高等代数讲义456章.docx

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1、高等代数讲义456章第四章 矩 阵 知识点考点精要 一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念 1）由mn个数排成的m行n列的数表 a11a12La1n a21a22La2n MMMam1am2Lamn称为一个mn矩阵，记为 A=(aij)mn。 2）矩阵的相等 设A=(aij)mn，B=(bij)ls，如果m=l,n=s，且aij=bij, i=1,2,L,n,j=1,2,L,n都成立，则称A=B。 2、矩阵的运算 1）矩阵的加法 给定两个mn矩阵 a11a12La1nb11b1A=a21a22La2L2nMMM， B=b21b22Lam1aLaMMm2mnbm1bm2LA和B加法定义为 a11+b1

2、1a12+b12La1n+b1nA+B=a21+b21a22+b22La2n+b2nMMMam1+bm1am2+bm2Lamn+bmn运算规律： (A+B)+C=A+(B+C)； A+B=B+A； A+0=A； 41 bn1bn2M，bmn A+(-A)=0。 2）数与矩阵的乘法 给定数域P中的一个数k，k与矩阵A的数乘定义为 a11a12La1nka11ka12Lka1naaLakakaLka21222n21222n= kA=kMMMMMMakaaLakaLkamnm2mnm1m2m1运算规律： k(lA)=(kl)A； k(A+B)=kA+kB； (k+l)A=kA+lA； 1A=A。 3

3、）矩阵的乘法 给定一个mn矩阵和一个nl矩阵 a11a12La1nb11b12A=a21a22LaL2nM， B=b21b22LMMam1am2LaMMmnbn1bn2LA和B的乘法定义为 nna1ibi1a1ibi2i=n1i=nLa1ibili=AB=a2ibi1i=1n1a2ibi2i=1n1La2ibili=1 MMMnamibi1i=1namibi2i=1nLamibili=1运算规律： (AB)C=A(BC)； A(B+C)=AB+AC； (B+C)A=BA+CA； k(AB)=A(kB)=(kA)B。 一般情况下： 42 bl1bl2M，bnl ABBA； AB=0推不出A=0或

4、B=0； AB=AC,A0推不出B=C 4）矩阵的转置 设 aaLaA的转置就是指 运算规律： (A)=A； (A+B)=A+B； (AB)=BA； (kA)=kA。 5）方阵的行列式 设n级方阵 A的行列式为 运算规律： 11A=a21Mam1a11A=a12Ma1na11A=a21Man1a11A=a21Man1121na22La2nMMam2Lamna21Lam1aLa22m2MMa2nLamna12La1na22La2nMM an2Lanna12La1na22La2nMMan2Lann43 A=A； kA=knA； AB=AB=BA,这里A,B均为n级方阵。 二、矩阵的逆 1、基本概念

5、 1）逆矩阵 A是n级方阵，如果存在n级方阵，使得AB=BA=E,那么A就称为是 可逆的，B称为A的逆矩阵，记B=A-1。 2）伴随矩阵 设Aij是矩阵 a11a12La1naaLa21222n A=MMMaaLannn1n2中元素aij的代数余子式，矩阵 A11A12* A=MA1n称为A的伴随矩阵。 2、n级矩阵A可逆的充要条件 A21LA22MA2nAn1LAn2 MLAnn=n，而A-1=A可逆A0秩3、求逆矩阵的方法 1*A。 A1）如果n级方阵A,B满足AB=BA=E,则A=B,B2）公式法 A-1-1-1=A； =1*A； A3）利用初等变换； 44 4）利用分块矩阵求逆矩阵。

6、三、分块矩阵 1、基本概念 1）分块矩阵 设A是mn矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含m1,m2,L,mr 个行，又将A的列分割为s段，每段包含n1,n2,L,ns个列。于是A可用小块矩阵表示如下： A11A21A=MAr1其中Aij为minj矩阵。 2）准对角矩阵 称数域P上的分块形式的n级方阵 A12LA1sA22LA2s， MMAr2LArsA1A=A2 OAs为准对角矩阵，其中Ai(i=1,2,L,s)为ni级方阵，其余位置全是小块零矩阵。 2、分块矩阵的性质 1）对于两个同类型的n级准对角矩阵， A1A=有 A2B1，B=OAsB2， OBsA1B1AB=A2B2； OAsBs 4

7、5 A1+B1A+B=A2+B2 OAs+Bs2）r(A)=r(A1)+r(A2)+L+r(As)； 3）A=A1+A2+L+As； 4）A可逆Ai(i=1,2,L,s)可逆，且 A1-1A-1=四、初等矩阵与初等方阵 1、矩阵的初等变换 A2-1。 O-1As 指对矩阵的行施行的下列三种变换 1）换法变换 交换矩阵的两行； 2）倍法变换 用不等于0的某个数乘矩阵的某一行； 3）效法变换 用数k乘矩阵的某一行加到另一行。 2、初等矩阵 对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，包括换法阵P(i,j) ，倍法阵 P(i(c)，消法阵P(j,i(k)。 3、矩阵的初等变换与初等矩阵的关系

8、对一个sn的矩阵A实施一次初等行变换，相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵。 4、等价关系 如果矩阵A经过一系列初等变换变为矩阵B，那么就称A与B等价。等价关系具有反身性、对称性、传递性。 5、标准形 设r(A)=r，则矩阵A经过一系列初等变换可变为Er00，后者称为A的标准形。 0 46 6、等价的几个重要条件 1）A与B等价存在初等阵R1,R2,L,Rs及T1,T2,L,Tl,使得 R1R2LRsATT12LTl=B. 2）A与B等价存在可逆阵P和Q，使得PAQ=B. 3）A与B等价秩(A)= 秩(B)。 7、用初等变换求逆

9、矩阵的方法 初等变换法 (AME)初等行变换uuuuuuuuur(EMA)。 -1典型题真题精解 10例1设a=(1,2,3),b=1,1,1，求(ab)。 23()解：ab()10=(ab)(ab)L(ab)=a(ba)(ba)L(ba)9个b， 由 1111，12=3，ab=21，1，1=2ba=1，2323333()()1321 331212则 (ab)101=39ab=39231321 。 331212例2已知c=3-1n，求c。 -933-11解：因c=-93=-3(3-1) 47 则 1()cn=3-1-3n11=(3-1)-3-31=6n-1-3(3-1)3-1=6n-1-93n

10、-1(3-1)例3设A,B及A+B都是n阶可逆阵，证明A+B也可逆，并求其矩阵。 证明：因A+B-1-1-1-1=A-1(B+A)B-1，由A-1，B+A，B-1都是可逆阵，故它们的乘积A-1+B-1也是可逆矩阵，且 -1-1(A+B)=AB=B(A+B)A -1-1-1-1-1例4设A为已知的n级复矩阵，且A3=2E，E为n级单位阵，B=A2-2A+2E ， 证明：B可逆，且求B-1。 A2A=E,证明：因A=2E，故23A-1=12A，又 2B=A2-2A+2E=A2-2A+A3 =A(A2+A-2E)=A(A-E)(A+2E) 因为 (A-E)(A2+A+E)=A3-E=2E-E=E 有

11、 (A-E)所以 -1=A2+A+E (A+2E)(A2-2A+4E)=A3+8E=2E+8E=10E 则 48 (A+2E)=因B为可逆矩阵，且 -112A-2A+4E) (10-1B-1=A(A-E)(A+2E) =(A+2E)-1(A-E)-1A-1 12122A-2A+4EA+A+EA ()()1021=(A6-A5+3A4+2A3+4A2) 201=(A2+3A+4E) 10=例5 设 11A=1M1是n级方阵，求A00.010.011.0 MM.M11.1()。 *解：因A=1，故A=A*n-1=1，于是A可逆，且(A*-1-1*-1)1*=*(A) A(A*)=(A*)(A*)=

12、(A*) 又 AA*=AE所以 1AA*=E A(A*)=-11A=A A例6 设A是n(n2)级非零实矩阵，且aij=Aij，这里Aij是A中元素aij的代数余子式，证明：A可逆，且求A。 证明：A为非零矩阵，设aij0，将A按第i行展开，得 -1A=ai1Ai1+ai2Ai2+ainEin=ai12+ai22+ain20 49 所以AA可逆，aij=Aij，A=AA又 *-1=1A AA*=A所以 n-1,A*=A=A0 A所以 n-2=1,(n2);又A0A=1 A-1=A 例7设A,B是n级方阵，证明：E-AB可逆的充要条件是E-BA可逆。 证明：若E-BA不可逆，则E-BA=0，于是

13、齐次线性方程组(E-BA)X=0有非零解，设h0是一个解，故(E-BA)h=0， 于是BAh=h 。 因(E-AB)Ah=Ah-AB(Ah)=Ah-A(BAh)=Ah-Ah=0；又Ah0,若Ah=0,则h=BAh=B(Ah)=0，与h0矛盾。 所以(E-BA)X=0有非零解，故E-BA=0与E-AB可逆矛盾，故E-BA可逆。 例8设mn矩阵A秩为r，证明：从A中取出s个列向量作为列向量所构成矩阵的秩 r+s-m。 证明：设A=(b1,b2,L,bm)，取出s个列向量bj1,bj2,L,bjs，令B=(bj1,bj2,L,bjs)，r(B)=t，则设B的列向量的极大无关组为bj1,bj2,L,b

14、jt，tsm，可将它扩充为A的列向量的极大线性无关组，即从m-s个列向量中选取r-t个线性无关的向量，则 r-tm-str+s-m 即 r(B)r+s-m 注：将列变为行，取t行，则r(B)r(A)+t-n。 例9 设A是一个nm矩阵，r(A)=r，从A中取中s行t列，这些行列相交处元素按原来的位置排成st矩阵C，则 50 r(C)r+s+t-m-n 证明：矩阵C可看成矩阵A中取s行得到矩阵A，然后从A1中r列而得的矩阵，则r(A1)t+s-n， r(C)r(A1+t-m) 所以 r(C)r+s+t-m-n。 例10 设mn实矩阵，A=(aij)mn，试证： 当mn，t充分大时，rtEn+A=

15、n。 0当mn，t充分大时，r(tEm,0)+A=m。 证明：证法类似 a12t+a11t+a22a21MMtEn+A=an20an1MMaam2m1令 LLLLLLa1na2nM t+annMamna12t+a11a21t+a22A1=MMan2an1a1nLa2nLMLt+annLtEn+A的n阶非零子式，故0当t充分大时，A1为严格对角占优矩阵，故A10，A1是tEn+A=n。 0例11设A=(aij)是一个nn实矩阵，已知aii0,i=1,2,L,n;aij0 ，(aii+ijaij0) aii-ijaij=ij(-aij)=ijaij,i=1,2,L,n-1. 从而A1为严格对角占优

16、矩阵，从而A10，A1是A的n-1级的非零子式，即r(A)=n-1。 例12 设A是n级非退化反对矩阵，b为n维列向量，求证：r(n-1n-1n-1n-1n-1Ab-b0)=n。 证明：令B=()，则 -b0B=(A-b-A-b)=-B -b0b0b0AbAb所以B也是反对称，故结论成立。 例13 设A为任意n级方阵，证明：r(Ann+1)=r(An)。 证明：A=0或A0，但A=0，结论成立。 下证A0且A0时，结论也成立，即证AX=0与Annn+1X=0同解。因为 An+1X=A(AnX)=0 52 则AX=0的解显然是Ann+1X=0的解；若X0是An+1X=0的解，而不是AnX=0的解

17、，则AnX00，于是X0,AX0,A2X0,L,An-1X0,AnX0均不为零且线性无关，即有n+1个n维列向n+1nn+1量线性无关，这不可能，则AX0=0，即AX=0的解也是AX=0的解，即AX=0与nAnX=0同解，则r(An+1)=r(An)。 例14 设A,B依次是mk,kn矩阵，而r(B)=k，证明：r(AB)=r(B)。 证明：因r(B)=k，于是kn，则存在k级可逆阵P，n阶可逆阵Q, 使得B=P(Ek,0)Q，Ek为k级单位阵，(Ek,0)为kn阵，故 AB=AP(Ek,0)Q 所以 r(AB)=r(AP(Ek,0)Q)=r(AP(Ek,0) =r(APEk,0)=r(AP,

18、0)=r(AP)=r(A) 例 15 设A=aij()sn,B=(bij).证明 ：r(AB)r(A)+r(B)-n nm证明 设r(A)=r1,r(B)=r2,r(AB)=r,则存在可逆阵P,Q,使 Er1PAQ=0记 0 0Br1m QB= B(n-r)m1-1有 r=r(AB)=r(PAQQ-1B), 而 ErPAQQB=10-10Br1mBr1m= 0B(n-r1)m0于是 r=Br1m=r(AB)=r 53 ()但 r(Q-1B)=r2 说明在B(n-r)m中线性无关的行数为r2-r，而总行数为n-r1，故r2-rn-r1，即1rr1+r2-n。 54 第五章 二次型 知识点考点精要

19、 一、二次型及其矩阵表示 1、二次型定义 设P是一个数域，系数在数域P上的x1,x2,.,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,L,xn)=a11x12+2a12x1x2+L+2a1nx1xn+a22x22+L+2a2nx2xn+L+annxn2 =axx,(aijiji=1j=1nnij=aji) 称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。 2、二次型的矩阵表示 二次型f(x1,x2,L,xn)可写成矩阵形式 f(x1,x2,L,xn)=XAX 其中X=(x1,x2,L,xn)，A=(aij)nn,A=A。 A称为二次型f(x1,x2,L,xn)的矩阵，矩阵A的秩称为二次型f(x1,x2,L

20、,xn)的秩。 3、矩阵的合同 设A,B是数域P上的n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆阵C，使 B=CAC， 那么称为B与A合同。矩阵的合同关系具有反身性，对称性，传递性。 二、二次型的标准形 d1AXYBY=g(Y)1、f(X)=X，若为对角阵BX=CY,C022YBY=d1y12+d2y2+L+dnyn,称为二次型f(x)的标准形。 d2，则Odn2、定理 数域P上任意一个二次型f(x1,x2,L,xn)都可以经过非退化的线性替换化成标 准形 55 22d1y12+d2y2+L+dnyn 用矩阵的语言叙述，即 数域P上任意一个对称矩阵都合同与一对角阵。 3、化二次型为标准形的方法 1）配

21、方法。 d1ABd2合同变换,只做列变换 AC2）合同变换法 LL,B=COECdn三、规范形 一个二次型使用不同的非退化线性替换，可能得到不同的标准形，即二次型的标准形不唯一，而它的规范形是唯一的。 1、复数域上二次型的规范形 复数域上的任意一个二次型f=XAX，经过一适当非退化的线性替换化成规范性 2z12+z2+L+zr2. 且它的规范形是唯一的，秩=r。 2、实数域上二次型的规范形 实数域上的任意一个二次型f=XAX，经过一适当非退化的线性替换化成规范性 222z12+z2+L+z2p-zp+1-L-zr 且它的规范形是唯一的，秩=r,p称为正惯性指数，(r-p)称为负惯性指数， 四、

22、正定二次型及正定矩阵 1、基本概念 1）正定二次型 实二次型f(x1,x2,L,xn)称为正定的，如果对任意一组不全为零的实数c1,c2,L,cn都有 f(x1,x2,L,xn)0 即正惯性指数秩n。 2）正定矩阵 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型f=XAX正定。 56 3）半正定、负定、半负定、不定的二次型 设f(x1,x2,L,xn)是实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,L,cn，如果都有 f(x1,x2,L,xn)0，那么f(x1,x2,L,xn)称为半正定的，且正惯性指数秩；如果都有 f(x1,x2,L,xn)0，那么f(x1,x2,L,xn)称为负定的，且负惯性指数秩n

23、；如果都有 f(x1,x2,L,xn)0，那么f(x1,x2,L,xn)称为半负定的，负惯性指数秩；如果f(x1,x2,L,xn) 既不是半正定的又不是半负定的，那么就成为不定的。 2、正定二次型、正定矩阵的判定 AX,A=A，下列条件等价 对于实二次型f(x1,x2,L,xn)=X1）f(x1,x2,L,xn)是正定的； 2）f(x1,x2,L,xn)的正惯性指数等于n； 3）A与单位阵合同； 4）A是正定的； 5）A的各级顺序主子式都大于0。 典型题真题精解 例1 设A为n级实对称矩阵，且A0，证明：必存在实n维向量X00,使X0AX00。 证明：由A0知r(A)=n，且实二次型XAX经非

24、退化线性特换X=CY化为标准型 2g(y1,y2,L,yn)=y1+y2+L+yp-yp+1-L-yn 2222p为正惯性指数，且0pn。 令V0=0,.,0p个,1,0,.,0， 显然g(Y0)=-10,V00，c可逆，则X0=CY00，而且X0AX0=g(Y0)=-10,X2AX20，证明：必存在实n维向量X00，使得X0X1证明：由已知f(x1,x2,L,xn)是不定二次型，故有非退化线性替换X=CY，使得f(x1,x2,L,xn)的标准形为 222g(Y0)=y(y1,y2,L,yn)=y12+y2+L+y2p-yp+1-L-yr 1，0，L，0)，故g(Y0)=0，令X0=CY0，由

25、Y00知r=(A),0p0 ,故实二次型X(AA)X是正定实二次型，即AA正定。 ,n例6 设A是nm实矩阵，且r(A)=mn，证明：AA是n级半正定矩阵。 ,证明：因(AA)=AA ，故A,A为n阶实对称矩阵，任取X00R，则 n(AA)X0=(AX0)(AX0) X0又r(A)=m0 X0则BX00，即BX=0只有零解，故r(B)=n。 充分性 因(BAB)=BAB=BAB , 故BAB是n阶实对称阵，又r(B)=n，故BX=0只有零解，于是对任意的X00R，设BX0=(c1,L,cn)，则 n(BAB)X0=(BX0)A(BX0)(c1,L,cn)A(c1,L,cn)0 X0故BAB为正

26、定矩阵。 59 例8 设A为n级实对称阵，证明：t充分大时，tE+A是正定阵。 证明：设实对称阵的全部特征值为l1,l2,L,ln，于是tE+A的全部特征值为 ui=t+li,(i=1,2,L,n) 则t充分大时，ui=t+li0,(i=1,2,L,n) ，因tE+A是实对称阵，则tE+A正定。 例9 设A，B均为n级正定矩阵，则AB的所有特征值全大于0。 证明：因A为正定阵，故A与n级单位阵合同，即存在可逆阵P，使得PAP=E，于是 P(AB)(P)-1=PAPP-1B(P)-1=P-1B(P-1) 因B正定，故PB(P)也正定，而它与AB相似，因此有相同的特征值，故AB的特征值全大于零。

27、注: 虽然AB的特征值全大于零，但AB未必正定，因AB未必是对称阵。若AB=BA，则AB必是对称的，于是AB正定。结论：两个同级可换的正交矩阵的乘积是正定矩阵。 例10 设A是nm实矩阵，B=lE+AA，证明：l0时，B是正定矩阵。 证明：因B=(lR+AA)有 X0BX0=X0(lE+AA)X0=lX0X+X0(AA)X0 -1-1=ElA+AB=, 故B是n阶实对称矩阵，任取X00R，n又X0X0，由AA半正定，知X0AAX00，当l0时，X0BX00, 于是，X,BX是正定实二次型，故B正定。 60 第六章 线性空间 知识点考点精要 一、线性空间 1、线性空间的定义 设V是一个非空集合，

28、P是一个数域，在V的元素之间定义了加法运算，即对于a,bV，都有a+bV。在P与V的元素之间还定义了数量乘法运算，即对于aV,kP，都有 kaV。且对这两种运算满足下列八条规则： 加法交换律 a,bV，有a+b=b+a； 加法结合律 a,b,gV，有(a+b)+g=a+(b+g)； 存在“零元”，即存在0V，使得aV,0+a=a； 存在负元，即aV，存在bV，使得a+b=0； “1律” 1a=a； 数乘结合律 k,lK,aV，都有(kl)a=k(la)=l(ka)； 分配律 k,lK,aV，都有(k+l)a=ka+la； 分配律 kK,a,bV，都有k(a+b)=ka+kb， 则称V为数域P上

29、的线性空间。 2、基、维数与坐标 L，anV,如果 1）基 V是数域P上的线性空间，a1，a2，L，an线性无关； a1，a2，L，an线性表出, V中任一向量a都可以由a1，a2，L，an就称为V的一组基。 那么a1，a2，2）维数 线性空间V的基中所含向量的个数称为V的维数，换句话说如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的。 注：如果V中存在任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。 61 L，an是V的一组基，b是V的任一向3）坐标 设V是数域P上n维线性空间，a1，a2，L，an线性表出： 量,则b可以由基a1，a2，b=k1a1

30、+k2a2+L+knan, L，an下的坐标。 这组数就称为b在基a1，a2，3、基变换与坐标变换 1）过渡矩阵 ,e2,L,en是n维线性空间V的两组基，如果 设e1,e2,L,en与e1a11a12La1naaLa21222n (e1,e2,L,en)=(e1,e2,L,en)MMMaaLannn1n2a11a12La1naaLa21222n 矩阵 A=MMMaaLannn1n2,e2,L,en的过渡矩阵。 称为由基e1,e2,L,en到基e12）同一向量在不同基下的坐标之间的关系 ,e2,L,en是n维线性空间V的两组基，由基e1,e2,L,en到基 设e1,e2,L,en与e1,x2,

31、L,xn),L,en过渡矩阵为A。向量b在这两组基下的坐标分别为(x1,x2,L,xn)与(x1e1,e2则 x1x2=Mxn4、几个重要的线性空间 P=Pmnnx1xA2. Mxn(a,a,L,a)aP,i=1,2,L,n,dimP12nin=n； A=(a)ijmnn-1aijP,i=1,2,L,n;j=1,2,L,n,dimPmn=mn； PXn=an-1x+an-1xn-1+.+a1x+a0aiP,i=1,2,L,n-1,dimPXn=n。 62 PX=anx+an-1xnn-1+.+a1x+a0aiP,i=1,2,L,n,无限维。 二、线性子空间 1、线性子空间的概念 1）定义 V是

32、数域P上的线性空间，W是V的非空子集合，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间，那么W称为V的线性子空间。 2）子空间的充要条件 V的非空子集W是V的子空间W对于V的两种运算封闭。 2、子空间的运算 W1,W2是线性空间V的子空间 1）子空间的交 W1IW2=aaW1,aW2，W1IW2仍为V子空间。 2）子空间的和 W1+W2=aa=a1+a2,其中a1W1,a2W2，W1+W2仍为V的子空间。 3）子空间的并 W1UW2=aaW1或aW2，一般不是V的子空间。 3、维数公式 维(W1)+维(W2)=维(W1+W2)+维(W1IW2)。 4、子空间的直和 1）直和的定义 设V1,V2

33、是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量a的分解式a=a1+a2,a1V1,aV2是唯一的，这个和就称为直和，记为V1V2. 2）直和的充要条件 设V1,V2是线性空间V的子空间，下面这些条件是等价的： =s+s；=ks, 那么称s是V到V的同构映射，这时称为V与V同构，记为VV。这里a,b是V中任意向量，k是P中任意数。 2、同构的充要条件 VV维。 =维3、若维=n,则VP，即Pn是数域P上一切n维线性空间的代表。 n典型题真题精解 例1 设a1,a2,.,as(s2)线性无关，又b1=a1+a2,b2=a2+a3,L,bs-1=as-1 +as,bs=as+a1,讨论b1,b2,

34、.,bs的线性相关性。 解：设k1b1+k2b2+L+ksbs=0，于是 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+L+ks(as+a1)=0 则 (k1+ks)a1+(k1+k2)a2+L+(ks-1+ks)as=0 又a,1a2,L,as线性无关，则 k1k1k2Mks-1系数行列式 +ks+k2+k3M+ks=000 0LLM64 11D=L00011001LLL000102，s为奇数 0=1+(-1)1+s=0，s为偶数LLLLL00L11.，bs线性无关；s为偶数时，b1，b2，.，bs线性相关。 故s为奇数时，b1，b2，例2 设数域P上线性空间V中向量组t为奇数时，b1,b2,.,

35、bt满足 1）b10;； 2）每个bi (i=2，3，t)都不能被b1,b2,.,bi-1线性表示； 证明：b1,b2,.,bt线性无关。 证法一：用反证法 若b1,b2,.,bt线性相关，则有不全为零的数k1,k2,L,kt使 k1b1+k2b2+L+ktbt=0 设kt,kt-1,.,k2,k1中第一个不等于零的是kl(1lt)，即kl0，而kl+1=L=kt=0，于是 k1b1+k2b2+L+klbl=0 若l=1，则k1b1=0，k10 =b1=0矛盾；所以l1，则 bl=-k1/klb1-k2/klb2-L-kl-1/klbl-1 故bl可由b1,b2,.,bl-1线性表示，与2）矛盾，故b1,b2,.,bt线性无关。 证法二：设k1b1+k2b2+L+ktbt=0, 由2）知，bt不能由b1,b2,.,bt-1线性表示，故kt=0，则 k1b1+k2b2+L+kt-