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1、精品 导数的概念及运算导数的概念及运算 一、重点难点分析： 1导数的定义、意义与性质： 函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量x，则函数y相应地有改变量y=f(x0+x)-f(x0)，这两个增量的比 叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，即 。如果当x0时， 有极限，我们说函数在x0处可导，即 并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数。记作f(x0)或 。 导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x
2、)在区间内的导函数，记作f(x)或y，即 。 可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。 导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即 。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)，切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0)。 2求导数的方法： 求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数 。 几种常见函数的导数公式： C=0(C为常数)； (xn)=nxn-1 (nQ)； (sinx)=cosx
3、； (cosx)=-sinx； (ex)=ex； (ax)=axlna ； 导数的四则运算法则： (uv)=uv (uv)=uv+uv 复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 说明： 1函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。 2求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析 3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。 二、典型例题： 例1求下列函数的导数 y=(2x-3)5 y=sin32x 解析： 设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u
4、5，u=2x-3 由复合函数的求导法则得： y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42=10u410(2x-3) 4 设u=3-x，则 可分解为 ， 。 y=3(sin2x)2(sin2x)=3sin22xcos2x(2x)=6sin22xcos2x 例2已知曲线 点切线方程。 ，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一 解析： ，令 ，即 ， 得x=4，代入 ，得y=5， 曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为 x-2y+6=0。 ，即 例3已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第小题中切线与曲线
5、C是否还有其它公共点。 解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切点为(1,-4)，y=12x3-6x2-18x 切线斜率为k=12-6-18=-12， 切线方程为y=-12x+8。 由 得3x-2x-9x+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0， 432。 公共点为(1,-4)， ，除切点外，还有两个交点 。 评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。 *例4设 ，求f(x)。 解析：当x0时， ，当x0 B.x 0 9设f(x)=esinx，则f()为 A、1 B、
6、-1 C、 D、- 22 10设y=f(e)可导，则y等于。 -x A、f(e) B、ef(e) C、-ef(e) D、-f(e) -x-x-x-x-x-x答案与解析 答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C 解析：略。 专题辅导 例谈导数在解高考试题中的应用 导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用。本文将依托近几年的高考试题，例谈导数在解高考试题中的应用。 一、导数在解高考选择题中的应用 例1如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为。 A、 B、 C、 D、 解：设圆柱的底面半
7、径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l, ， V=lr-6r, 令V=0，得r=0或 2，而r0, 是其唯一的极值点。当 时，V取得最大值，最大值为 。 应选A。 例2已知函数y=loga(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围为 A、 B、 C、 D、2，+） 解： ，由题意可知：y0， ，即 ，或 在0，1上恒成立。 当 时，由logae0得a1. 由2-ax0得： 在0，1上恒成立，而 在0，1上的最小值为2，所以只需a2。 由上讨论可知1a2。 注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。 例3母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于。
8、 A、 B、 C、 D、 解：设母线与底面夹角为，则底面半径r=cos，h=sin， , , , 令V=0, 得 ，而 ， ，而它是唯一的极值点。 当 时，V取得最大值， 此时 ，此时侧面展开图圆心角 ，应选D。 评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。 二、导数在解高考解答题中的应用 例1根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x+1在上为减函数。 3 分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f(x)=-3x2 在上为减函数。 0, f(x)=-x3+1 例2甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千
9、米/小时，已知：汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。 把全程运输成本y表示为速度v的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 解： 。 ，令y=0，得 。 当 时， 是该函数唯一的极值点。 当 时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。 当 时，而v(0,c，所以 ，此时y0或f(x)0时，即 在R上恒成立， 而当x时， ，所以这样的a不存在。 当f(x)1时f(x)为单调函数。 例4设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm，画面的宽与高的比为(0，所以 ，在 时为增 当 时，能使宣传画所用的纸张面积最小。 三、反思 以前我们研究函数的单调性时，时常要用到复合函数的单调性的判断，而这种方法不是教材中所要求的；在研究函数最值时，老师往往总结出许许多多的方法，学习起来非常困难.从以上例题和分析 ，我们不难看出，导数在解决函数问题时，有以下显著的优点：变“巧法”为“通法”；方法程序化，利于掌握；避开初等变形的难点.因此，我们在高三学习中，要有意识地用导数法思考问题，培养用导数法解决问题的能力。
