整式的加减及经典例题.docx

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1、整式的加减及经典例题5001培训中心七年级数学 整式及整式的加减要点梳理及经典例题 一、整式的有关概念 1单项式 概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：成x可以看2x2x1x，所以是单项式；而表示2与x的商，所以不是单项式，凡是分母中含有字2x22系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：-母的就一定不是单项式. 121xy的系数是-；222pr的系数是2p. 注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如：-xy,a2b3c等；p是数字，不是字母. 次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单

2、项式的次数. 注意：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如2xy3z2的次数为1+3+2=6，而不是5；切勿加上系数上的指数，如25xy2的次数是3，而不是8；-2px3y2的次数是5，而不是6. 2多项式 概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：必须由单项式组成；体现和的运算法则. 项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：2x-3y-1共含有有三项，分别是22x2,-3y,-1，所以2x2-3y-1是一个三项式. 注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是-1，而不是1. 次数：多项式中，次数

3、最高项的次数，就是这个多项式的次数. 注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式2xy-3xy+5xy中，2xy的次数是4，-3xy的次数是5，5xy22422242的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是4+5+3=12. 3整式：单项式和多项式统称做整式. 4降幂排列与升幂排列 降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列. 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列. 注意：降幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降幂重

4、新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要 1 努力造就希望 习惯决定成败 思考成就未来 - 付老师 5001培训中心七年级数学 先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式xy2-x4-y4-3x2y3-2x3y按x的升幂排列为：-y4+xy2-3x2y3-2x3y-x4；按y的降幂排列为：-y4-3x2y3+xy2-2x3y-x4. 二、整式的加减 1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：2ab与-3ba是同类项；而23322a2b3与5a3b2却不是同类项，因为相同的字母的指

5、数不同. 2合并同类项 概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项. 注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如2a+3b=5ab显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉. 法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变. 注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0. 3去括号与填括号 去括号法则：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“”

6、，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号. 注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如：a+(b-c)=a+b-c;a-(b-c)=a-b+c；当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号. 填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都改变符号. 注意：添括号是添上括号和括号前面的“”或“”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括

7、号是否正确，可用去括号来检验. 例如：a+b-c=a+(b-c);a-b+c=a-(b-c). 4整式的加减 整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是： 如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项. 注意：整式运算的结果仍是整式. 2 努力造就希望 习惯决定成败 思考成就未来 - 付老师 5001培训中心七年级数学 经典例题透析 类型一：用字母表示数量关系 1填空题： (1)香蕉每千克售价3元，m千克售价_元。 (2)温度由5上升t后是_。 (3)每台电脑售价x元，降价10后每台售价为_元。 (4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为_。 思路点拨：用字母表示数量关系

8、，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。 举一反三： 变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5，则共需邮费_元。 类型二：整式的概念 2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。 (1)x1；(2)a2；(3)；(4)SR2；(5)；(6) 总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。 举一反三： 变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。 x2y， ab， xy25， ， 29， 2ax9b5， 600xz， axy， xyz1， 。 分析：本题的实

9、质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。 答案：单项式有：x2y，29,600xz，axy 多项式有：ab，xy25,2ax9b5，xyz1 3 努力造就希望 习惯决定成败 思考成就未来 - 付老师 5001培训中心七年级数学 整式有：x2y，1。 ab，xy25，29，2ax9b5,600xz，axy，xyz类型三：同类项 3若与是同类项，那么a,b的值分别是 a=2, b=1。 a=2, b=1。 a=2, b=1。 a=2, b=1。 思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，

10、要注意同类项与系数的大小没有关系。 解析：由同类项的定义可得：a1=b,且 2a+b=3， 解得 a=2, b=1， 故选A。 举一反三： 变式在下面的语句中，正确的有( ) a2b3与a3b2是同类项； x2yz与zx2y是同类项； 1与是同类项； 字母相同的项是同类项。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 解析：中a2b3与a3b2所含的字母都是a，b，但a的次数分别是2,3，b的次数分别是3,2，所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz与zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，正确，根据可知不正确。故选B。 类型四：整式的加减 4化简mn

11、的结果是 0。 2m。 2n。 2m2n。 思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。 解析： 原式=mnmn=2n，故选。 举一反三： 变式 计算：2xy+3xy=_。 分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的 4 努力造就希望 习惯决定成败 思考成就未来 - 付老师 5001培训中心七年级数学 指数不变。注意不要出现5x2y2的错误。 答案：5xy。 5已知x，y,求代数式(5x2y2xy23xy)(2xy5x2y2xy2) 思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。 解析

12、：原式5x2y2xy23xy2xy5x2y2xy25xy 当x，y时，原式5。 总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。 举一反三： 变式1 当x0，x，x-2时，分别求代数式的2x2x1的值。 解：当x0时，2x2x1202011； 当x时，2x2x12； 当x-2时，2x2x122124+2111。 总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、

13、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。 变式2 先化简，再求值。 3(2x2y3xy2)(xy23x2y)，其中x，y1。 解： 3(2x2y3xy2)(xy23x2y)(6x2y9xy2)xy23x2y 6x2y9xy2xy23x2y9x2y10xy2。 当x，y1时，原式9(1)10(1)2。 总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y10xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。 变式3 求下列各式的值。 5 努力造就希望 习惯决定成败 思考成就未来 - 付老师 5001培训中

14、心七年级数学 (1)(2x2x1)，其中x (2)2mn(3m)3(2nmn)，其中mn2，mn3。 解析：(1) (2x2x1) 2x2x1x2x3x234x24 当x 时，原式44945。 (2) 2mn(3m)3(2nmn) 2mn6m6n3mn 5mn6(mn) 当mn2，mn3时 原式5(3)6227。 类型五：整体思想的应用 6已知x2x3的值为7，求2x22x3的值。 思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。 解析：由题意得x2x37，所以x2x4，所以2(x2x)8，即2x22x8，所以2x22x3835。 总结升华：整体思想就是在考

15、虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。 举一反三： 变式1 已知x2x10，求代数式x32x27的值。 分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。 解析：x2x10，x21x， x32x27x(1x)2(1x)7xx222x7 -x2-x-5-6 =6。 变式2 当x1时，代数式px3qx1的值为2003，则当x1时，代数式px3qx1的值为( ) A、2001 B、

16、2002 C、2003 D、2001 分析：这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。 解析：当x1时，px3qx1pq12003，而当x1时，px3qx1pq1，可以把pq看做一个整体，由pq12003得pq2002，于是pq(p 6 努力造就希望 习惯决定成败 思考成就未来 - 付老师 5001培训中心七年级数学 q)2002，所以原式200212001。故选A。 变式3 已知A3x32x1，B3x22x1，C2x21，则下列代数式中化简结果为3x37x22的是( ) A、AB2C B、AB2C C、AB2C D、AB2C 分析：将A，

17、B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：AB2C3x32x1(3x22x1)2(2x21)3x32x13x22x14x223x37x22。故选C。 答案：C 变式4 化简求值。 (1)3(abc)8(abc)7(abc)4(abc)，其中b2 (2)已知ab2，求2(ab)ab9的值。 分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将abc，abc分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视ab为一个“整体”。 解析：(1)原式3(abc)7(abc)8(abc)4(abc) 4(abc)4(abc) 4a4b4c4

18、a4b4c8b。 因为b2，所以原式8216。 (2)原式2(ab)(ab)9 (ab)9 因为ab2，所以原式2911。 类型六：综合应用 7已知多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值与x无关，试求5a22(a23a4)的值。 思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可. 解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。 因为原式的值与x无关，故3a90，所以a3。 又因为5a22(a23a4)5a22a26a83a26a8， 所以当a3时，原式33263837。 总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件

19、和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。 举一反三： 变式1当a(x0)为何值时，多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等为4。 解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。 因为(3a9)x244，所以(3a9)x20。又因为x0，故有3a90。即a3， 所以当a3时，多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等于4。 变式2当a3时，多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值为多少？ 解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7 (3a9)x24，当a3时，原式(339)x244。 7 努力造就希望 习惯决定成败 思考成就未来 - 付老师 5001培训中心七年级数学 8已知关于x的多项式(a1)x5x|b2|2xb是二次三项式，则a_，b_。 分析：由题意可知a10，即a1，|b2|2，即b4或0，但当b0时，不符合题意，所以b4。 答案：1，4 举一反三： 变式若关于的多项式：四次三项式，求m，n的值 答案：m=5，n=-1 努力造就希望 习惯决定成败 8 ，化简后是思考成就未来 - 付老师