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1、1差分格式1. 差分 1 一阶导数的差分近似 导数的定义： f(x0)=limxx0f(x)-f(x0)x-x0f(x0)导数的近似： f(x1)-f(x0)x1-x0这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。 误差分析 泰勒展开：将 fx1 在 x0 处做泰勒展开，有 21f(x1)=f(x0)+f(x0)(x1-x0)+2f (x0)(x1-x0)+L 于是 f(x0)-f(x1)-f(x0)x1-x0=Ox1-x0 各种差分近似： 取 h0，则可以有 向前差分近似 f(x0)f(x0+h)-f(x0)h1 向后差分近似 f(xf(x0)-f(x0-h)0)h中心差分近
2、似 f(xf(x0+h)-f(x0-h)0)2h2 差分近似的一般形式 差分近似的一般形式可写成 f(x0)?1hc-mf(x-m)L+c-2f(x-2)+c-1f(x-1) +c0f(x0) +c1f(x1)+c2f(x2)+L+cnf(xn)或简写为 f(x1n0)hcj=-mjf(xj) 称为一阶导数 f(x0) 的一个 m+n+1 点差分近似。这里 xj=x0+jh (j=-m , L , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , L 2 n) , 差分近似的精度 ： 阶 定义：若 1f(x0)-hj=-mncjf(xj)=Ohp 1n则称表达式 cjf(xj) 是一阶导数 fx0)
3、 的 p 阶差分近似。 (hj=-m例：通过误差分析，上面给出的向前和向后差分近似都是一阶的，而中心差分近似是二阶的。中心差分近似的精度较高。 差分近似的分类 1m若 m=n ，则 cjf(xj) 称为中心差分近似； hj=-m1n若 mn ，则 cjf(xj) 称为偏心差分近似，特别是 hj=-m1n若 m=0 ，则 cjf(xj) 称为向前差分近似； hj=010若 n=0 ，则 cjf(xj) 称为向后差分近似。 hj=-m 3 3 待定系数法 构造导数的差分近似可用待定系数法。 用 x-1、x0、x1、x2 四点构造一阶导数 fx0 的差分近似。 由泰勒展开，有 f(x-1)=f(x0
4、)-hf(x0)+121314(4)hf(x0)-hf(x0)+hf(x0)-L 2624121314(4)hfx+hfx+hf(x0)+L (0)0)26244324(4)hfx+hf(x0)+L (0)33f(x1)=f(x0)+hf(x0)+f(x2)=f(x0)+2hf(x0)+2h2f(x0)+将这些展开式带入所求得差分近似，得 11c-1f-1+c0f0+c1f1+c2f2)=(c-1+c0+c1+c2)f(x0)(hh +(-c-1+c1+2c2)f(x0)骣11 +c-1+c1+2c2hfx0)(22桫骣1142 (x0) +-c+c+c2hf-1163桫6骣1123(4) +
5、-c-1+c1+c2hf(x0)+L243桫24 4 为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的四个待定系数应满足 -c-1+c0+ c1+ c2=0-c-1 + c1+ 2c2=1解得 11c-1 +c1+ 2c2=022114c-1 +c1+c2=0663c-1c0c1c21=-3=-=1=-1612因此，若将函数值 fxj 简写成 fj ，所求的差分近似就是 1骣1111f(x0)?f-1-f0+f1-f2=-2f-1-3f0+6f1-f2) (h桫3266h误差为 骣1123(4) -c+c+c2hf(x0)+L-11243桫24轾骣1鼢骣1骣骣骣1 3(4)12
6、鼢珑珑 鼢鼢=犏-+1+- hf(x0)+L 珑珑 鼢鼢 犏珑珑 24鼢3桫6 桫24鼢桫3桫桫犏臌13(4)=-hf(x0)+L12所以上述差分近似具有三阶精度。 5 用 x-1、x1 两点构造一阶导数 fx0 的差分近似。 由泰勒展开，有 f(x-1)=f(x0)-hf(x0)+1213hf(x0)-hfx0)+L (26f(x11)=f(x0)+hf(x0)+2h2f(x+130)6hf(x0)+L将这些展开式带入所求得差分近似，得 1h(c-1f-1+c1f1)=1h(c-1+c1)f(x0) +(-c-1+c1)f(x0) +骣1桫2c-1+12c1hf(x0) +骣112桫-6c-
7、1+6c1hf (x0)+L为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的两个待定系数应满足 c-1+c1=0 解得 c1-1=-2 -c-1+c1=1c11=2因此，所求的差分近似为 6 1骣11f1-f-1 f(x0)?f-1+f1=h桫222h这正好是前面提到过的中心差分近似，其误差为 骣骣111鼢1珑 (x0)+L鼢 珑c-1+c1鼢hf(x0)+-c-1+c1h2f珑22鼢6桫桫6轾骣骣1骣骣1鼢1鼢1珑珑犏鼢鼢=犏-+x0)+珑鼢珑鼢hf(珑珑2鼢2鼢2桫桫2桫桫犏臌=0?hf(x0)12 (x0)+Lhf6 骣1鼢骣1骣骣112鼢珑珑犏 (x0)+L鼢鼢-+hf
8、珑珑鼢鼢犏珑6鼢珑6鼢2桫桫2桫桫犏臌 12 (x0)+L=hf6由于选点的对称性，误差中二阶导数项的系数恰好抵销为零，所以上述差分近似具有二阶精度。这就是中心差分近似精度较高的原因。 4 高阶导数的差分近似 以上关于一阶导数的差分近似，完全可以推广到高阶导数。 高阶导数的差分近似：其一般形式为 (k)f1(x0)?hkcfx-m(-m)L+c-2f(x-2)+c-1f(x-1) +c0f(x0) +c1f(x1)+c2f(x2)+L+cnf(xn)7 待定系数法：构造高阶导数的差分近似，仍可用待定系数法。 用 x-1、x0、x1 三点构造二阶导数 fx0 的差分近似。 由泰勒展开，有 f(x
9、-1)=f(x0)-hf(x0)+121314(4)hfx-hfx+hf(x0)-L (0)0)2624121314(4)hfx+hfx+hf(x0)+L (0)0)2624f(x1)=f(x0)+hf(x0)+将这些展开式带入所求得差分近似，得 11cf+cf+cf=c+c0+c1)f(x0)0011)2(-1-12(-1hh1 +(-c-1+c1)f(x0)h骣11 +c+c1fx0)(-122桫骣11 (x0) +-c-1+c1hf6桫6骣112(4) +c+c1hf(x0)+L-12424桫 为了得到二阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的三个待定系数此时应满足 8 c-1+c0
10、+-c-1 +1c-1 +2 c1=0 c1=0 解得 1c1=12c-1=1c=-2 0c=11因此，所求的差分近似为 f(x0)?误差为 1f2(-1h2f0+f1)=f1-2f0+f-1h2骣1骣1鼢112(4)珑 珑-c-1+c1鼢hfx+c+chf(x0)+L鼢0-11鼢珑62424桫6桫轾骣1鼢骣1珑犏 (x0)+鼢=犏-鼢1)+1)hf珑(珑6桫6鼢桫犏臌 (x0)=0?hf轾骣骣1鼢12(4)珑犏鼢1+1hf(x0)+L珑鼢犏珑鼢2424桫桫犏臌 12(4)hf(x0)+L1212(4)=hf(x0)+L12所以上述差分近似具有二阶精度。这里，我们又一次看到了中心差分近似的精度
11、较高这一事实。 二阶导数的各种差分近似 9 向前差分近似 f(x0)f(x0+h)-f(x0)hf(x0+2h)-f(x0+h)-f(x0+h)-f(x0)hhh1=2(f2-2f1+f0)h向后差分近似 f(x0)f(x0)-f(x0-h)hf(x0)-f(x0-h)-f(x0-h)-f(x0-2h)hhh1=2(f0-2f-1+f-2)h中心差分近似 f(x0)f(x0+h)-f(x0)hf(x0+h)-f(x0)-hf(x0)-f(x0-h)hh1=2(f1-2f0+f-1)h10 或 f(x0)f(x0)-f(x0-h)hf(x0+h)-f(x0)-hf(x0)-f(x0-h)hh1=2(f1-2f0+f-1)h这就是例3的结果。 以上这些推导表明： l 高阶导数的差分近似可通过反复使用一阶导数的差分近似推导出来； l 先前差再后差，或者先后差再前差，可得到二阶导数的中心差分近似。 11
