDt0DtDt 上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度为此，引进一个新的函数，这

4、个函数称为狄拉克函数 定义 Dt0=lim(-)=，当e0时，d(t)=limde(t)e0 称为狄拉克函数，简称为d-函数 de(t)=设e0，0，tede(t)的极限 0,t0d(t)=d(t)d(t),t=0de(t)当t0时，的值为0；当t=0时，的值为无穷大，即和 d(t)的图形如图7-1和图7-2所示 显然，对任何e0，有+-de(t)dt=e01edt=1，所以 +d(t)dt=1- 工程技术中，常将d-函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将d-函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示d-函数的积分，叫做d-函数的强度 例7-2 求d(t)的拉氏变换 解 根据拉氏

5、变换的定义，有 Ld(t)=+d(t)e0-ptdt=epe(lim01e0e)e-ptdt+lime0+0ee-pe-ptdt=lime01e01ee-ptdt=1=lim1e0e-e-ptp0=1lim1-e-pee0e=1plim(1-e)e0(e)=1plimpe-pee0， 即Ld(t)=1 0,u(t)=1,例7-3 求单位阶梯函数t0) 解 +0f(t)=e的拉氏变换 +1at-pt-(p-a)t(pa)eedt=edt=0p-a，即 Le=Lsinwt=at1p-a(pa) pp+w22wp+w22(p0)Lcoswt=(p0)类似可得 ； 习题71 求1-4题中函数的拉氏变换

6、 1f(t)=e-4t 2f(t)=t 3f(t)=te 4f(t)=sin(wt+j)(w，j是常数） at27.2 拉氏变换的性质 拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换 性质1 (线性性质) 若 a1，a2是常数，且Lf1(t)=F1(p)，Lf2(t)=F2(p)，则 La1f1(t)+a2f2(t)=a1Lf1(t)+a2Lf2(t)=a1F1(P)+a2F2(p) 证明 La1f1(t)+a2f2(t)=+0a1f1(t)+a2f2(t)e-ptdt=a1+0f1(t)e-ptdt+a2+0f2(t)e-ptdt =a1Lf1(t)+a2Lf2

7、(t)=a1F1(p)+a2F2(p) 例7-5 求下列函数的拉氏变换： f(t)=1a(1-e-at解L1(1-e-at； f(t)=sintcost 1111-=aaaapp+ap(p+a) 1121Lsintcost=Lsin2t=2=2222p+2p+4 )=L1-e-at1=性质2 若Lf(t)=F(p)，则 Lef(t)=F(p-a) Leatatf(t)=证明 +e0atf(t)eat-ptdt=+f(t)e0-(p-a)tdt=F(p-a) a位移性质表明：象原函数乘以e等于其象函数左右平移例7-6 求 Lte，LeLt=1p，2个单位 pp+w22at-atsinwt和 Le

8、-atcoswt Lcoswt=Lsinwt=wp+w22解 因为，由位移性质即得 LteLeat=1(p-a)，Le2-atsinwt=。w(p+a)+w22，-atcoswt=p+a(p+a)+w-ap22性质3 若Lf(t)=F(p)，则 Lf(t-a)=eLf(t-a)=F(p) (a0) -pt证明 +f(t-a)e0dt=af(t-a)e0-ptdt+f(t-a)ea-ptdt，在拉氏变换的定义说明中已指出，当t0时，f(t)=0因此，对于函数f(t-a)，当t-aa) c1,f(t)=c2,3,0t2,f(t)=-1,2t4,0ta,0,4t.at. 解 由图7-4容易看出，当t

9、a时，f(t)的值是在c1的基础上加上了，即(c2-c1)u(t-a)故可把f(t)写成f(t)=c1u(t)+(c2-c1)u(t-a)，于是 Lf(t)=c1p+c2-c1pe-ap=c1+(c2-c1)ep-ap 仿，把f(t)写成f(t)=3u(t)-4u(t-2)+u(t-4)，于是 Lf(t)=3p-4e-2p 我们可以用拉氏变换定义来验算例7-9所得的结果由例7-9看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子 0,t0c,0taf(t)=2c,at0时 Lf(at)=1anF()a p性质7 若Lf(t)=F(p)，则 Ltf(t)=(-1)Fn(n)(p) 性质8 若

10、Lf(t)=F(p)，且t0Lf(t)t=limf(t)t+存在，则 F(p)dpp例7-13 求Ltsinwt wLsinwt=22p+w解 因为，由式可得 dw2pwLtsinwt=(-1)(2)=2222dpp+w(p+w) Lsintt例7-14 求解 因为 12Lsint=1p+1，而且t0t，所以由式可得 +sint1p+L=dp=arctgp|=-arctgpp2pt2p+1limsint 即+0sintte-ptdt=p2-arctgp因此，当p=0时，得到一个广义积分的值 +sintpdt=0t2 这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的 现将拉氏变换的八个性质和在实际应

11、用中常用的一些函数的象函数分别列表如下： 表7-1 拉氏变换的性质 序号 1 2 3 设Lf(t)=F(p) La1f1(t)+a2f2(t)=a1Lf1(t)+a2Lf2(t) Lef(t)=F(p-a) Lf(t-a)u(t-a)=e-apatF(p) (a0) Lf(t)=pF(p)-f(0) 4 Lf(n)(t)=pF(p)-ptnn-1f(0)+pn-2f(0)+f(n-1)(0) 5 Lf(x)dx=0F(p)p6 Lf(at)=1aF(pan)7 Ltf(t)=(-1)Ff(t)t+n(n)(p) 8 L=F(p)dpp表7-2 常用函数的拉斯变换表 序号 1 f(t) F(p)

12、 d(t) u(t) 1 1p 1p22 3 t 4 t(n=1,2,.) nn!pn+1 15 e atp-a a6 1-e-atp(p+a) 17 teat(p-a)n!(p-a)28 te(n=1,2,L) natn+19 sinwt wp+wpp+w222210 coswt 11 sin(wt+j) psinj+wcosjp+w2212 cos(wt+j) pcosj-wsinjp+w2213 tsinwt 2wp(p+w)22214 sinwt-wtcoswt 2w2322(p+w) p-w222215 tcoswt (p+w) 216 e-atsinwt w(p+a)+wp+a22

13、17 e-atcoswt (p+a)+w122118 19 a2(1-cosat)p(p+a)22eat-etbta-b(p-a)(p-b) 1pp20 2p 121 1ppt 习题7-2 求5-12题中函数的拉氏变换 53e-4t 65sin2t-3cost -1,0t4,t4.sint,0tp,37sin2tcos2t 8sint 9f(t)= 1,0,1, 10f(t)= t,tp.0t2,2t4,4t.nat 12f(t)=te 11f(t)= 0, 7.3 拉氏变换的逆运算 前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(p)的问题运算法的另一面是已知象函数F(p)要求它的象

14、原函数f(t)，这就是拉斯逆变换问题同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出 性质1 La1F1(p)+a2F2(p)=a1LF1(p)+a2LF2(p)=a1f1(t)+a2f2(t) -1-1-1-1at-1at性质2 LF(p-a)=eLF(p)=ef(t) 性质3 Le-1-apF(p)=f(t-a)u(t-a) 1(p-2)3例7-15 求下列象函数的逆变换： F(p)=1p+3； 2p-5p2F(p)=F(p)=； F(p)=1p+34p-3p+4 -3t2； f(t)=L-1=e解 将a=-3代入表二，得 由性质及表二，得 f(t)=L-1 1222t1(p-2)2p-5p

15、2=eL32t-11p=3e2t21pL-12!P=3te 由性质及表二、，得 f(t)=L-1=2L-11p-5L-12=2-5t 2=4cos2t-32sin2t 由性质及表二、，得 f(t)=L-14p-3p+42=4L-1pp+42-32L-1p+42 例7-16 求解 p-2p+5的逆变换 2p+3-1-12(p-1)+5f(t)=L2=L2p-2p+5(p-1)+4=2L-1F(p)=2p+32p-1(p-1)+4pp+422+5252tL-1-12(p-1)+4222t=2eL-1+teLtp+4t52sin2t=2ecos2t+52esin2t=e2cos2t+ 在运用拉氏变换

16、解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数 F(p)=p+92例7-17 求解先p+5p+6的逆变换 将F(p)分解为两个最简分式之和：p+9p+5p+62=p+9(p+2)(p+3)=Ap+2+Bp+3， p+92p+2p+3，于是 用待定系数法求得A=7，B=-6，所以p+5p+67611-1-1-1-1-2t-3tf(t)=LF(p)=L-=7L-6L=7e-6ep+2p+3p+2p+3 F(p)=p+3p+4p+4P的逆变换 p+3P(p+2)2=7-6例7-18 求32解

17、 先将F(p)分解为几个简单分式之和： p+3p+4p+4P32=Ap+Bp+2+C(p+2)2， A=34，B=-34，C=-12，所以 33用待定系数法求得1F(p)=2=4-4-2pp+2(p+2)p+4p+4P， 32p+3于是 f(t)=LF(p)=L=34L-1-1-1314p-31124p+2-111122(p+2)(p+2)21p-34L-11p+2L=34-34e-2t-12te-2t 习题7-3 求13-18题中函数的拉氏逆变换 F(p)=2p-3 142p-8p+3622F(p)=4pp+16213F(p)= 1F(p)=15F(p)= 162p(p+1)(p+2) p+

18、2p+6p+9p 183F(p)=p+1P(P-1) 2217 7.4 拉氏变换应用举例 下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用 例7-19 求微分方程x(t)+2x(t)=0满足初值条件x(0)=3的解 解 第一步 对方程两边取拉氏变换，并设Lx(t)=X(p)： Lx(t)+2x(t)=L0， Lx(t)+2Lx(t)=0， pX(p)-x(0)+2X(p)=0 将初始条件x(0)=3代入上式，得 (p+2)X(p)=3 这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程 3第二步 解出X(p)：X(p)=p+2 x(t)=LX(p)=L-1-13p+2=3e-2t第三步

19、 求象函数的拉氏逆变换：这样就得到了微分方程的解x(t)=3e-2t 由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3： 常系数线性 象函数的 作拉氏变换 微分方程 代数方程 解代数方程 象原函数 求拉氏逆变换 象函数 -t例7-20 求微分方程y-3y+2y=2e满足初值条件y(0)=2，y(0)=-1的解 解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变换设Ly(t)=Y(p)=Y，则得 pY-py(0)-y(0)-3pY-y(0)+2Y=22p+1 2将初值条件y(0)=2，y(0)=-1代入，得到Y的代数方程 (p-3p+2)Y=22p+1+2p-7(p-3p+2)Y=2

20、2p-5p-5p+1，即2p-5p-5(p+1)(p-2)(p-1) 2 解出Y，得 Y=将上式分解为部分分式 1Y=73+4-3p+1p-1p-2， 再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为 1-t72tty(t)=e+4e-e33 用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组 习题 7-4 用拉氏变换求解19-22题中的微分方程 di19dt2+5i=10e2-3t，i(0)=0 dy220dt 21y(t)-3y(t)+2y(t)=4，y(0)=3，y(0)=3 22y(t)+16y(t)=32t，y(0)=3，y(0)=-2 +wy=0，y(0)=0，y(0)=w本章内容 本章主

21、要内容为： 1拉氏变换的概念和性质；拉氏变换的逆变换 2拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系： 拉氏变换 拉氏逆变换 + -1-ptf(t)=LF(p) F(P)=Lf(t)=f(t)edt 作拉氏变换 0 拉氏变换在解常系数拉氏逆变 拉氏变化的性质 线性微分方程中化的性质的应用 4拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表： 常系数线性 象函数的 作拉氏变换 解代数方程 微分方程 代数方程 求拉氏逆变换 象函数 象原函数 自测题七 求1-5题中函数的拉氏变换 0,0t1,f(x)=-1,1t2,2,2t.1 2f(t)=5sin2t-3cos2t 3f(t)=8sinn23t 4f(t)=1+te t5f(t)=te 求6-9题中象函数的逆变换 atF(p)=1p(p-1) 72F(p)=3p+9p+2p+10 26F(p)=8 5p-15p+7(p+1)(p-2) 932F(p)=2e-p-ep-2p