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1、高三复习中极限数学归纳法易错题型命题角度 1 数学归纳法 1已知a0,数列an满足a1=a,an+1=a+1,n=1,2,. an()已知数列an极限存在且大于零，求A=liman(将A用a表示)； n()设bn=an-A,n=1,2,证明：bn+1=-()若|bn|12nbn; A(bn+A), 对n=1,2都成立，求a的取值范围。 11两边取极限得，A=a+. Aan考场错解 ()由liman，存在，且A=liman,对aa+1=a+nn解得A=aa2+4a+a2+4.又A0, A=. 22()由an+bn+A,an+1=a+bn+1=a-A+即bn+1=-11得bn+1+A=a+. an
2、bn+A111bn=-+=-. bn+AAbn+AA(bn+A)bn对n=1,2都成立。 A(bn+A)12n()对n=1,2,|bn|1212，则取n=1时，|b1|111,得|a-(a+a2+4|. 222|(a2+4-a)|.a2+4-a1,解得a3。 2专家把脉 第问中以特值代替一般，而且不知bn数列的增减性，更不能以b1取代bn. 对症下药 () ()同上。 ()令|b1|,得|a-(a+a2+4)|. |121a+4-a|. 2232121212a2+4-a1,解得a. 现证明当a31时，|bn|n对n=1,2,都成立。 22(i)当n=1时结论成立。 (ii)假设当n=k(k1)
3、时结论成立，即|bk|11212k，那么|bk+1|=|bk|11k. |A(bk+A)|A|bk+A|2故只须证明A|bk+A|a+a2+4=2，即证A|bk+A|2对a成立 232由于A=a+4-a2, 而当a时，而当a时，a2+4-a1,A2. |bk+A|A-|bk|2-32323212k121,即A|bk+A|2. 12k故当a时，|bk+1|=12k+1. 即n=k+1时结论成立。 根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。 故|bn|12n对n=1,2,都成立的a的取值范围为,+ 322(典型例题)已知数列an中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算a
4、2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。 考场错解 当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=.由此猜想an= 当n=1时，a1=321-1121232123412382*(nN) n-13=3,结论成立； 32k-1 假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以1211ak+11=,又a1=3,所以an是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=322ak2k+1-1=32k+1-1,这表明，当n=k+1时结论也成立。
5、 由、可知，猜想对任意nN*都成立。 专家把脉 应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(n2)求得a3=,a4=,进而由此猜想an=32n-132123438(nE*). 32k-1用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设ak=ak+1=32k+1-1，而是根据等比列的通项公式求得.这种证明不属于数学归纳法。 32对症下药 由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=.当n2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.将a2=代入得a3=a2=,a4=a3=,由此猜想an=法证明猜想成立。 当n=1时，a1=3a1-112
6、321234123832n-1(nN*).下面用数学归纳=3,猜想成立； 32k-1假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=ak+1=12成立，则当n=k+1时，因为ak+1=ak，所以1232k-1=32k=32k+1-1这表明，当n=k+1时结论也成立。 由，可知，猜想对nN*都成立。 3已知不等式+121311log2n,其中n为大于2的整数，log2n表示不超n2过log2n的最大整数。设数列an的各项为正，且满足a1=b(b0),an()证明：an2b，n=2,3,4,5,; 2+blog2nnan-1,n=2,3,4,. n+an-1()猜测数列an是否有极限？如果有，写出极限的值
7、； 试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0,都有an. 考场错解 利用数学归纳法证明不等式：an1）当a=3时，an 2）假设n=k(k3)时，akb(k+1)akk+1b,则ak+1=.即n=k+1时，1+f(k)b(k+1)+ak1+k+11+f(k+1)bak15b. 1+f(n)b3a233b知不等式成立。 =32+a13+a21+f(3)b+1+1a22a1不等式成立。 ()有极限，且linanan=0. n()Q2b221,令10=1024.取N=1024,有an. 专家把脉 在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。 对症下
8、药 证法1：当n2时，0an1n+an-111111=+,即-,于是有 annan-1an-1nanan-1n11111111111111-,-,L,-，所有不等式两边相加可得-+L+. a2a12a3a23anan-1nana123nman-1,n+an-1由已知不等式知，当n3时有，a1b,anlog2n. ana121112+blog2n+log2n=. anb22b2b. 2+blog2n12131n证法2：设f(n)=+L+,首先利用数学归纳法证不等式an(i)当n=3时，由a3b,n=3,4,5,. 1+f(n)b3a233b=.知不等式成立。 32+a13+a21+f(3)b+1
9、+1a22a1(ii)假设当n=k(k3)时，不等式成立，即akb1+f(k)b, 则ak+1(k+1)ak(k+1)+a=k+1k+1(k+1)bbbkk+11+f(k)b=(k+1)+(k+1)f(k)b+b=1=1+f,a+1(k+1)+11+f(k)+1b(k+1)bkbk+即当n=k+1时，不等式也成立。 由、知，anb1+f(n)bn=3,4,5,. 又由已知不等式得 abn=2b1+12+bbog,n=3,4,5,. 2n2log2nb()有极限，且liman=0, n() 2b2+blog2,令2log2102nlog2n10,=1024,故取2nlog2n2n5N=1024，
10、可使当nN时 ,都有an0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1l交x轴于B1,作B1A2l交曲线C于A2依此类推。 求点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标； 答案： A1(1,1)、A2、A3、B1、B2、B3 猜想An的坐标，并加以证明； 答案： An(n+n-1,n-n-1),证明略. lim|BnBn+1|. nBn-1Bn答案：设An(1,an),Bn(bn,0). an由题图：A1，B1 a1=1,b1=2且 1bn=a+ann 1a=-bn-1(QAn在直线y=x-bn-1上)nanlim|BnBn+1|2an+1n+1-n=lim=lim，分子分母乘以 n|Bn-1Bn
11、|n2annn-n-1及limn+n-1n+1+n1+1-=limnn1+1+1n1n=1 3 设数列a1,a2,，an,的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-无关的常数，且b-1。 求an和an-1的关系式； 答案： an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-解得an=1(1+b)n+1(1+b)n-1=-b(an-an-1)+b(1+b)n1,其中b是与n(1+b)n(n2) bban-1+(n2) 1+b(1+b)n+1 猜想an的表达式； 答案：a=S1=1-ba1-an=1b ,a1=21+b(1+b)bbbban-2+1+b1+b(1+b)n(1+b)n+1b2b2+
12、b=an-2+1+b(1+b)n+1b2bbb+b2=an-3+1+b1+b(1+b)n-1(1+b)n+1b2b+b2+b3=an-3+,L1+b(1+b)n+1由此猜想an=(把a1=b(1+b)2bn-1b+b2+b3+L+bn-1)a1+ 1+b(1+b)n+1代入上式得 b-bn+1(b1)b+b2+L+bn(1-b)(1+b)n+1=an= (1+b)n+1nn+1(b=1)2 当0b1时，求极限limSn. n(3).Sn=1-ban-11(1+b)n=1-bb-bn+1(1-b)(1+b)n+1-1(1+b)nb(b-bn+1)1n+1-(b1),答案：=1-1-b1+b(1+
13、b)n1nQ0b0,b0). ()当a=b时，求数列un的前项n项和Sn。 求limnun。 un-1n23n-1n考场错解 当a+b时，rn=(n+1)a.Sn=2a+3a+4a+na+(n+1)a.则234nn+1aSn=2a+3a+4a+na+(n+1)a.两式相减： Sn=(n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a(1-a)2a(n+1)un(n+1)an() lim=lim=a. limnnun-1nuan-1n专家把脉 问运用错位相减时忽视a=1的情况。 a=b是的条件，当ab时，极限显然不一定是a. 对症下药 当a=b时，un=(n+1)an.这时数列un的前n项和 23
14、n-1nSn=2a+3a+4a+na+(n+1)a. 234nn+1式两边同乘以a,得aSn=2a+3a+4a+na+(n+1)a 23nn+1式减去式，得Sn=2a+a+a+a-(n+1)a a(1-an)若a1,(1-a)S=-(n+1)an+1+a 1-ana(1-an)Sn=(1-a)2=(n+1)a+a-(an+1)an+11-a-(n+2)(1-a)2n+1n+2-a+2a2若a=1,Sn=2+3+n+(n+1)=n(n+3) 2a(n+1)un(n+1)an()由，当a=b时，un=(n+1)an,则lim=lim=a. limnnun-1nuan-1n当ab时，un=a+ab+
15、ab+b=a1+2+L+n b1-n+11unan+1-bn+1nn+1n+1a=(a-b)此时,=. =annba-bua-bn-11-aba-bna=a. =limbn1-nann-1n-1nnbababa或ab0, limnuna-b=limun-1nan-bnn+1n+1若ba0, limnunun-1aan-bb=b. =limann-1b专家会诊 1充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限limC=C.(C为常数). limnn1=0.nlimqn=0,|q|0,a1),设y4=17,y7=11. (1)求数列yn的前多少项最大，最大为多少？ 答案：由已知得，数列为关数列，y4=
16、17,y7=11, 公差d=11-17=-2,yn=y4+(n-4)d=25-2n,当1n12时,yn0,当n13时,yn0,数列yn3的前12项最大，最大为144. 设bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求limsn225的值。 n答案： bn=2yn,Sn=b1+b2+bn, bn为等比数列. 且公比为q=14,nS1223nlimS=1-q=3=2253 4limSn=1n2253. 4 设a2n-1，An=C12nn=1+q+q+q(nN+,q)na1+Cna+Cnan (1)用q和n表示An; 答案：q1, an=1-qn1-qA1-qn=11-q221-qnn1-qCn+1-qC
17、n+L+1-qCn=11-q(C1n+Cn2+L+Cnn)-(qC1n+q2Cn2+L+qnCnn) =11-q(C0n+C1n+L+Cnn)-(C0n+qC1n+q2Cn2L+qnCnn)=12n1-q-(1+q)n(q1)(2)当-3q1时，求limAn2的值； n答案：An2=11-q1-(1+q2)n,Q-3q1, n|1+q2|1, xlimAn2=11-q n命题角度 3 函数的极限 1若lim=1，则常数a,b的值为 Aa=-2,b=4 Ba=2,b=-4 Ca=-1,b=-4 Da=2,b=4 ） , a=-2,b=4. (1+x)(1-x)专家把脉 中有在式的求解中，注意a、
18、b的符号。 对症下药 C lima(1+x)-b1-x2x1=limx1ax+a-b=1. (1+x)(1-x)故ax+a-b中必有因式，且极限为1。故a=-2,b=-4. 2若limA-1 B1 C- D 考场错解 D limf(x-1)x-1x-11=1,则lim=lim=. x-1x1f(2-2x)x1f2(x-1)2x1f(x-1)x-1=1,则lim= x-1x1f(2-2x)1212x1考场把脉 错误理解极限存在的条件。函数f(x)中必有因式。 对症下药 Climf(x)=x. limx1f(x-1)=1,故f(x-1)=x-1. x-1x1x-11=-. 2-2x23lim= 1
19、6A- B C- D 考场错解 B 原式=lim1-x11=lim=. (x-1)(x-2)(x-3)x1(x-2)(x-3)21212x1专家把脉 在运算中注意符号的变化。 对症下药 A limx1x-3-2(x-2)1-x-11=lim=lim=-. (x-1)(x-2)(x-3)x1(x-1)(x-2)(x-3)x1(x-2)(x-3)2x+3-9 4lim16x-3x2= 1613A- B0 C D 考场错解 B 当x-3,x+3=0,故limx+3-9x-3x2=0。 专家把脉 求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入。 对诊下药A lim11=- x-3x-36专家会诊 1求函数
20、的极限时，如果xx0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。 2当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。 3已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。 考场思维训练 1 设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则limnf(x0-n+1)=_. n答案：-f(x0) 解析：limnf(x0-) n+1n1f(x0-)-f(x0)n=-f(x0). =-lim1x+-n2 limA. x2-1-x-1n12x2= ( ) 12 B
21、. C.0 D.2 23答案： B解析：略 bx2+cx+223 已知lim=a,且函数y=alnx+c在1，e上存在反函数，则 xx2x-2Ab(-，0) Bb(2e,+) Cb(-，0) (2e,+) Db(0，2e) 答案： C解析：略 4 设f(x)是x的三次多项式，已知lim零常数）. 答案：解：由于limf(x)=1,可知f(2a)=0 x-2af(x)f(x)f(x)=lim=1，试求lim的值。与有因式， 由于 f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C), 这里A、C均为选定的常数，由limf(x)A(x-2a)(x-4a)(x-C)=1,即
22、lim=limA(x-4a)(x-C)=1,得(2a-4a)(2a-C)=1,即x2ax-2ax2ax2ax-2a4a2A-2aCA=-1 同理，由于limf(x)=1,得A(4a-2a)(4a-C)=1, x4ax-4a即8a2A-2Aca=1 由得C=3a,A=12a2,因而f(x)=12a2(x-2a)(x-4a)(x-3a), limf(x)111 =lim(x-2a)(x-4a)=a(-a)=-x3ax-3ax3a2a222a2命题角度 4 函数的连续性 1极限limf(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的 xx0A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充
23、分也不必要的条件 考场错解 C limf(x)存在f(x)在点x=x0处连续。 xx0专家把脉 limf(x)f(x0)时，则f(x)在点x=x0处不连续。 xx0对症下药 B limf(x)不一定等于函数值f(x0)，而f(x)在点x=x0处连续。则有xx0xx0limf(x)=f(x0) xn2已知函数f(x)=limn4-xn，试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，求出其不连续点。 考场错解 4-nx0, xn4,x-2. f(x)的定义域为。 当x=0时，f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。 专家把脉 错把函数f(x)= limxnn4-xn当作函数
24、f(x)=xnxn4-xn. 对症下药 当|x|1时，f(x)=lim(4)当x=1时f(x)=lim01f(x)=3-1n4-xn=0； xnxnn4-xn不存在； 13n4-xn=. xnn4-xn=-1。 -1x1x=1x1f(x)的定义域为。 而在定域内，x=1时。 x1-limf(x)=0. limf(x)=-1. limf(x)不存在。 x1+x1+故f(x)在x=1处不连续。f(x)在定义域内不连续。 专家会诊 1在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即limf(x)=f(x0).前提是f(x)在x0xx0处的极限要存在。 2在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之
25、外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。 考场思维训练 1 f(x)在x=1处连续，且limf(x)=2，则f(1)等于 x1x-1A-1 B0 C1 D2 答案： B解析：略 2 limx1x2-ln(2-x)=_. 4arctanx1 解析：利用函数的连续性，即limf(x)=f(x0), pxx0答案：x2-sin(2-x)12-sin(2-1)1lim= xx14arctanl4arctan1px13 设f(x)=210x1x=11x1)的不连续点和连续区间 答案：解：不连续点是x=1,连续区间是 探究开放题预测 预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用 1已知数列an
26、满足条件an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(nN*), (1)求bn的通项公式； 求lim的值。 +L+b2-2b3-2b4-2bn-2解题思路 运用归纳猜想证明。裂项法先求数列的和，再求和的极限。 解答 1.(1)当n=1时，代入已知式子中，得a1=1,当n=2时，得a3=6，同理可得a4=28,再代入bn=an+n,得b1=2,b2=8,b3=18, 猜想bn=2n2,用数学归纳法证明：1当n=1时，b1=a1+1=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2假设n=k(k2)时命题成立，即bk=2k2,即ak+k=2k2,ak=2k2-k,则n=k+1时，bk+1=a
27、k+1+k+1=2k+1k+1(ak-1)+k+1=(2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)k-1k-1当n=k+1时，结论成立。 由1、2可知bn=2n2. (2)原式=lim+L+2162n-2nlim11111111111111-)= lim(1-+-+-+L+L=32435n-1n+1421324(n-1)(n+1)2n2nlim(1+1113-)=. 2nn+18n,证明：对所有正整数k有m2设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)| i=1k|f(2k)-f(2)| ik(k-1). 2解题思路 运用
28、数学归纳法证明。 解答 1当k=1时，左=0=右，命题成立。2假设k=n时，不等式成立，即i=1nn(n-1),则k=n+1时，|f(2)-f(2)| 2kii=1k+1n+1|f(2)-f(2)|= k+1ii=1n+1|f(2)-f(2)+f(2)-f(2)| k+1inii=1n+1n(n-1),= |f(2)-f(2)|+2ii=1n|f(2+2)-f(2)|+ knin(n-1)n(n-1)n(n+1)=n+=. 222 故当k=n+1时，命题也成立。 由1，2可知原不等式成立。 预测角度 2 数列的极限 1已知的展开式的第五项等于，则lim等于 x2n A0 B1 C2 D-1 解
29、题思路 利用二项式的通项公式求出x的值，再求数列和的极限。 解答 B T5=C64-143(x2)2=15x-1=15 2x=,lim(x+x+x)=lim(+L+-112-1-2-n12141812n)=11-212=1. 选 B 2设xn=n(n+1-n),求数列xn的极限。 解题思路 由于n,n+1)的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数列。 解答 因为xn=n(n+1-n)=n得xn=1+11+1n(n+1-n)(n+1+n)n+1+n=nn+1+n用n除分子和分母，,而11+111+, nn由1+111得知1+1(n),再应用除法运算，即求得limxn=limnnn
30、n11+1+1n=1. 2*3.已知a、b是不相等的正数，若limA0b2 B0b2 an+1-bn+1an+bnn=2，则b的取值范围是 解题思路 B 讨论a与b的大小后，分子、分母同除以an+1或bn+1，后再求由极限值求范围。 解答 当ab时，limaa+1-bn+1nan+bnb1-n+1a=a=2. =lim11bnn+aaa0b2. aa+1n当ab时，lim-bn+1na+bnan+1-1b=-b0不可能为2，故ab不成立。 =liman1n1+bbbb的范围是。故选B 预测角度 3 函数的极限 sin3x-2sinx+11lim=lim(sin2x+sinx-1)=1 ppsi
31、nx-1nn222求limn4x-2. x-4(x-2)(x+2)x-4x-2=lim=limx4(x-4)(x+2)x-4x4(x-4)(x+2)1x+21。 4解题思路 将分子有理化，使分子分母极限存在。 解答 lim=x4=预测角度 4 函数的连续性 1函数f(x)在x0处有定义是lim存在的 xx0A充分不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解题思路 利用极限在某点存在性判断 解答 D 函数在x0处有定义，但在此点处极限不一定存在，反之也不一定，如图。 1-1-x(x0)2设f(x)=当a取何值时，函数f(x)是连续的？ xa+bx(x0)解题思路 利用连
32、续的存在性的充要条件，即lim=f(x0)，以及连续的定义。 xx0解答 x0连续，只须判断，当x=0时，函数也连续时，从而求a的值。 f(x)在x=0处有定义，且lim+f(x)= lim-f(x)=a. x0x012只有当a=时。limf(x)才存在，且值为。 xx01212又f(0)=a 当a=时。f(x)是连续函数。 专家会诊 1深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念，即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。xx012limf(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。 2由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则lim xx0f(x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可。 考点高分解题综合训练 1 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m，使得对任意nN,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 A30 B26 C36 D6 答案： C.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1)、f(2)、f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整流器除。 证明：n=1、2时，由上得证，设n=k(kl2)时，f(k)=(2k+7)3+9能被36整除，则n=k+1k+1k 时，f(k+1)-f(k)=(2k+9)3-(2k+7)3
