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1、高三数学 二项式定理二项式定理 1 知识精讲： 0n1n-1rn-rrnn二项式定理：(a+b)=Cna+Cnab+L+Cnab+L+Cnb n*rn-rr其通项是Tr+1=Cnab ，知4求1，如：T6=T5+1=Cnan-5b5 5rnr亦可写成：Tr+1=Cna barnnn1n-1rn-rr(a-b)n=Cn0an-Cnab+L+(-1)Cnab+L+(-1)Cnb 0n1rn-rnn特别地：(1+x)=Cnx+Cnx+L+Cnx+L+Cnx n*其中，Cn二项式系数。而系数是字母前的常数。 12n例1Cn等于 +3Cn+9Cn+L+3n-1Cn3r4n4n-1-1 D.A4 B。34
2、 C。 33nn12n解：设Sn=Cn，于是： +3Cn+9Cn+L+3n-1Cn12n12n=Cn+3Cn3Sn=3Cn+32Cn+33Cn+L+3nCn+32Cn+33Cn+L+3nCn-1 3033故选D 例2求(1+2x)的展开式的第四项的系数； 求(x-)的展开式中x的系数及二项式系数 71x933337解：(1+2x)的展开式的第四项是T3+1=C7(2x)=280x， (1+2x)的展开式的第四项的系数是280 (x-)的展开式的通项是Tr+1=C9x719x9-2r=3，r=3， r9-r1(-)r=(-1)rC9rx9-2r， x33333x的系数(-1)C9=-84，x的二
3、项式系数C9=84 二项展开式系数的性质：对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的0n1n-12n-2kn-k二项式系数相等，即Cn=Cn,Cn=Cn,Cn=Cn,LCn=Cn,L 增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：Cn()rmax=Cn=Tn；2+1n2如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即(Crn-1n+1n)max=Cn2=Cn2=Tn-1+1=Tn+1。 22+1所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于2n即C0C1nnn+n+L+Cn=2； 奇数项的
4、二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，C0+C21C31nn+L=Cn+n+L=2n- 例3已知(1-2x)7=a20+a1x+a2x+a7x7，求： a1+a2+a7； a1+a3+a5+a7； |a0|+|a1|+|a7|. 解：当x=1时，(1-2x)7=(1-2)7=-1，展开式右边为 a0+a1+a2+a7 a0+a1+a2+a7=-1， 当x=0时，a0=1，a1+a2+a7=-1-1=-2， 令x=1， a0+a1+a2+a7=-1 令x=-1，a70-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=3 - 得：2(aa71+371+a3+5+a7)=-1-3， a1+a3+a5+a
5、7=-2. 由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， 由中+ 得：2(a70+a2+a4+a6)=-1+3， aa-1+370+a2+a4+6=2， |a0|+|a1|+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7 =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=37 即1例4如果在x+ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有42x理项。 n1的展开式的常数项。 -2求x+xnn(n-1)解：展开式中前三项的系数分别为1， ， 28nn(n-1)由题意得：2=1+得n=8。 28设第r+1项为有理项，Tr+1有理项为T1=x,T
6、5=431=crx2r816-3r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。 351。 x,T9=8256x23 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。 x+1-2x6-r2rr1=x-xr26，其展开式的通项为Tr+1=(-1)C6x所以，常数项为16-rr6-rrx=(-1)rCrx2-2=062，令2得r=3 T4=-20 密切注意通项公式的使用。 二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：22n(n3,nN)取n2n=(1+1)的展开式中的四项即可。 nn1n-12n-2n-1+L+Cn7被9除得的余数是 例5、 若n为奇数，则7+Cn7+Cn7A0
7、 B。2 C。7 D.8 n1n-12n-2n-1+L+Cn7=8n-1=(9-1)-1 解：7+Cn7+Cn7n=9n1n-1-Cn9+L+(-1)Cnn-19+(-1)-1 n-1nn1n-1-Cn9+L+(-1)Cnn-19-2 n-1因为n为奇数，所以原式=9所以，其余数 为9 2 = 7，选C 例6：当nN且n1，求证2(1+1n)1+C11=2 nnnn2nnnnnnn(n-1)n(n-1)(n-2)1n(n-1)(n-2)L321 1+L+1+=2+2!n23!n!nnnn111-n-111111122 2+L+2+2+L+n-1=2+12!3!n!2221-23-1 从而2(1+1)n3 3.n2n-1这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。 2重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。 3思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。 4特别注意:二项式的展开式共有n+1项，Cnarn-rbr是第r+1项。 rn-rr通项是Tr+1=Cnab 中含有Tr+1,a,b,n,r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。 注意二项式系数与某一项系数的异同。 当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1+x)的近似值。 n
