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1、求导法则及求导公式九江学院理学院 数学分析教案 2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数,总可用定义求其导数.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计
2、算都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： f1(x)=sinx+cosx g1(x)=sin2x f2(x)=sinxcosx g2(x)=sin(ax) f3(x)=cosx g3(x)=arcsinx logaxf4(x)=csinx g4(x)=arccosx 一、导数的四则运算 问题1 设f(x)=sinxcosx,求f(x). 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,f(x)=cosxmsinx=(sinx)(cosx).即
3、(sinxcosx)=(sinx)(cosx) 一般地,有如下和的导法则： 定理1 设f(x),g(x)在x点可导,则 f(x)g(x)=f(x)g(x) 证明 令 y(x)=f(x)+g(x) Dyf(x+Dx)+g(x+Dx)-f(x)+g(x)=DxDxf(x+Dx)-f(x)g(x+Dx)-g(x)=+DxDxf(x)+g(x)当Dx0时。 问题2 设f(x)=sinxa,则f(x)=(sinx)(a)=cosxalna对吗？ 第 1 页 共 8 页 xxx九江学院理学院 数学分析教案 分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理2设f(x),g(x)在x点可导,则 f(x)g(x)=f
4、(x)g(x)+f(x)g(x) 证明 令 y(x)=f(x)g(x) Dyf(x+Dx)g(x+Dx)-f(x)g(x)=DxDx(分子-f(x)g(x+Dx)+f(x)g(x+Dx)f(x+Dx)-f(x)g(x+Dx)-g(x)g(x+Dx)+f(x)DxDxf(x)g(x)+f(x)g(x)当Dx0时。 =推论1 (u(x)v(x)w(x)(x0)=u(x0)v(x0)w(x0)+u(x0)v(x0)w(x0)+u(x0)v(x0)w(x0). 推论2 若函数v(x)在x0知可导,C为常数,则(cos(x)x=x0=Cv(x0). ax问题3 设f(x)=,求f(x). logax一般
5、地,存如下商的运算法则： 定理3 设f(x),g(x)在x点可导,则 f(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)=g(x)g2(x). 1y(x)=g(x) 证明 令 Dy111=-DxDxg(x+Dx)g(x)g(x+Dx)-g(x)1=-Dxg(x+Dx)g(x)g(x)-2当Dx0时。g(x) f(x)1=f(x)g(x) 给出. g(x)nnfi(x)=fi(x)i=1推论 (1) cf(x)=cf(x). (2) i=1. 第 2 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 nnfi(x)=Kk(x),j=1k=1 (3) D.利用导数的四则运算法则举例. Kk(x)=f1(x)L
6、fk(x)Lfn(x). 例1 f(x)=x3+5x2-9x+p,求f(x),f(0). 例2 y=cosxlnx,求y2x=p. 例3 证明：(x-n)=-nx-n-1,nN. 2+例4 证明：(tanx)=secx,(cotx)=cscx. 例5 证明：(secx)=secxtanx,(cscx)=-cscxcotx. D.利用导数的四则运算法则求导数举例： 1 f(x)=x+sinx; 2 f(x)=x-sinx+cosx; 3 f(x)=2x; 4 f(x)=xcosx; 235f(x)=xsinx+7x; 6f(x)=x+x+xcosx; 22237f(x)=xsinxlnx+2tg
7、x5sinx+3tgx; 8f(x)=; xxexsinx9y=+x2lnx. 1+tgx二、反函数的导数 问题1 设f(x)=arcsinx,求f(x). y(c,d)点可导,且定理4 设x=j(y)在区间(c,d)上连续,严格上升,在0j(y0)0, x0=j(y0).则反函数y=f(x)在x0点可导,且 f(x0)=11=j(y0)jf(x0). 注 若x=j(y)在(c,d)可导,导数0(或0(或0,a1),求y. 例6 x=logay, 解 (ax)已知,也可求 a(ax)=y=ax(logax)=logae11=(ax)x=logayaxlnay. 例7 y=x,求y. 解 y=e
8、alnxy=,aalnxe=axa-1x. 例8 y=arcsinx,求y. 解 x=siny, (arcsinx)=1(siny)y=arcsinx例9 y=arccosx,求y. 例10 y=arctgx,求y. 1cos(arcsinx)1=。21-x=第 4 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 三、复合函数的导数 问题1 设f(x)=sin2x,求f(x);2）. 设f(x)=sin(ax),求f(x);3）. 设f(x)=xa,求f(x). 定理5 设导,且 f(u0)与g(x0)存在,u0=g(x0),则复合函数F(x)=fg(x)在x0点可F(x0)=fg(x0)g(x
9、0). 注 若f(u)的定义域包含u=g(x)的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数F(x)=fg(x)在g(x)的定义域上可导,且F(x)=fg(x)g(x)或 dydydu=y=yududx. xux, dx 定理的证明 定义函数 f(u)-f(u0),uu0,u-uA(u)=0f(u),u=u0。0 limA(u)=A(u0)=f(u0)A(u)在u0点连续,uu0. 由恒等式,f(u)-f(u0)=A(u)(u-u0),我们有 F(x)-F(x0)fg(x)-fg(x0)g(x)-g(x0)=Ag(x)x-x0x-x0x-x0xx0,得 F(x0)=fg(x0)g(x0). 令
10、我们引进A(u)是为了避免再直接写表达式 F(x)-F(x0)f(u)-f(u0)g(x)-g(x0)=x-x0u-u0x-x0xx0时,可能会出现 u=u0 情况. 中当例1 y=1-x,求y. 解 -1122y=(1-x)(1-x2)21-1=(1-x2)2(-2x)2x=-。21-x 2 例2 y=sinx,求y. 12第 5 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 222解 y=cosx(x)=2xcosx. 3y=sin(sinx),求y. 例3 333233y=cos(sinx)cosx(x)=3xcosxcos(sinx). 解 2y=ln(x+1+x),求y. 例4 解
11、x+1+x2 例5 y=ln|x|,求y. 解 x0 时,y=(x+1+x2)2121+x=x+1+x21+x2. 1+2xy=111y=(ln(-x)=-(-x)=xx, x0x; x0),求y. 31ln|x|-ln|x-a|22解 函数定义域(-,0)和(a,+),取对数 ,两边对y31112x-3a=-=y=y(x)求导,采用隐函数微分法,得 y2x2x-a2x(x-a),所以 lny=x3x-a . vy=u 例9 ,u=u(x),v=v(x),求y. 2x-3ay=2x(x-a)y1=vlnu+vuu解 取对数,得lny=vlnu,两边求导,得 y, vuvuy=y(+vlnu)=
12、uv(+vlnu)uu. xxy=x(1+lnx). y=x 如,六、双曲函数及其反函数之导数 x-x1y=shx=(e-e), 2 x-x1y=chx=(e+e) , 2 shxchx chxy=cthx=shx y=thx=22性质 chx-shx=1 22chx+shx=ch2x sh2x=2shxchx sh(xy)=shxchychxshy ch(xy)=chxchyshxshy 11-th2x=2chx 11-cth2x=-2shx iqshx+chx=excosq+isinq=e-xcosq-isinq=e-iqchx-shx=e 由 (shx)=chx (chx)=shx 第
13、7 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 反双曲函数 (thx)=1ch2x 2Arshx=ln(x+1+x) (Arshx)=Archx不是单值函数,可选一个分支来研究 111=(shy)y=ArshxchArshx1+x2 11+xln21-x 1(Arthx)=1-x2 Arthx=小结 一、 基本求导法则 1 (uv)=uv； 2 (uv)=uv+uv, (cu)=cu； 3 =uvuv-uv11dydydu=-=,； 4 反函数导数 . 22vdxdudxvv二、基本初等函数导数公式 1(c)=0; 2(xa)=axa-1 (aR); 3(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx; 4(tan)=-csc2x, =sec2x,(cot)(secx)=secxtanx,(cscx)=-cscxctgx; 5(a)=alna, (e)=e; 6(logax)=xxxx11,(lnx)=; xlnax7(arcsinx)=11-x2,(arccosx)=-11-x2; (arctanx)=11(arccotx)=-,. 221+x1+x第 8 页 共 8 页
