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1、3变限积分函数的性质及其应用3 变限积分函数的性质及其应用 由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分 定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念： 定义3.1 设f(x)在a,b上可积，则对xa,b，f(x)在a,x上也可积，于是，由 F(x)=xaf(t)
2、dt， xa,b 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限函数。类似地，可定义变下限的函数： Y(x)=F(x)bxf(t)dt，xa,b 和Y(x)统称为变限函数。也叫做面积函数。 注 由于 bxf(t)dt=-f(t)dt，因此，只要讨论变上限函数即可。 bx定理3.1 若函数f(x)在a,b上可积，则变上限函数F(x)=上连续。 证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 xaf(t)dt在a,b对a，b上的任一点x，只要x+Dxa,b，按照F的定义有 DF=F(x+Dx)-Fx(=)又函数f(x)x+Dxafdt-xafdt。 在a， b上可积，则f(x)在a， b上有界，
3、即存在正数M，对一切xa,b有f(x)M。又当Dx0时有 DF=x+Dxxfdtx+Dxxfdtx+DxxMd=t。MD x404 又不难验证，当Dx 0，求证函数F(x)=0x0f(t)dtxf(x)f(t)dt=f(x)j(x)-f(x)例3.2 设f(x)在0，+内连续，且0，+内为单调增加函数。 在 x 证 x0，由f(x)0，得0f(t)dt0，所以F(x)在(0，+)内有定义，且 F(x)=xf(x)0f(t)dt-f(x)0tf(t)dt0f(t)dtx2xx=f(x)0(x-t)f(t)dt0f(t)dtf(t)(x-tx2x。 因f(x)0， 在(0,x)内 f(t)(x-t
4、)0，又连续， x0f(t)(x-t)dt0，在区间( 0 , + )内F(x)0 F(x)在区间( 0 , + )内 严格递增。 2 Newton Leibniz 公式 定理3.3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则 baf(x)dx=F(b)-F(a) 。 (3.5) 证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据定理3.2知道，变上限函数F(x)=axf(t)dt也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 406 F(x)-F(x)=C 。 (3.6) 在(3.6)式中令x=a，得F(a)-F(a)=C。又由F(x)的定义式及上
5、节定积分的补充规定知F(a)=0，因此，C式中的F(x)，可得 x以F(a)=F(a)。代入(3.6)式中的C，以f(t)dt代入(3.6)ax f(t)dt=F(x)-F(a)。 a在上式中令x=b，就得到所要证明的公式(3.5) 。 注 (1) 在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如F(x)：在在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(x)=f(x),x(a,b)。而f(x)只要在在a,b上可积即可。 (2) 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。它表明：一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任一个原函数在区间a,b上的增量。这就给定积分提供了一个有效
6、而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。 3 定积分计算的算术化 由积分性质知，(3.5)式对ab的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)-F(a)记成F(x)ab。公式(3.5)叫做Newton-Leibniz公式，也称为微积分基本公式。有了微积分基本公式，便可以将定积分的计算转化为寻求原函数，即转化为不定积分的计算。然后利用不定积分的计算结果，经过简单的代数运算，即可得出定积分的值。它给定积分提供了一种有效而简便的基本计算方法，它是整个积分学中十分重要的公式。 1例3.3 计算定积分x2dx。 01 解 0xdx=2x313=013。 407 3例3.4 计算dx -11+x2。3
7、 解 dxarctanx37-1=p。 -11+x2=12-1例3.5 计算dx -2x。-1 解 dx-2x=lnx-1-2=ln1-ln2=-ln2。 1例3.6 计算积分f(x)=t|x-t|dt。 0 解 x1时， f(x)=1t(x-t)dt=x-1023 ; x0时， f(x)=1t(t-x)dt=1-x032; 0x1时， f(x)=xt(x-t)dt+1x3+10xt(t-x)dt=x3-23。1-x32, x 1 .23 x p2p例3.7 利用积分 Jnn=sinxdx的值， 计算积分In=xsinnxdx。00 解 x=p-u0pInn=-(p-u)sinp-(udu)=
8、(p-u)sinnudu=p0ppp =psinnudu-usinnudu=psinnudu-In 000pp2p I=p2sinnudu=psinnnxdx+sinnudu， 02p02408 因此， pp而 sinudu=蝌p2nu=p-x02-p2sin(p-x)dx=n0sinxdxn ， In=p2(Jn+Jn)=pJn。 因此， In(n-1)!p2 , n为偶数 ,n!2= (n-1)!p , n为奇数 .n!3.3 若干应用 1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式 例3.8 证明不等式 1n 102xn-1x-x+1dx43n, n 。 证 注意在区间 0，1上有 34
9、 x-x+1 1， 12+L+1n2 例3.9 证明不等式 ln(n+1) 1+1n 1+lnn。 1 证 考虑函数f(x)= , nxn+1 , n=1 , 2 , L， g(x)= , x1 , + )。 x易见对任何n，在区间 1 , n+1 上g(x)和f(x)均单调，因此可积，且有 n+1n+1g(x)f(x)，注意到g(x)/ f(x)，就有 n+1ni+1ni+11g(x)dx1f(x)dx。而 1f(x)dx=i=1if(x)dx=ii=1i1ndx=i， i=11n+1n+11g(x)dx=1dxx12=lnx|1n+1=ln(n+1)。 n因此有 ln(n+1) = 1+i
10、=11i+L+1n 。 取f(x)=1n+1 , nx1nnn-1i+11f(x)dx。而 1i+112131n1g(x)dx= lnn, 1f(x)dx=i+1i=1i1n-1=i=1 = +L+， 409 1+12+L+1n 1+lnn。 12+L+1n 1+lnn。 综上 ， 有不等式ln(n+1) 0，有 2 i=1nnb-ab-ab-a22f( xi ) g( xi ) g( xi ) f( xi ) nnni=1i=1， 令n，注意到函数f2(x)、g2(x)和f(x)g(x)在区间 a , b 上的可积性以及函数F(x)=x2的连续性，就有积分不等式 410 bf(x)g(x)d
11、x bf2(x)dxbg2(x)dxaaa22。 证法二 对任何实数t，有 ( tf(x)+g(x)0， a( tf(x)+bg(x)dx=2( tab2f(x)+g(x)+2tf(x)g(x)dx0 ， 22)b2t2+2bf(x)g(x)dxt+ 即 f(x)dxaaba即上述g(x)dx0对任何实数t成立。2关于t的二次不等式的解集为全体实数， 于是就有 b2f(x)g(x)dxa2-4bf2(x)dxbg2(x)dx0aa2， 即 bf(x)g(x)dx bf2(x)dxbg2(x)dxaaa。 例3.11 设函数f(x)C a , b 且 f(x)0。 证明不等式 bbaf(x)dx
12、 adxf(x) ( b-a )2。 证 取f(x)=f(x), y(x)=1f(x) 。对函数 f(x)和y(x)应用Schwarz 不等式， 即得所证。 例3.12 设函数f(x)在区间 0 ， 1 上可积 。 试证明有不等式 1 |f(x)dx| 010f(x)dx2。 证 先用Jensen不等式法证明不等式 ： 对 x1,x2,L,xnR， 有不等式 x1+x2+L+xnn x1+x2+L+xnn222。 设T为区间 0 , 1 的n等分分法。 由上述不等式 ， 有 ni=1i1f nnni=12i1fnn。 令n， 注意到函数f(x)和f2(x)在区间 0，1上的可积性以及函411
13、数 |x|和x的连续性，就有积分不等式 1 |f(x)dx| 010f(x)dx2。 例3.13 仿该例， 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等 式的积分形式。 3 面积函数的导数 (f(t)dt)=f(x)，或axddxxaf(t)dt=f(x)； (3.1) (j(x)0f(t)dt)=f(j(x)j(x)。 (3.2) 例3.14 设j(x)=x1sintdt2，求导数j(x)。 解 j(x)=sinx2。 例3.15 设j(x)= 解 j(x)=1x3sintdt22，求导数j(x)，j。 2x13p1x3sintdt=-sintdt，故j(x)=-sinx232，j
14、=-1。 2p例3.16 x=设y=-costt00tsinuducosududxdt，求dydx。 解 dydt，=sint3x+1，故dxdydxdy=dtdxdt=-cott。 例3.17 求函数y= 解 由y=2x0x-x+12在0,1上的最大、最小值。 3x+1x-x+100100，x0,1，表明函数单调增加，从而 3x+1dx=0。 dx ymin=y(0)=ymax=y(1)=x-x+13x+122x-x+1312x-1+533=2dx=20x-x+12232102x-1x-x+152102dx-5221021x-x+1dxdx =31021x-x+1d(x-x+1)-21(x-
15、)+11234 =lnx-x+1+0215223arctan2x-13=0533p。 412 例3.18 设50x3+40=xcf(t)dt，求f(x)及c。 解 两边求导数：150x2=f(x)，则， 50x+40=3xc150tdt=50t23xc=50x-50c33， 即：-50c3=40，c=-345。 例3.19 求函数f(x)= 解 f(x)=(例3.20 求ddxxx02x02sintdt的导数。 2sintdt)=sinxxx()=2xsin|x|。 2x2x2costdt22。 解 因为，故 ddxcostdt=d0xcostdt+22x0costdt=-2x02costdt
16、+2x0costdt2， xx2costdt=-2dx2x02costdt+2ddx2x0costdt212xcosx =-cos(x2)(x2)+cos(x)(x)=-2xcosx4+x-13。 例3.21 设函数f(x)连续且 0f(t)dt=x+c。求c和f(7)。 112 解 令x=1 , c=-1 。 两端求导， f(7)= x。 例3.22 设f(x)Ca,b。 F(x)=f(t)(x-t)dt , xa,b。 试证明 ： a F(x)=f(x)。 证 F(x)=xf(t)dt-tf(t)dt， aaxx F(x)=xaf(t)dt+xf(x)-xf(x)=xaf(t)dt , F
17、(x)=f(x)。 例3.23 已知，etdt+0y22x0costdt=0，求dydx。 2 解 注意到y是x的函数，两边对x求导，得eyy+cos2x2=0，求得： dydx=y-2e-y2cos2x。 413 例3.24 设g(x)处处连续，f(x)= 解 f(x)= f(x)=(x-t)g(t)dt，求f(x)，f(x)。 0x0(x-t)g(t)dtg(t)dt0xx=xg(t)dt-0xx0tg(t)dtx，则 +xg(x)-xg(x)=0g(t)dt； f(x)=g(x)。 例3.25 设f(x)=x+1x-1x00x1，F(x)=xx-1f(t)dt，x-1,1，求F(x)。
18、12 解 若-1x0：则 F(x)= 若0x1：则 F(x)=212(x+1)所以，F(x)=122x+1x-1f(t)dt=-1(t+1)dt=(x+1)2； 2x-1f(t)dt=0-1(t+1)dt+x0tdt=12(x+1)； -1x00x1()。 4 含有变限积分的未定型极限 例3.26 求极限limcosx1e-t2dtx02x2。 -cosx2 解 limcosx1e2-tdtx0xe0=limx00(-sinx)2x=-12e。 例3.27 求极限 limxcostdt0x2x0x。 0sintdtx 解 xcostdt00lim=limxx00x0sintdt0x20cost
19、dt+xcosxsinx22 =limx0x022costdt0cosxxcosx=lim+1=2。 +limx0x0cosxsinxsinx025 利用定积分求和式极限 因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。 414 n例3.28 求极限 limnnk=1knn3n-k22。 2解 k=1kn3n-k22=k=11n(knk1-)。 (3.7) n(3.7)式是函数f(x)=x1-x2在0,1上的一个积分和。它是把0,1n i-1i,xi取为nn等分， 的右端点(即xi=in,f(xi)=ini1-n
20、2)构成的积分和。因为函数f(x)=x1-x2在0,1上可积， 由定积分定义， 有 n limnk=1kn3n-k22=x1-x2dx=0113。 1例3.29 kn求极限lim1+nnk=11n-1n-1n-1。 1 解 knln1+nk=1kn=ln1+nk=0=1kln1+。 nk=0nn-1由函数ln(1+x)在区间 0，1上可积 ， 有 1n-1knk1limln1+=limln1+nnnnnk=0k=1n-11=ln( 1+x )dx=2ln2-1=ln04e。 1 lim1+ =。 nenk=1例3.30 求极限lim1+2+L+n334443n-1kn4nn (1+2+L+n)
21、n4。 n4 解 1+2+L+n334443ni=1n3n (1+2+L+n)=nn1in43=i=1ni1nni1nn3。 i=14ini=1n limni=1i1=nn40xdx=15 ， 415 n lim4ni=1i1=nn43310xdx=3140。 因此， lim1+2+L+n334nn (1+2+L+n)=45。 1n+1+1n+2+L+11+x例3.31 证明： 对任何n+， 有不等式 证 1n+1+1n+2+L+1n+nn1n+n ln2。 =k=111+kn1n 是f(x)=在区间 0，1 上相应于n等分分法Tn的小和s(Tn)。由函数f(x)=1111+x在区间 0，1上
22、可积， 有n时， s(Tn)0f(x)dx=1+x0dx=ln2。又易见s(Tn)严格递增 1+L+1n+n对任何n， 有s(Tn) ln2， 即 1n+1+n+2 ln2。 416 练习6.3 1 设f(x)在a,b上连续，F(x)=xf(t)(x-t)dtx)0。证明F(x)=f(。 2 利用NewtonLeibniz公式计算下列定积分： (1) 21231x+xdx； (2) 4dx1； 2x(1-x) (3) 4-3xdx； (4) 2-1xdx； (5) bp(x-a)ndxa； (6) 20sin2xdx； (7) 11p-dx (8) 2-ex； -p1-cos2xdx； 2 (
23、9) pb30cosxdx； (10) exadx； (11) p (12) pco20sinxdx； sxdx0； (13) a (14) 0a-xdx； p01-sin2xdx； (15) -3dx (16) 2lnxdx-4； xx2-41x； (17) e (18) bn1lnxdx。 eaxdx； (19) bdx (20) 22ax2； 0x4-xdx ； (21) 33； (22) 91xdx4x(1+x)dx； 12sin (23) 31+2x2 py1x2(1+x2)dx； (24) 12； pydyp (25) 431dx0tanqdq； (26) -2-e-11+x； p
24、p (27) 2cos3x-cos5xdx； (28) -p20sinx-cosxdx； 2 (29) p01+cos2xdx； (30) 30(2-x)2dx。 417 3 设f(x)=0x1x3-x1x2，求 2f0(x)dx。 tan2x0xpp4 设f(x)=42p，求 0f(x)dx。 sinxcos3x41 ； 6 求下列函数的导数： (1) F(x)=x0tcostdt； (2) F(x)=32x1+tdt； x=tsinudu(3) F(x)=x22t； (4) 设0dyxte-dty=t，求dx。cosudu07 试讨论函数F(x)=x0te-t2dt的极值。 x28 设当x
25、0时，函数f(x)连续且 f(t)dt=x3。求f(x)。 029 设x3-ye-t2dt+y3+4=00，求 y=dy。 dx 418 10 求下列极限： x2x22 (1) costdtlim0x0x ； (2) )dtlimexp(t0x0； xexp(2t2)dt01 (3) t)dttlntdtlimxln0(1+x0x2； (4) limcosxx04x3。 11 应用定积分求下列极限 n(1) limk (2) limnnnnk=1n2； nn2+1+n2+22+L+n2+n2；npp(3) lim1skip+L+npnk=1nnn； (4) lim1+2nnp+1(p0)； (5) lim1+1+L+1nn2n(n+1)n(2-n； 1)n(6) lim(1L+1nn+1+1n+2+2n)； (7) limin2； i=1n2+i (8) lim1n+L1)n(+2)nnnn(。1 12 设 fCa,b, f(x)0但f
