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1、134 最短路径问题人教版八年级 数学 第十三章 轴对称 13.4 最短路径问题 一、温故互查 1.已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小。 l 二、情景导入 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？ 三、设问导读 阅读课本P86-87问题2,完成上面问题 分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的 我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径A
2、MNB就是最短路径如图2 证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短” 可知，A1N1+N1BA1N+NB所以，路径AMNB要短于AM1N1B 四、自主探究 如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的我们如何找到这个最短的距离呢？ 方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的为了使路径最短，只要A2B最短连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ所得路径AQPMNB最短 方法2：如图6，将点A沿与第一条
3、河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条人教版八年级 数学 第十三章 轴对称 河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1，与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短 六、巩固训练 如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？ 五、新知应用 如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？ 方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的为了使路径最短，只要A3B最短 连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2M，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河
4、流1于R，在此处造桥RS。所得路径ASRQPMNB最短 方法2：此处还可以先将A沿与河流1河岸垂直的方向平移两个单位到A1、A2，再将B沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到B1；或先将A沿与河岸垂直的方向平移1个单位到A1，再将B沿与河岸平移2一个河宽到B1、B2，来选择修桥位置 方法1：如图10，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ所得路径AQPMNB最短 方法2：也可以将A沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于N、P，分别作桥MN、PQ所得路径AQPNMB最短
