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1、谈数学分析中的哲学思想谈数学分析中的哲学思想 1 中文摘要1 关键词1 引言1 1数学分析的辨证唯物主义渗透1 1.1整体部分的观点2 1.2量变与质变的观点2 1.3对立统一的观点2 1.4否定之否定的观点2 1.5普遍联系的观点3 1.6实践的观点3 2数学分析辨证思想的渗透5 2.1数学结合的思想方法5 2.2分类讨论的思想6 2.3转化的思想7 结束语7 参考文献8 英文摘要8 1 谈数学分析中的哲学思想 摘 要：数学分析中蕴涵着丰富的哲学思想，如整体与部分，量变与质变，对立统一，否定之否定，普遍联系，实践的观点等.数学思想方法是数学知识的精髓，是联系数学能力的桥梁.在数学分析中加强哲
2、学思想的渗透，不仅能更好地掌握数学知识，而且能增强辨证思维，提高学习效率，取得更好的教学效果. 关键词：数学分析，辩证唯物主义，辨证思想方法 引言 数学分析中蕴涵着丰富的哲学思想.数学分析是一门变量学科，恩格斯说：“有了变数，辩证法进入了数学”.哲学是数学教师指导教学工作和生活的重要工具，同时又是数学教学的重要目的之一，因此在数学分析教学中进行哲学思想的渗透有十分重大的意义. 1 数学分析中辨证唯物主义观点的渗透 1.1整体与部分的观点 任何事物都是一个整体，同时又包含各个部分，整体和部分是相互依赖的.整体由部分构成，整体依赖于部分，只有深入认识部分才能清晰的把握整体.部分是整体的部分，离开整
3、体的部分，就失去它原有的性质与功能，部分依赖整体，只有从整体中才能真正认识部分. 数学分析中连续与一致连续之间的关系就是渗透着整体与部分之间的关系.例如： 例1 讨论 f(x)=ax+b (a0)在上一致连续 解：由f(x)是初等函数，那么在上任意一点x0处f(x)是连续的 任给e 0 ，由于 f(x1)-f(x2) =ax1-x2 ， 故可选取 d=e，则对任何 x1,x2(+,-)，只要x1-x2d a 就有 f(x1)-f(x2)e 这就证得 f(x)=ax+b,在(-,+)上一致连续 但是我们所说的整体与部分之间又不是简单的罗列关系，处于系统中的要素，其性质，功能要受该系统的影响和限制
4、，离开了整体，其性质就发生了变化.例如： 例2 证明：y =1 在(0,1)内不一致连续 x1 证明：对于y= 11，可取e0=1，对无论多么小的正数d ，只要取x1=d与 x2x2= 但 dd, 则虽然x1-x2=1, -x1x2d1在内不一致连续 x所以 y= 1.2量变与质变的观点 任何事物都是质和量的统一体.质是一事物成为它自身并与之区别与其他事物的规定性，质和事物的存在是直接同一的.认识质是认识和实践的起点.量是事物存在和发展的规模、程度、速度以及它的构成成分在空间的排列组合等可以用数量表示的规定性，量和事物的存在不是直接同一的.认识事物的量是认识的深化和精确化. 从一重积分到二重积
5、分，变量由一个增加到多个，这个量的改变引起质的改变.具体表现在他们性质的差异性.例如： 1.一重积分被积函数是一元函数，而二重积分则是二元函数. 2.一重积分被积区间是一维空间，而二重积分则是二维空间. 3.一重积分可以求曲面面积与旋转体的体积；而二重积分除了这些还可以求一般体的体积. 1.3对立统一的观点 唯物辩证法是一个完整的科学体系，它包括一系列的基本规律和范畴.对立统一规律又称矛盾规律.矛盾是指事物内部或事物之间的对立和统一及其相互关系，矛盾即对立统一. 统一规律是唯物辩证法的实质和核心，它提示了事物发展的源泉和动力. 数学中到处充满着矛盾，充满着各种对立的转化.古代哲学家庄周所著引用
6、过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制的进行下去.在这里充分体现了有限和无限之间的对立统一性. 1.4否定之否定的观点 辨证的否定不是一次完成的，而是经历两次否定、三个阶段的有规律的过程，即“肯定否 定否定之否定”的过程.事物的这种否定之否定过程，从内容上看，是自己发展自己，自己善 自己的过程；从形式上看，是螺旋式上升或波浪式前进上升的，道路是迂回曲折的. 数学分析中有一些概念的定义都是通过对立面得到定义的.例如： 有界集：设S为中R的一个数集，若存在数M1 (L)，使得对一切xS ，都有xM(xL) 则称S为有上界的数集，
7、数M 称S为有界集 ，于是 (L)称为S的一个上界 无界集：设S为R中的一个数集，若S既无上界又无下界，则称S为无界集 如同有界和无界这样概念的定义法还有连续与不连续，一致连续与不一致连续.其实，在在数学分析中的一些证明也包含着否定之否定思想.例如： 设a,bR,证明；若对于任何正数 有ab令e=a-b， 则e为正数且a=b+e ，但这与假设ab不成立，从而必有ab 1.5普遍联系的观点 马克思主义告诉我们，物质世界是普遍联系的，这是物质世界存在的真实形态.联系的观点是唯物辩证法的基本特征之一.联系作为唯物辩证法的基本范畴，是指世界上一切事物都处于普遍联系之中，事物之间以及事物内部的各要素之间
8、相互依赖，相互影响，相互制约，相互作用. 这种观点在数学分析中无处不在，且在无穷级数与函数项级数体现尤为明显. 有定理可以证明 定理：设f为1,+) 上非负减函数，那么正项级数f(n)与反常积分 +1f(x)dx 同时收敛或同时发散 1np的敛散性(p0) 例3 讨论p级数+dx1 解：函数f(x)=p ，当p0在1,+)上是非负减函数，我们知道反常积 1xxp1在p1时收敛，在p1时发散，故由上面定理得p当p1时收敛，当n0p0 px 故x=3vp 是f(x)的极小值点，此时，h=vvv3 ， =232pxppv 故 x1= h1 即底的半径与容器高的比例为1:1时容器的表面积为最小 例5
9、如图一 所示，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子的容积最大？ 解：设每个小方快边长为x，则盒子的容积为 V(x)=x(a-2x) , x 0, 令 V(x)=6x-2a 2aax-=0 62 在0,aaa内解得稳定点 ，并由Vx=-4a0)的收敛性 与pp1xx 解 这里讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论 下面分两种情形来讨论： 当 p1时 , +1sinxdx绝对收敛，这是因为 px而 +1+sinxdxp1 ，当时收敛，故由比较法 推知 1xpdx 收敛 xp+sinx1xpdx条件收敛，这是因为对任意u1,有 u1 sinxdx=
10、cos1-cosu2 而 p 当p0时单调趋于0(x+) 1x+sinxdx , 当p0时总是收敛的 故由狄利克雷判别法推知p1x 当0p1时,另一方面，由于 1 sinxsin2x1cos2x =-,x1,+), pxx2x2xcos2x1+costdx=dt满足狄利克雷判别条件，是收的 其中 12x22t+dx 而 是发散的 12x+ 因此 0p1 时该无穷积分不是绝对收敛的，所以它是条件收敛的. 2.3转化的思想方法 数学分析中的转化思想是处理数学问题时，使一种数学对象在一定条件下转变为另一种数学对 象的指导思想，它是唯物辩证法运动变化规律的数学化.数学分析充满转化思想：如代数与几何的
11、转化以及数与数的转化.下面我们看一个实例： 例9 计算(xV2+y2)dxdydz其中V是由曲面2(x2+y2)=z与z=4为界的区域 22 解：V在xy平面上的投影区域D为x+y2 按坐标变换 区域V可表示为： V=(r,q,z)2r2z4,qr2,0q2p 所以由公式： 得 f(x,y,z)dxdydz=f(rcosq,rsinq,z)rdrdqdz VV2233 (x+y)dxdydz=rdrdqdz=dqdr2rdz=V2p24V002r8p 3 结束语 在数学分析学习中加强哲学思想的渗透，不仅能够更好的掌握数学知识，而且能 够加强辨证思维，提高学习效率，取得更好的学习效果. 参考文献
12、： 1 数学分析 华东师范大学数学系 M 北京：高等教育出版社 1 2 数学分析选讲刘广云 M 哈尔滨：黑龙江教育出版社 3 马克思主义原理 M 北京：高等教育出版社 4 数学文化张慧延M 高等教育出版社 5数学分析中的典型问题与方法裴礼文 高等教育出版社 Discusses in the mathematical analysis the philosophy thought Sun Li Li (Mathmatics Department, Acheng Institute ,Harbin Normal University) Abstract: In the mathematical a
13、nalysis is containing the rich philosophy thought, like whole and part, quantitative change and qualitative change, unification of opposites, denial of the denial, universal relation, practice viewpoint and so onMathematics thinking method is mathematics knowledge essence, is relates mathematics abi
14、lity the bridgeStrengthens the philosophy thought in the mathematical analysis the seepage, not only can grasp mathematics knowledge well, moreover can strengthen the dialectical thought, enhances the study efficiency, obtains the better teaching effect Key word: Mathematical analysis, dialectical materialism, dialectical thinking method 1 1
