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1、04183概率论与数理统计复习题11月04183概率论与数理统计复习题 一、 单项选择题 1如果事件A和B同时出现的概率PAA与B互不相容 (AB)=0, 则 ( D ) BAB 是不可能事件 DAB 未必是不可能事件 CP(A)=0或P(B)=0 2如果事件A和B满足P(A)+P(B)1，则A与B必定 ( A ) A相容 B不相容 C独立 D不独立 3设A，B为两个随机事件，且P0，则P= ( D ) AP BP CP D1 4已知随机变量X的概率密度为a+bx， 0x1， 且EX=0，则 ( A ) f(x)= 0， 其它.Aa=4, b=-6 Ba=2, b=-2 Ca=-4, b=6
2、5设X的概率密度为A- Da=2, b=-3 fX(x)，且Y=-2X+3，则Y的概率密度为( B ) 1y-31y-3fX(-) BfX(-) 22221y+31y+3) DfX(-) C-fX(-22226若XN(-2,2)且Y=aX+bN(0,1)，则 ( B ) 1，b=1 2 Ba=Aa=2，b=2 22，b=-2 2 Ca=1，b=-1 2 Da=7设随机变量X的概率密度f(x)是偶函数，而F(x)是X的分布函数，则对于任意c，有F(-c)= ( B ) AF(c) B0.5-0f(x)dx C2F(c)-1 c D1-0f(x)dx c8设二维随机变量的联合分布为 Y X 0 2
3、 0 5 1 41 61 43 41 35 12则PXY=0= ( C ) A 1 4 B C D1 9设随机变量X、Y独立同分布，PX=-1=Y=-1=则下列式子正确的是 ( C ) A X=Y BPX11，PX=1=Y=1=， 22=Y=0 CPX=Y=1 DPX=Y=1 2410设随机变量X1,X2,X4独立同分布，都服从正态分布N(0,4)，且kXi2服从c2(n)i=1分布，则k和n分别为 ( C ) Ak=1111,n=1 Bk=,n=1 Ck=,n=4 Dk=,n=4 424211若X、Y满足D(X-Y)=D(X+Y)，则必有 ( C ) AX、Y相互独立 CX、Y不相关 BD(
4、X-Y)=D(X+Y)=0 DD(X)=0 12二维随机变量(X,Y)满足E(XY)=EX.EY，则 ( B ) AD(XY)=DX.DY BD(X-Y)=D(X+Y) CX与Y独立 DX与Y不独立 13设随机变量X1,X2,X3,X4独立同分布，都服从正态分布N(1,1)，且k(Xi=14i-4)2服从c2(n)分布，则k和n分别为 ( A ) 1,n=1 41Ck=,n=4 4Ak=14X1,X2,1,n=1 21 Dk=,n=4 2 Bk=,Xn是来自正态总体XN(0,1)的样本，X,S2分别为样本的值与样本方差，则下列各式正确的是 ( C ) AXnN(0,1) BnXN(0,1) C
5、Xi2 c2(n) i=1 DXt(n-1) S15设总体XN(m,s)，s22已知，X1,X2,X3为总体X的样本，下列关于参数m的无偏估计量，采用有效性标准衡量，最好的一个是 ( D ) 21111X1+X2 BX1+X2+X3 3342415111CX1+X2 DX1+X2+X3 66333A16设总体XN(m,s2),m未知,s20已知，如果样本容量n和置信水平1-a都不变，则对于不同的样本观测值，总体均值m的置信区间的长度 ( C ) A增大 B缩小 C不变 D不能确定 17在假设检验中，用a和b分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法正确的是( C )
6、Aa减少，b也减少 Ba增大，b也增大 Ca与b不能同时减少，其中一个减少，另一个往往会增大 DA和B同时成立 18在假设检验中，记H0为原假设，则第2类错误为 ( C ) AH0为真，接受H0 CH0不真，接受H0 BH0不真，拒绝H0 DH0为真，拒绝H0 19X1,X2,L,Xn是来自总体X的样本，总体方差的无偏估计量是 ( D ) 1n1n-12A(Xi-X) B(Xi-X)2 ni=1n-1i=11n-12C(Xi-X) ni=11n D(Xi-X)2 n-1i=120统计量的评价标准中不包括 ( C ) A一致性 二、填空题 B有效性 C最大似然性 D无偏性 3 1若P(A)=0.
7、7,P(AB)=0.4,P(A-B)= 0. 4 2若P(A)=0.5，P(A-B)=0.3，则PBA= 0. 3两射手彼此独立地向同一目标射击，其击中目标的概率分别是0.4和0.5，则目标被击中的()0.7 . 概率是 4已知随机变量X的分布列为P(X=k)=k+1, k=1,2,3,4,5，则概率P1X4= 200.6 . 5设XN2,s2，已知P(X4)= 0.3 . ()6设随机变量X服从泊松分布P(l)，且E(X-1)(X-2)=1，则l=_1_. 7设二维随机变量的概率密度为f (x, y)=1,0,0x1,0y1;其他, 则PX11=_. 228袋中装有3个白球、7个红球，在袋中
8、任取4个球，则其中恰有2个白球的概率为 0.3 . 9设随机变量X服从参数=3的泊松分布，则 PX0|X2= 0.75 . 10设随机变量X服从参数为l的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则l= 2 . 11设二维随机变量的概率密度为f (x, y)=1,0,0x1,0y1;其他, 则PX12设X11=_. 22=14，则X与Y的相关系数等于 0.8 . B(10,0.5),YN(2,10)，E(XY）13设XB(10,0.5),YN(2,10),X与Y相关系数rXY=0.8, 则Cov(X,Y)= 4 . 14已知随机变量X与Y相互独立，XN(0,1)，YN(1,4)，则Z=2X-Y+
9、1服从的分布为 N(0,8) . 15设XN2,s2，已知P(2X4)=0.3，则P(X0)= 0.2 . 2()16设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则E(X6.4 . )= XY17设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为01则Z=X+Y的分布列为 010.20.30.40.1 . ZP00.2 1 20.7 0.118设XN(0,1)，Yc2(n)，且X，Y相互独立，则XYn t(n) . 19设总体X服从参数为l的指数分布，其中l未知，X1,X2,L,Xn为来自总体X的 样本，则l的矩估计为 nXi=1n . i20设X1,X2,L,Xn是一组独立的且
10、均服从参数l=0.001的指数分布，当n=10000时，据中心极限定理知，可近似的认为Xi=1ni N(107,1010) . 21设正态总体X的方差为1，根据来自总体X的容量为100的简单随机样本测得样本均值x=5，则总体均值m的置信度0.95的置信区间为 (4.804,5.196) . (F(1.96)=0.975) 22随机变量X服从0,q上的均匀分布，q为未知，若用最大似然法估计q， q的最大似然=估计为 qmaxx . i1in23设X1,X2为来自总体的一个样本，m=0.2X1+aX2为总体均值的无偏估计，则 111X1+X2+X3，632a= 0.8 . 24设1=X1,X2,X
11、3是来自总体X的样本， m2=m2121113=X1+X2+X3都是总体均值m的无偏估计，最有效的X1+X2+X3，m5553333 . 估计量是 m25设X1,X2,Xn是来自指数分布E(l)的一组样本，则未知参数l的矩法估计量 l= 1 . X226设X1,X2,LXn为来自总体c(10)的样本，则统计量Y=Xi c2(10n) . i=1n27设XN(0,1)，Yc2(n)，且X,Y相互独立，则XYn t(n) . 28在假设检验中，给定显著性水平a，则犯第一类错误的概率为 a . 29在假设检验中，如果接受原假设，则有可能犯 第二类 错误. 30设总体XN(m,s2)，X1,X2,L,
12、Xn为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 H0:s=s,H1:ss三、计算题 22022在0，(n-1)s2m未知的情况下，应该选用的检验统计量为 . s021据统计, 某地区癌症患者占人口总数的1%. 根据以往的临床记录, 癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者对这种试验呈阳性反应的概率为0.01. 若某人对这种试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率. 解: 设A= “患有癌症”, B= “呈阳性反应”, 依题意 P(A)=0.01,P(A)=0.99,P(BA)=0.95, P(B|A)=0.01 由贝叶斯公式有, P(AB)=P(A)P(BA)P(A)P(BA)+P
13、(A)PBA()0.010.95=0.49 0.010.95+0.990.012市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量,第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两个厂家相等,而且各厂产品的次品率依此为2%, 2%, 4%,求市场上供应的该商品的正品率. 解: 从市场上任意选购一件商品,设Ai= “选到第i厂家产品”,i=1,2,3, B= “选到次品”.由全概率公式有: P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.50.02+0.250.02+0.250.04=0.025 i=13-PB=1-P(B)=0.975 3设XN(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度. 2解：因为Y=2X+1取值1,+.
14、当y0.2p(y-1)x,0x2,4设随机变量X的概率密度函数为f(x)=2 其他.0,求P求X的分布函数F(x). (1X3)；解: P1X3=31f(x)dx=21313xdx+0dx= 224F(x)=x-xx0，-0dt,001xtf(t)dt=0dt+dt,0x2，=x2-0242tx010dt+dt+0dt,x2，022-x00x2 x2四、综合题 1二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 8xy,0xy1, f(x,y)=0,其它.求X的边缘概率密度；求P(X+Y1)；求E(XY). 解: 关于X的边缘概率密度为 fX(x)=-12x8xydy,0x1,4x(1-x),0x1,=
15、 f(x,y)dy=0,其它.其它0,P(X+Y1)=x+y1f(x,y)dxdy =dx00.51-xx8xydy=1. 6E(XY)=-xyf(x,y)dxdy=dxxy8xydy=0x114. 92设总体X的概率密度是 qxq-1,0x0) f(x,q)=其他,0,X1,X2,L,Xn为一个样本，求参数q的最大似然估计. 解: L(q)=qn(x1x2xn)q-1 nlnL=nlnq+(q-1)lnxi i=1dlnLnn=-=+lnxi=0,得 q令dqqi=1nlnxi=1ni3根据保险公司多年的统计资料表明，在人寿险索赔户中，因患癌症死亡而索赔的占20%，随机抽查100个索赔户，以
16、X表示因患癌症死亡而向保险公司索赔的户数,用中心极限定理计算P(14X26)的近似值. 解：由题意,XB(100,0.2)，则 EX=1000.2=20， DX=1000.20.8=16 由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理知, X-2014-20X-2026-20P(14X26)=P=P-1.51.5 16161616F(1.5)-F(-1.5)2F(1.5)-1=20.933-1=0.866 4、如果二维随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y012X012求：(1)Y的分布列；(2)P0.050.180.040.1500.160.20 0.220(X+Y1)；(3) Z=min(X,Y)的分布列
17、2Y01解 P0.270.31P0.42(X+Y1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) =0.05+0.15+0.18=0.38； Z01P0.620.38五、应用题 1某饮料厂用自动生产线装饮料,每瓶规定重量为500克, 每天定时检查, 某天抽取9瓶, 测得平均重量为490克, 标准差为15克, 设每瓶饮料重量服从正态分布, 在显著性水平a=0.05下， 可否认为该生产线装饮料的平均重量达到设计要求? (注：F(1.96)=0.975,F1.65()=0.95,t0.025(8)=2.306,t0.05(8)=1.859). 解： H1：m500. 取显著水平
18、a=0.05，得ta(n-1)=t0.025(8)=2.306 2检验假设 H0：m=500故H0的拒绝域为W=t2.306. 由x=490，s=15, n=9, 计算得 t=x-500490-500=22.306, s/n15/9N(m,s2)，其中m=15，s2=0.05。技术革新因此，接受H0，即认为该生产线装饮料得平均重量达到设计要求. 2由经验知某味精厂袋装味精的重量X后，改用机器包装，抽查8个样品，测得重量为14.7 15.1 14.8 15 15.3 14.9 15.2 14.6，已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15？. 解： 待检验的假设是 H0 : 15. X-15取统计量U，在H0成立时，UN(0，1) sn查表知PU1.960.05 14.95-15根据样本值计算得X14.95，U0=-0.6325 0.058因U00.63251.96故H0相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为15
